1、第六章 平面向量及其应用6.4.3 第2课时 正弦定理一、教学目标1. 了解正弦定理的多种证明方法，尤其是向量证明法；2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路。三、教学过程：1、创设情境：某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得A=600，在C点测得C=450,如何求得B.C两点的距离?学生活动1
2、探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？CABbca学生活动2探究2：在中，如何求边BC的长呢？回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角） 如右图，中的边角关系：_；_； _=1_； _c_；_c_；_c_；_那么，上述结论，如何证明？（学生小组活动探究）探究3：这个关系式对任意也成立吗二. 建构数学探究4：如何证明这个等式？（教师点拨）(作高法)在ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，1.在RtABC中，C=900, csinA=a,csinB=b，即 = 。2. 在锐角ABC中，过C做CDAB于D，则|CD|=，即 ，同理得 ，故有 。3. 在钝角ABC中，B为钝角，过
3、C做CDAB交AB的延长线D，则|CD|=，即 ，故有。（学生小组活动探究）（向量法）过作单位向量垂直于，由+，两边同乘以单位向量得(+，则+|cos90+|cos(90-)=| |cos(90-) =同理，若过作垂直于得：= 探究5：还有其它的证明方法吗？课后尝试用其它方法来证明!正弦定理：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即：=它适合于任何三角形。探究6：正弦定理结构的最大特点是什么？_结构和谐、对称体现了数学的和谐美与对称美_探究7：正弦定理里面包含了几个等式？生答：3个 ，=，每个等式中有几个量？生答：4个解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边
4、)，求其余三个未知元素的过程。学生活动3 如图下列哪些可以直接使用正弦定理解三角形？归纳使用正弦定理解三角形的条件:_（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角_（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）_三. 数学应用例1. 某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得A=600，在C点测得C=450,如何求得B.C两点的距离?解：由正弦定理得，所以答：变题:在ABC中，已知b=10, A=60,C=45,求角B,a和c答案：B=1050 ,a=;c=总结:此问题归为已知两角和任一边求其他两边和一角例2.在ABC中，已知a=16， b=， A=，求角B，C和边c解：由正弦定理得解得所以变题: 在ABC中，已知a=16，b=， B=45 .求角A，C和边c解：由正弦定理得解得法一、法二、总结:此问题归为已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）四、小结：正弦定理： 应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。 方法:(1)从特殊到一般的方法；(2)作高法证明正弦定理； (3)向量法证明正弦定理。五、作业：习题6.4.3
