1、 1 江西省鄱阳县 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 学校 :_姓名： _班级： _考号： _ 一、选择题 1已知 的值是（ ） A. B. C. 2 D. 2 2下面说法正确的是（ ） A若 ? ?0fx?不存在，则曲线 ? ?y f x?在点 ? ? ?00,x f x处没有切线 B若曲线 ? ?y f x?在点 ? ? ?00,x f x处有切线，则 ? 0fx?必存在 C若 ? ?0fx?不存在，则曲线 ? ?y f x?在点 ? ? ?00,x f x处的切线斜率不存在 D若曲线 ? ?y f x?在点 ? ? ?00,x f x处没有切线，则 ? ?0fx?有可能
2、存在 3过抛物线2 16yx?的焦点作直线交抛物线于 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y两点，如果 126xx?， 那么AB?（ ） A 8 B 10 C 14 D 16 4下列求导运算正确的是 ( ) A 2 31)3( xxx ?B 2ln1)(log 2 xx ?C exx 3 log3)3( ? D xxxx sin2)cos( 2 ? 5如图所示，函数 ? ?y f x?的图象在点 P处的 切线方程是 5yx? ?，则 ? ? ? ?33ff? （ ） A.12B 1 C 2 D 0 6函数 ? ? 322 3 1 2 5f x x x x? ? ? ?在
3、? ?0,3上最大值和最小值分别是 （ ） A 5,-15 B 5,-4 C -4,-15 D 5,-16 x fxfxxf x ? ? ? )2()2(lim,1)( 0则4141?2 7过双曲线22116 9xy?左焦点 1F的弦 AB长为 6，则 2ABF（ 2F为右焦点）的周长是（ ） A 12 B 14 C 22 D 28 8设双曲线221yxab?（ 0a?， 0b?）的上、下焦点分别为 1F， 2，若在双曲线 C的下支上存在一点 P，使得 12| | 4| |PF PF?，则双曲线 C的离心率的取值范围为（ ） A4 , )3?B4(1, 3C5 , )3?D5(1, 39已知直
4、线 1yx? ?与椭圆 ? ?22 10xy abab ? ? ?相交于 ,AB两点，若椭圆的离心率为22，焦距为 2，则线段 AB的长是（ ） A223B423C 2 D 2 10椭圆22125 9xy?的焦点为 1F、 2， P为椭圆上一点，已知 12PF PF?，则 FPF的面积为（ ） A 9 B 12 C 10 D 8 11已知点 P在抛物线2 4yx?上，那么点 P到点 ? ?2, 1Q ?的距离与点 P到抛物 线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为（ ） A ? ?1,2B ? ?1, 2? C1,14?D1,14?12 已知 ?fx?是函数 ?fx( 0xx?R且)的导函 数
5、，当 0x?时， ? ? ? ? 0xf x f x? ?，记? ? ? ? ? ?0.2 2 20.2 222 0.2 l og 5,2 0.2 log 5ff fa b c? ? ?，则（ ） A abc? B bac? C c a b? D c b a? 3 二、填空题 13 方程22113xymm?表示焦点在 y轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 14已知曲线 sin cosy a x x?在 0x?处的切线方程为 10xy? ? ?，则实数 a的值为 . 15设函数 f (x)在 (0, )内可导，且 f (ex) x ex，则 ?1f? _ 16 已知函数 2( ) 1f x mx
6、mx? ? ?，对于任意的 ? ?1,3x?， ( ) 5f x m? ?恒成立，则 的取值范围是 三、解答题 17求适 合下列条件的椭圆的标准方程： （ 1）两个焦点的坐标分别是 ? ?0,5， ? ?0, 5?，椭圆上一点 P到两焦点的距离之和为 26； （ 2）焦点在坐标轴上，且经过 ? ?3, 2A ?和 ? ?2 3,1B ?两点 18用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器， 先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 19已知曲线1:Cytx? ?经过点 ? ?2, 1P
7、?，求： （ 1）曲线在点 P处的切线的方程； 4 （ 2）过点 ? ?0,0O的曲线 C的切线方程 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 )0(12222 ? babyax上任意一点到两焦点 2,FF距离之和 为24，离心率为 23 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）若 直线 l的斜率为12，直线 l与椭圆 C 交于 BA,两点点 )1,2(P为椭圆上一点，求 PAB 的面积的最大值 21已知函数1( ) ln ( 1) 1 xf x ax x? ? ? ?（ 0x?， a为正实数） . （）若 1a?，求曲线 ()y f x?在点 (1, (1)f处 的切线方程； （）求函数 ()f
8、x的单调区间； （）若函数 的最小值为 1，求 a的取值范围 . 22 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点 F在 y轴上，过点 F的直线交抛物线于 ,AB两点，线段 AB的长度为 8， AB的中点到 x轴的距离为 3. （ 1）求抛物线的标准方程； （ 2）设直线 m在 y轴上的截距为 6，且抛物线交于 ,PQ两点，连结 QF并延长交抛物线的准线于点 R，当直线 PR恰与抛物线相切时，求直线 m的方程 . 5 参考答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 D 9 B 10 A 11 C 12 C 13 （ 1,2） 14 1 15 2 16 76?m17（ 1） 22116
9、9 144yx?（ 2） 22115 5xy? 18当高为 10，最大 容积为 19600 19（ 1） 30xy? ? ? （ 2） 4yx? 【解析】（ 1）将 ? ?2, 1P ? 代入 1y tx? ? 中得 1t? ， 11y x? ? . ? ?1111x x xyxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 1 1xx x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?20 1lim 1x yy x x? ? ? ?， 曲线在点 P 处切线的斜率为? ?2 21 112xky ? ? ?， 曲线在点 P 处的切线方程为 ? ?1 1 2 ,yx? ?
10、 ? ? 即 30xy? ? ? . （ 2）点 ? ?0,0O 不在曲线 C 上，设过点 O 的曲线 C 的切线与曲线 C 相切于点 ? ?00,M x y ，则切线斜率? ?0 20 011yk x x? ?，由于0 011y x? ?，0 12x?，切点为 1,22M?，切线斜率 4k? ，切线方程为 124 2yx? ? ?，即 4yx? .考点：导数的几何意义 . 20 （ 1） 128 22 ? yx ，（ 2） 2 【解析】 试题分析： （ 1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数 a2 24? ，得 22?a ，离心率 623 ? cace ，于是 2?b ，从而可
11、得椭圆的标 准方程；（ 2）设 直线 l 的 方程为 6 mxy ?21 ，把其与椭圆的方程联立，求出弦长 21221 4)(411 xxxxAB ? ，即为 PAB 的底，由点线 距离公式求出 PAB 的高52411mmd ? ，然后用基本不等式求最值 试题解析： （ 1）由条件得：?22223242cbaacea，解得 2,6,22 ? bca ，所以椭圆的方程为128 22 ? yx （ 2 ）设 l 的方程为 mxy ?21 ，点 ),(),( 2211 yxByxA 由?1282122 yxmxy消去 y 得0422 22 ? mmxx 令 01684 22 ? mm ， 解得 2?
12、m ，由韦达定理得 42,2 22121 ? mxxmxx 则由弦长公式得 221 2 1 211 ( ) 4 5 ( 4 )4A B x x x x m? ? ? ? ? ? ? 又点 P 到直线 l 的距离52411mmd ? ， 224)4()4(5522121 22222 ? mmmmmmdABS P A B， 当且仅当 22?m ，即 2?m 时取得最大值 PAB 面积的最大值为 2 考点：待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值 21解：（）当 1a? 时， 1( ) ln( 1) 1 xf x x x? ? ? ?， 则212() 1 (1 )fx x
13、x? ?. 2 分 所以 (1) 0f? ? .又 (1) ln2f ? ，因此所求的切线方程为 ln2y? . 4 分 7 （） 22222() 1 (1 ) ( 1 ) (1 )a a x afx a x x a x x? ? ? ? ? ? ? ? ?. 5 分 （ 1）当 20a? ，即 2a? 时，因为 0x? ，所以 ( ) 0fx? ? ，所以函数 ()fx在 ? ?0,? 上单调递增 . 6 分 （ 2）当 20a? ，即 02a? 时，令 ( ) 0fx? ? ，则 2 20ax a? ? ? （ 0x? ）， 所以 2 axa?. 因此，当 20, )axa?时， ( )
14、0fx? ? ，当 2( , )axa? ?时，( ) 0fx? ? . 所以函数 ()fx的单调递增区间为 2( , )aa? ?，函数 ()fx的单调递减区间为 20, )aa?. 10 分 （）当 2a? 时，函数 ()fx在 ? ?0,? 上单调递增，则 ()fx的最小值为 (0) 1f ? ，满足题意 . 11 分 当 02a? 时，由（）知函数 ()fx的单调递增区间为 2( , )aa? ?，函数 ()fx的单调递减区间为 20, )aa?，则 ()fx的最小值为 2()afa?，而 (0) 1f ? ，不合题意 .所以 a 的取值范围是? ?2,? . 13 分 22 （ 1）
15、 2 4xy? ; （ 2） 1 62yx? ? . 【解析】 【试题分析】（ 1）依据题设条件，直接运用抛物线的定义分析求解；（ 2）依据题设建立直线方程，再与抛物线方程联立，借助坐标之间的关系，建立方程求解： （ 1）设所求抛物线 方程为 ? ? ? ?2 1 1 2 22 ( 0 ) , , , ,x p y p A x y B x y? ， 则 12 8A B A F B F y y p? ? ? ? ? ?，又 1232yy? ? ，所以 2p? .即 该抛物线的标准方程为2 4xy? . （ 2）由题意，直线 m 的斜率存在，不妨设直线 :6m y kx?， ? ? ? ?3 3
16、4 4, , ,P x y Q x y， 8 由2 6 4y kxxy?消 y 得 2 4 24 0x kx? ? ?，即 34344 24x x kxx? （ *） 抛物线在点 233, 4xPx?处的切线方程为 ? ?233342xxy x x? ? ?，令 1y? ，得 23342xx x? ，所以2334,12xR x? ?， 而 ,QFR 三点共线，所以 QF FRkk? 及 ? ?0,1F ，得2423431 11442xxxx? ? ? . 即? ? ?223 4 3 44 4 1 6 0x x x x? ? ? ?， 整理得 ? ? ? ?223 4 3 4 3 4 3 44 2 1 6 1 6 0x x x x x x x x? ? ? ? ? ?，将（ *）式代入上式得 2 14k ? ，即 12k ? ， 所以所求直线 m 的方程为 1 62yx? ? .
