1、 - 1 - 2017-2018 学年度下学期高二年级期中考试 数学（理） 试卷 考试时间： 150分钟 一、选择题：（本题包括 12 小题，共 60分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 设命题 P： ? n?N， 2n 2n ，则 ? P为（ ） （ A） ? n?N, 2n ? 2n （ B） ? n?N, 2n 2n （ C） ? n?N, 2n 2n （ D） ? n?N, 2n =2n 2.设 (1 i) 1 ixy? ? ? ，其中 x， y是实数，则 i=xy? （ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 3.若复数 )(1( iai ? 在复平面内对应的点
2、在第 四 象限，则实数 a 的取值范围是 （ ） （ A）,1)?（ B）( , 1)?（ C）(1 )?（ D）( 1, )? ?4.设 ?fx为可导函数，且 21)1( ?f ，求 h hfhfh )1()1(lim 0 ?的值（ ） （ A） 1 （ B） 1? （ C） 12 （ D） 12? 5.“ 3?a ”是“直线 01)1(:1 ? yaaxl 与直线 012:2 ?ayxl 垂直”的（ ） ()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件 6.设 1F , 2F 是椭圆 22: 1( 0 )xyE a bab? ? ? ?的左、右
3、焦点， P 为直线 35ax? 上一点，? 21FPF 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） ()A 23 ()B ? ()C ? ()D 56 7. ? ? ?1 1 - 2 211 dxxx（ ） （ A） 14? （ B） 12? （ C） 2? （ D） 1 4? 8. 点 P 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的底面 ABCD 上一点，则 1PAPC? 的取值范围是 （ ） - 2 - （ A） 11,4?（ B） 11,24?（ C） . 1,02?（ D） ? ?1,0? 9.给出定义：设 ?fx? 是函数 ? ?y f x? 的
4、导函数， ?fx? 是函数 ?fx? 的导函数，若方程? ? 0fx? ? 有实数解 0x ，则称点 ? ? ?00,x f x 为函数 ? ?y f x? 的“拐点” .已知函数xxxxf c o ss in34)( ? 的拐点是 ? ? ?00,M x f x ，则点 M （ ） （ A） 在直线 3yx? 上 （ B）在直线 3yx? 上 （ C） 在直线 4yx? 上 （ D） 在直线 4yx? 上 10.已知椭圆 E ： )0(12222 ? babyax 的右焦点为 )04( ,F ，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A 、B 两点。若 AB 的中点坐标为 )11( ?, ，则 E
5、的方程为（ ） （ A） 12036 22 ?yx （ B） 1824 22 ?yx （ C） 1420 22 ?yx （ D） 116 22 ?yx 11.若函数 )4()( axeexf xx ? 存在两个极值点，则实数 a 的取值范围是为（ ） （ A） （ 0， 21 ） （ B） （ 21 ， ? ） （ C）（ 0， 1） （ D）（ 1， ? ） 12.设点 P 在曲线 )4ln( xy? 上，点 Q 在曲线 xey 41? 上，则 PQ 最小值为（ ） ()A 14ln? ()B 14ln? ()C )14(ln2 ? ()D )14(ln2 ? 二、 填空题（每小题 5 分，
6、共 20分） 13. 已知向量 )1,2,2(),1,1,0( ? ba ? ，则 ?ba ? 。 14.已知复数 immmm )6()32( 22 ? 是纯虚数，则实数 m 的值为 。 15.椭圆 134 22 ? kyx 的离心率为 21 ，则 k 的值为 。 16. 定义在区间 ?,ab 上的连续函数 ?y f x? ，如果 ? ?,ab? ，使得? ? ? ? ? ? ?f b f a f b a? ? ?，则称 ? 为区间 ? ?,ab 上的“中值点”，下列函数： - 3 - 14)( ? xxf ； 121)( 2 ? xxxf ； 332)( ? ? xxf； )2ln()( ?
7、 xxf 中，在区间 ? ?0,1 上“中值点”多于一个的函数序号为 _（写出所有满足条件的函数的序号） 三、解答题（共 70分） 17.（本小题满分 10分） 已知 2)( 23 ? xxxxf (1）求曲线)(xfy?在点)1(,1f处的切线方程； (2）求函数()fx的单调区间 . 18.（本小题满分 12 分） 已知 )0,1(),0,1( 21 FF ? 是椭圆 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?两个焦点 ,且椭圆经过点 )23,1( . （ 1）求此椭圆的方程； （ 2）设点 P 在椭圆上，且 321 ? PFF,求 21PFF? 的 面积 . 19. （本小题满分 1
8、2 分） 如图，直三棱柱 CBAABC ? 中， M是 AB的中点 (1) 证明： BC / 平面 1MCA ； (2) 若 BMC 是正三角形 ,且 1BCAB? ,求直线 AB 与平面 1MCA 所成角的正弦值 . 20.（本小题满分 12分） 设 O为坐标原点，动点 M 在椭圆 123: 22 ? yxC 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P满足 NMNP 26? . - 4 - (1)求点 P的轨迹方程； (2)设点 Q在直线 x =-5 上，且 2?PQOP .证明 :过点 P且垂直于 OQ的直线 l 过 C的左焦点F. 21.（本小题满分 12分） 已知函数 ),0(1
9、3)( Raxxaexxf x ? ?(1) 若 )(0,)( ?在xf 上单调递减 ,求 a 的取值范围； (2) 当 ),3( ea ? 时，判断关于 x 的方程 2)( ?xf 的解的个数。 22. （本小题满分 12 分） 已知 函数 ).1()(),1c o s4()( 32 ? xmexgxxaxxexf xx （ 1） 当 1?m 时，求函数 )(xg 的极值； （ 2） 若 27?a ，证明：当 )1,0(?x 时， .1)( ?xxf 2017-2018学年度下学期高二年级期中考试 数学（理） 试卷 (参考答案 ) 命题人：丁云进 考试时间： 150分钟 一、 选择题：（本题
10、包括 12小题，共 60分，每小题只有一个选项符合题意） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - 5 - 答案 A B C B A D C C D B B C 三、 填空题（每小题 5 分，共 20分） 13. 3 14.-1 15.0或 37 16. 三、解答题（共 70分） 17.解：（ 1） 2)( 23 ? xxxxf 123)( 2 ? xxxf 4)1( ? fk ,又 3)1( ?f ，所以切点坐标为（ 1， 3） 所求切线方程为 )1(43 ? xy ，即 014 ?yx ? 5分 （ 2） )1)(13(123)( 2 ? xxxxxf 由 0)( ?
11、xf 得 311 ? x ； 由 0)( ?xf 得 311 ? xx 或 )(xf 的单调递减区间为（ -1， 31 ），单调增区间为（ ? ， -1）和（ 31 ， ? ） ? 10分 18.试题解析： （ 1）由题意知?22222 14911cbabac，解得?134222cba椭圆方程为 134 22 ?yx .? 6分 (2)设 22, 212211 ? cFFrPFrPF ， 由椭圆的定义得 ? 421 rr ， 在 21FPF 中由余弦定理得 ? 43c o s2212221 ?rrrr， 2-得 421 ?rr - 6 - 33s in21 21FPF 21 ? ?rrS ?
12、12 分19.【解析】：（ 20）解： （ 1）设 P（ x， y）， M（ 0x , 0y ） ,则 N（ 0x ,0）， ),0(),( 00 yNMyxxNP ? 由 NMNP 26? 得 yyxx 36,00 ?. 因为 M（ 0x , 0y ）在 C上，所以 133 22 ?yx . 因此点 P的轨迹为 322 ?yx . ? 5分 (2)由题意知 F（ -1,0），设 Q（ -5， t）， P（ m， n），则 tnPFOQnmPFtOQ ? m55),1(),5( 则, ),5(),( ntmPQnmOP ? . 由 2?PQOP 得 -5m- 2m +tn- 2n =2，又由（ 1）知 322 ?yx ，故 - 7 - 5+5m-tn=0. 所以 0?PFOQ ，即 PFOQ? .又过点 P存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F. ? 12 分 ? 5分 ? 12 分 - 8 - 22.
