1、 1 2016 2017 学年度下学期高二期中考试 数学试题 (文科 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1 复数 2zi?(i 是虚数单位 )的虚部为 ( ) A. i? B. i C. 1? D. 2 2 已知集合 | ( 1)( 4 ) 0A x x x? ? ? ?， 5 | 02xBxx ? ，则 AB?( ) A. |1 2xx? B. |1 2xx? C. |2 4xx? D. |2 4xx? 3 若点 (cos ,sin )P ?在直线 20xy? 上，则 tan2? ( ) A. 45? B. 43
2、 C. 43? D. 45 4 已知数列 ?na 为等差数列 ，若 8 4a? ，则数列 ?na 的前 15 项和 15S? ( ) A. 12 B.32 C.60 D. 120 5 设 ,? 表示平面， l 表示直线，则下列命题中，错误的是 ( ) A. 如果 ? ，那么 ? 内一定存在直线平行于 ? B. 如果 ? ， ? ， l?，那么 l ? C.如果 ? 不垂直于 ? ，那么 ? 内一定不存在直线垂直于 ? D.如果 ? ，那么 ? 内所 有 直线都垂直于 ? 6 某空间几何体的三视图如图所示 ， 图中 主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为 4，俯视图中的四边形为正方形，
3、则这个几何体的体积是 ( ) A. 643 B. 323 C.16 D. 32 7已知平面向量 a ， b 满足 ? ? 3a a b? ? ? ，且 2a? ， 1b? ，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为 ( ) A. 12? B. 32? C.12 D. 32 主视图 侧视图俯视图第6题图2 8 在平面内的动点 ? ?,xy 满足不等式 30100xyxyy? ? ? ? ?，则 2z x y?的最大值是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 9 设抛物线 2:4C y x? 的焦点为 F ，倾斜角为钝角的直线 l 过 点 F 且与 曲线 C 交于,AB 两点，若 16|3AB?
4、 ，则 l 的斜率为 ( ) A. 33? B. 33? C. 3? D. 3? 10 我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了 “ 割圆术 ” ，得到了著名的“ 徽率 ” ，即圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14如图就是利用 “ 割圆术 ” 的思想设计的一个程序框图，则输出的求 n 的值为 (参考数据： sin15 0.2588? ， sin7.5 0.1305? )( ) A. 12 B. 24 C.36 D. 48 11 设 4() 42xxfx? ?， 1 2 3 1 01 1 1 1 1 1 1 1f f f f? ? ? ? ?
5、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) A 4 B 5 C 6 D 10 12 设 函 数 ?fx 在 R 上存在 导 函 数 ?fx? ， 对 于 任 意 的 实 数 x ，都有? ? ? ?23f x x f x? ? ?，当 ? ?,0x? 时， ?132f x x? ? ，若? ? ? ? 2739 2f m f m m? ? ? ? ?，则实数 m 的取值范围是（ ） A 3,2? ?B 12? ?，C ? ?1? ?， D ? ?2? ?， 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分 ) 13曲线 3 1y x x? ? ?
6、在点 (1,3) 处切线方程为 _. 14设样本数据 1 2 2017, , ,x x x 标准差为 4，若 2 1( 1, 2 , 3 , , 2 0 1 7 )iiy x i? ? ? ， 则数据 1 2 2017, , ,y y y 的标准差为 _. 15 已知 , R? ，则“ ? ”是“ tan tan? ”的 _条件 (选填：否开 始6n?1 360sin2Sn n? ? ?3.10S?是n输 出结 束2nn?3 “充分不必要”；“必要不充分”；“充要”；“既不充分也不必要” ). 16三角形 ABC 中，角 ,ABC 所对边分别为 ,abc，已知 2 2 2 3b c a bc?
7、 ? ? ，且 1a? ，则三角形 ABC 外接圆面积为 _. 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (12 分 )已知向量 ( 3 s in 2 3 , c o s ) , (1 , 2 c o s )a x x b x? ? ?， 设函数 ()f x a b? . (1)求函数 ()fx的最小正周期和其图象的对称中心； (2)当 7 , 12 12x ? 时，求函数 ()fx的值域 . 18 (12 分 )如图 1，平行四边形 ABCD 中， AC BC? ， 1BC AC?，现将 DAC 沿 AC 折起，得到三棱锥D ABC? (如图 2)， 且 DA BC?
8、，点 E 为侧棱 DC 的中点 . (1)求证：平面 ABE? 平面 DBC ； (2)求三棱锥 E ABC? 的体积； (3)在 ACB? 的角平分线上是否存在点 F ，使得 DF 平面 ABE ？若存在，求 DF 的长；若不存在，请说明理由 . 19 (12 分 ) 某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取 80 名学生，得到男生身高情况的 频率分布直方图（图 1）和女生身高情况的频率分布直方图（图 2） .已知图 1 中身高在 170 175cm 的男生人数有 16 人 . 男 生 身高 00 .0 10 .0 20 .0 30 .0 40 .0 50 .0 60 .0
9、70 .0 80 .0 9160165 170 175180185频率 组距 190图 1 女 生 身高 00 .0 10 .0 20 .0 30 .0 40 .0 50 .0 60 .0 7150 15 160 165 170175频率 组距 图 2 18题图218题图1CDA BACBDE4 (1)根据频率分布直方图，完成下列的 22? 列联表，并判断能有多大（百分 比 ）的把握认为“ 身高与性别有关 ” ？ 170cm? 170cm? 总计 男生身高 女 生 身高 总计 (2)在上述 80 名学生中，从身高在 170-175cm 之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出 5 人，从这
10、5 人中选派 3 人当旗手，求 3 人中恰好有一名女生的概率 . 参考公式 及参考数据如下： ? ? ? ? ? ?22 n a d b cka b c d a c b d? ? ? ? ?20 (12 分 ) 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率 12e? ，右焦点到右顶点距离为 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2) ,AB两点为椭圆 C 的左右顶点， P 为椭圆上异于 ,AB的一点，记直线 ,PAPB 斜率分别为 ,PA PBkk，求 PA PBkk? 的值 . 21 (12 分 ) 己知 ( ) ln af x x x?. (1)求 ()fx的单调区
11、间和极值； (2)若对任意 0x? ，均有 (2ln ln )x a x a?恒成立 ,求正数 a 的取值范围 . ? ?2 0P K k? 0.025 0.610 0.005 0.001 0k 5.024 4.635 7.879 10.828 5 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做 ，则按所做的第一个题目计分 . 22 (10 分 ) 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的参数方程为212212xtyt? ? ?(t 为参数 )，曲线 C 的极坐标方程为 6cosrq? (1)若 l 的参数方程中的 2
12、t? 时，得到 M 点，求 M 的极坐标和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若点 (1,1)P ， l 和曲线 C 交于 ,AB两点，求 11| | | |PA PB? 23. (10 分 )选修 4-5：不等式选讲 设函数 ? ? 21f x x x? ? ? ?. (1)求不等式 ? ? 1fx? 的解集； (2)若关于 x 的不等式 ? ? 4 1 2f x m? ? ? 有解，求实数 m 的取值范围 . 6 高二数学 (文 )参考答案 一、选择题 1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 A 7 D 8 A 9 D 10 B 11 B 12 A 二、填 空题 13 4 1 0xy?
13、? ? 14 8 15 既不充分也不必要 16 ? 三、解答题 17 解： (1) ( ) 2 sin (2 ) 46f x x p? ? ?， -(2 分 ) 则 ()fx的周期 T p? ， -(4 分 ) 图象的对称中心为 ( ,4),2 12k kZpp?.-(6 分 ) (不写 kZ? 扣 1 分 ) (2) ( ) 2 sin (2 ) 46f x x p? ? ?， 7 , 12 12x pp? ， 42 , 6 3 3x p p p? ， -(9 分 ) ( ) 4 3,6fx? ? ? -(12 分 ) 18解： (1)证明：在平行四边形 ABCD 中，有 AD BC AC?
14、，又因为 E 为侧棱 DC 的中点，所以 AE CD? ； 又因为 AC BC? ， AD BC? ，且 AC AD A?，所以 BC? 平面 ACD . 又因为 AE? 平面 ACD ，所以 AE BC? ； 因为 BC CD C?， 所以 AE? 平面 BCD ， 又因为 AE? 平面 ABE ， 所以平面 ABE? 平面 BCD -(4 分 ) (2)解：因为 E ABC B ACEVV? ， BC? 平面 ACD ，所以 BC 是三棱锥的高， 故 13B AC E AC EV BC S? ? ?， 又因为 1BC? ， 2CD? , 22AE? ，所以1 1 1 2 1 122 2 2
15、 2 2 4A C ES A E C D? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以有 113 1 2B A C E A C EV B C S? ? ?.-(8 分 ) (3)解：取 AB 中点 O ，连接 CO 并延长至点 F ，使 CO OF? ，连接 AF ， DF ， BF . 因为 BC AC? ，所以射线 CO 是角 ACB? 的角分线 . 又因为点 E 是的 CD 中点，所以 OE DF ， 因为 OE? 平面 ABE ， DF? 平面 ABE ， 所以 DF 平面 ABE . 因为 AB 、 FC 互相平分， ODBCAFE7 故四边形 ACBF 为平行四边形，有 BC AF .
16、 又因为 DA BC? ，所以有 AF AD? ， 又因为 1AF AD?，故 2DF? .-(12 分 ) 19 解： (1) 男生人数： 16 400.08 5? ，女生人数： 80 40 40?， 男生身高 170cm? 的人数 ? ?0 .0 8 0 .0 4 0 .0 2 0 .0 1 5 4 0 3 0? ? ? ? ? ? ?，女生身高 170cm?的人数 0.02 5 40 4? ? ? ，所以可得到下列 22? 列联表： 170cm? 170cm? 总计 男生身高 30 10 40 女 生 身高 4 36 40 总计 34 46 80 -(2分 ) ? ?22 8 0 3 0
17、 3 6 1 0 44 0 4 0 3 4 4 6K ? ? ? ? ? ? 4.58 10.828? ， -(5 分 ) 所以能有 99.9% 的把握认为身高与性别有关； -(6 分 ) (2)在 170175cm 之间的男生有 16 人，女生 人数有 4 人 . 按分层抽样的方法抽出 5 人，则男生占 4 人，女生占 1 人 . 设 男生为 1A ， 2A ， 3A ， 4A ，女生为 B . 从 5人任选 3名有： ? ?1 2 3,A A A ， ? ?1 2 4,A A A ， ? ?12,A A B ， ? ?1 3 4,A A A ， ? ?13,A A B ， ? ?14,A A B ， ? ?234,A A A ， ? ?23,A A B ， ? ?24,A A B ， ? ?34,A A B ，共 10 种可能， 3人中恰好有一名女生有： ? ?12,A A B ， ? ?13,A A B ， ? ?14,A A B ， ? ?23,A A B ， ? ?24,A A B ， ? ?34,A A B 共 6 种可能，故所求概率为 63105? .-(12 分 ) 20 (1) 由题有 1 ,12c aca ? ? ? ，解得
