1、 - 1 - 2017-2018 学年度德才高中高二年级下学期 期中考 试数学（理）试卷 时间： 120分钟 满分： 150分 一、单选题 :(每题 5分，共 60 分 ) 1 已知复数 131 iz i? ? ，则 zz? （ ） A. 2 B. 2 C. 5 D. 5 2 观察图形： ? ，则第 30个图形比第 27 个图形中的 “ ” 多 （ ） A. 59颗 B. 60颗 C. 87颗 D. 89颗 3 命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（） A. 假设至 少有一个钝角 B. 假 设至少有两个钝角 C. 假设三角形的三个内 角中没有一个钝角 D. 假
2、设没有一个钝角或至少有两个钝角 4 下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 （ ） A. 大前提 无限不循环小数是无理数，小前提 是无限不循环小数， 结论 是无理数 B. 大前提 无限不循环小数是无理数，小前提 是无理数， 结论 是无限不循环小数 C. 大前提 是无限不循环小数，小前提 无限不循环小数是无理数， 结论 是无理数 D. 大前提 是无限不循环小数，小前提 是无理数， 结论 无限不循环小数是无理数 - 2 - 5 用数学归纳法证明： “ 两两相交且不共点的 n 条直线把平面分为 ?fn部分，则? ? ? ?11 2nnfn ? 。 ” 证明第二步归纳递推 时 ，用到 ?
3、 ? ? ?1f k f k? + 。（ ） A. 1k? B. k C. 1k? D. ? ?12kk? 6 设点 P是曲线 3 33 5y x x? ? ?上的任意一点，点 P处切线的倾斜角为 ? ，则角 ? 的取值范围是 （ ） A. 203?，B. 2023? ? ? ? ? ? ?， ，C. 223? ?，D. 233?，7 由直线 , , 033x x y? ? ? ?与曲线 sinyx? 所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 8 甲，乙，丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面
4、，不同的安排方 案共有 （ ） A. 60种 B.40种 C.30种 D.20种 9 若函数 ()fx的导函数 ()fx? 的图象如图所示，则下列说法正确的是 A. 1x 是 ()fx的一个极值点 B. 1x 和 3x 都是 ()fx的极值点 C. 2x 和 3x 都是 ()fx的极值点 D. 1x ， 2x ， 3x 都不是 ()fx的极值点 10 某联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法总数是 （ ） A.72 B.120 C.144 D.168 11 若 2x? 是函数 21( ) ( 1) xf x x ax e ? ? ?
5、的极值点，则 ?fx 的极小值为 - 3 - （ ） A. 32e? B. 1 C. 35e? D. -1 12 已知函数2 2( ) ( ln )xef x k xxx? ? ?，若 2x? 是函数 ?fx的唯一一个极值点，则实数 k的取值范围为 ( ) A. ( , e? B. ? ?0,e C. ? ?,e? D. ?0,e? 二、填空题 :（每题 5分，共 20分） 13 猜想数列 1 4 9 1 6 2 5 3 6, , , , ,3 5 7 9 1 1 1 3? ? ?的通项公式 na? _ 14 计算 ? ?302 sinx x dx? _ 15 已知函数 2( ) 5 2 ln
6、f x x x x? ? ?则函数 ?fx的单调递增区间是 _ 16 已知函数 1( ) s in 22 xxf x x x? ? ? ?，则关于 x 的不等式 2(1 ) (5 7 ) 0f x f x? ? ? ?的解集为 _ 三、解答题： 17 （本小题 10分） 已知复数 ? ? 22 3 (1 ) 2 2z i m m i i? ? ? ? ? ?.当实数 m 取什么值时，复数 z 是： （ 1） 实 数； （ 2）纯虚数； （ 3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数 . 18 （本小题 12分） 已知数列 ?na 前 n 项和为 nS ，且22na nn? ? - 4 -
7、 （ 1）试求出 1S ， 2S ， 3S ， 4S ，并猜想 nS 的表达式 （ 2）用数学归纳法证明你的猜想 19 （本小题 12分） 3名男生、 3名女生站成一排： （ 1）女生都不站在两端，有多少不同的站法？ （ 2） 三名男生 要相邻，有多少种不同的站法？ （ 3） 三名 女生 互 不相邻， 三名男生也互不相邻， 有多少种不同的站法？ （ 4）女生甲，女生乙 都 不 与男生丙相邻， 有多少种不同的站法？ 20 （本小题 12分） 设 ? ? ? ? ?222f x x x? ? ?. （ 1）求 ?fx的单调区间； （ 2）求 ?fx在 -5， 32 的最大值 与最小值 . 21.
8、（本小题 12 分） 已知函数 ? ? lnf x ax x b?， ? ? 2 3g x x kx? ? ?，曲线 ? ?y f x? 在 ? ?1, 1f 处的切线方程为 1yx?. （ 1）若 ?fx在 ? ?,bm 上有最小值，求 m 的取值范围； - 5 - （ 2）当 1,xee?时，若关于 x 的不等式 ? ? ? ?20f x g x?恒成立 ， 求 k 的取值范围 . 22 （本小题 12分） 已知函数 ()fx满足 满足 121( ) (1 ) (0 ) 2xf x f e f x x? ? ?； （ 1）求 ()fx的解析式及单调区间； （ 2）若 21() 2f x x
9、 ax b? ? ?， 求 ( 1)ab? 的最大值。 - 6 - 高二数学（理）参考答案 一选择题： D C B A C B C D A B D A 二填空题： 13 . 12)1( 21? ?n nn 14. 2 192? ? 15. ），）和（，（ ?2210 16. ）（ 3,2 三解 答题： 17 试题解析： ? ?222 3 2 3 2z m m m m i? ? ? ? ? ? 1 分 （ 1） z 为实数，则 0232 ? mm ，则 1?m 或 2?m 4分 （ 2） z 为 纯虚数，则 222 3 2 0 3 2 0mm? ? ? ? ?，则 12m? . 7分 （ 3）
10、? ?222 3 2 3 2 0m m m m? ? ? ? ? ?，则 0m? 或 2m? 10分 18.试题解析： （ 1）112 12Sa? ? ?， 2 1 2 241 63S S a? ? ? ? ?， 3 2 3 4 1 33 6 2S S a? ? ? ? ?， 4 3 4 3 2 82 1 0 5S S a? ? ? ? ?， 猜测 2 1n nS n? ? 4分 （ 2） 证明：当 1n? 时， 1 21111S ?，等式成立， 假设当 nk? 时，等式成立，即 2 1k kS k? ?， 则当 1nk?时， 11k k kS S a? ? ? ?2221 11kk kk?
11、? ? ? ? ?221 1 2kk k k? ? ?= )2)(1 2)2(2 ? ?kk kk（ - 7 - =2 )12)2)(1 )1(22? ? kkkk k （ ? ? ?2111kk ? ?， 即当 1nk?时，等式也成立， 故对一切 *nN? ， 2 1n nS n? ? 12 分 19.试题解析： （ 1） .中间的 4个位置任选 3个排女生，其余 3个位置任意排男生： 144AA 3334 ? (种 )； 3分 （ 2） .把 3名男生当作一个元素，于是对 3个元素任意排，然后和 3个女生做全排列： 144AA 4433 ? (种 )； 6分 （ 3） .把男生任意全排列，
12、在产生的四个空中连 续地插入 3名女生有 2种方法： 72A2A 3333 ? （种 )； 9分 （ 4） .按男生丙在两端和不在两端分类， 第一类，男生丙在两端时，从除甲乙丙外的三人中选择一人填充男生丙邻位，其余 4 人做任意排列 ： 441312 AAA ? 第二类，男生丙不在两端时，从除甲乙丙外的三人中选择 2人填充男生丙邻位，其余三人做任意排列： 332314 AAA ? ， 共有方法： 441312 AAA ? + 332314 AAA ? =288（种） . 12 分 20.试题解析： （ 1） ）23)(2()( ? xxxf ， 列表如下： x （ - ， -2） -2 （ -
13、2， 23 ） 23 （ 23 ， ） )(xf ? 0 ? 0 ? )(xf 单调递减 极小值 0 单调递增 极大值 25627 单调递减 单调增区间为（ -2， 23 ），单调减区间为（ - ， -2）和（ 23 ， ）； 6分 （ 2）由单调性可知， 0)2()( ? fxf 极小 ， 27256)32()( ? fxf极大- 8 - 又， 2725663)5-( ?f 0849)23( ?f ?fx在 -5， 32 的最大值为 63， 最小值 0. 12 分 21.试题解析： （ 1） ? ? ? ?1f x a lnx? ?， 由题意可知， ? ? ?10 11ff? ?，解得 1
14、0ab?， 所以 ? ? 1f x lnx? ?，当 ? ? 0fx? ? ，即 1x e? 时， ?fx递增； 当 ? ? 0fx? ? ，即 10 x e? 时， ?fx递减 . 因为 ?fx在 ? ?0,m 上有最小值，所以 m 的取值范围为 1,e?. 6分 （ 2）关于 x 的不等式 ? ? ? ?20f x g x?在 1,xee?上恒成立等价于不等式 223xlnx xk x? 在 1,xee?恒成立， 设 ? ? 223xlnx xhx x? ，则 ? ? 2223xxhx x? ?， 当 ? ? 0hx? ? ，即 1 1xe?时， ?hx递增； 当 ? ? 0hx? ? ，
15、即 1 xe?时， ?hx递减， 则当 1,xee?， max( ) (1) 4h x h? ? ?有 k? -4 即 ? ?4,k? ? ? 12 分 22.试题解析： （ 1） . 1 2 11( ) ( 1 ) (0 ) ( ) ( 1 ) (0 )2xxf x f e f x x f x f e f x? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 1x? 得： (0) 1f ? 1 2 11( ) ( 1 ) (0 ) ( 1 ) 1 ( 1 )2xf x f e x x f f e f e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 9 - 得： 21( ) ( ) ( ) 12xxf x e x x g x f x e x? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 1 0 ( )xg x e y g x? ? ? ? ? ?在 xR? 上单调递增 ( ) 0 ( 0 ) 0 , ( ) 0 ( 0 ) 0f x f x f x f x? ? ?
