1、 1 北重三中 2016-2017 学年度第二学期高二年级期中考试数学试题（理） 考试时间： 2017年 5月 10 日 满分： 150分 考试时长： 120分钟 第一部分 一选择题（本题共 12 小题，每题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 是虚数单位，复数 ?31ii（ ） A i?1 B i?1 C i?1 D i?1 2曲线 3 24y x x? ? ?在点 (13)，处的切线的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 3由直线 21?x ， 2x? ，曲线 xy 1? 及 x 轴所围图形的面积是（ ） A. 415 B. 417 C. 2
2、ln2 D. 2ln21 4 下列求导运算正确的是（ ） A. 2 1(log ) ln 2x x?B. 211( ) 1x xx? ? ?C. 3(3 ) 3 logxxe? D. 2( cos ) 2 sinx x x x? 5.已知随机变量 ? 服从正态分布 ? ?20,N ? ，若 ? ?2 0.023P ? ? ，则 ? ?22P ? ? ? ? ( ) A 0.477 B. 0.628 C. 0.954 D.0.977 6 函数 ( ) ( 2) xf x x e? 的单调递增区间是 ( ) A ( ,1)? B（ 0， 2） C（ 1， 3） D (1, )? 7.设随机变量 1
3、6,2XB?，则 ? ?3PX?( ) A. 516 B. 316 C. 58 D. 38 8.用数字 1， 2， 3， 4， 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （ ） A 24 B.48 C.60 D.72 2 9.二项式 1022x x?展开式的常数项是 （ ） A 360 B.180 C.90 D.45 10设 ()fx? 是函数 ()fx的导函数 , ()y f x? 的图象如左图所示 ,则 ()y f x? 的图象最有可能是下图中的（ ） A B C D 11.若 ? ?21( ) ln 22f x x b x? ? ? ?在 ? ?1,? ? 上是减函数，则 b 的取值
4、范围是（ ） A ? ?1,? ? B. ? ?1,? ? C. ? ?,1? D. ? ?,1? 12.已知函数 ()fx的导函数为 ()fx? ，满足 ? ?21( ) 2xf x f x x? ?，且 ?11f ? ，则函数?fx的最大值是 （ ） A 2e B. e C. e D. 2e 第二部分 二填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ? ?11i z i? ? ? ?，则复数 2017z ? _ 14.已知 ? ? 3| 10P B A ? ， ? ? 15PA? ，则 ? ?P AB ? _ 15.曲线 sinxy x? 在点 ? ?
5、,0M ? 处的切线方程为 _ 16.将 3 本相同的小说， 2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的分法有 _种。 三解答题（ 17 题 10 分，其余每题 12分，共 70分） 17. （本小题 10 分）已知函数 ? ? ? ? 2ln 2f x x a x? ? ?，且 ? ? 20 3f? ? . （ 1）求 ?fx的解析式 （ 2）求曲线 ?fx在 1x? 处的切线方程 18. （本小题 12 分）现有 4个同学去看电影，他们坐在同一排，且一排有 6 个座位。 （ 1）所有可能的坐法有多少种？ y x O 1 2 -1 ()fx? y x O 1 2 -
6、2 y x O 1 2 -2 y x O 1 2 -2 y x O 1 2 -2 3 （ 2）此 4人中甲、乙两人相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答） 19. （本小题 12 分）已知函数 ? ? 3 2 2 2f x x ax a x? ? ? ? （ 1）若 1a? ，求函数 ? ?y f x? 的极值 （ 2）讨论函数 ? ?y f x? 的单调区间 20. （本小题 12 分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购满 300 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球， 1个黄球， 1个白球和 1个黑球，顾客不放回的每次摸出一球，若摸到黑球则
7、停止摸奖，否则就要将盒中的球全部摸出才停止，规定摸到红球奖励 10元，摸到白球或黄球奖励 5元，摸到黑球不奖励。 （ 1）求一名顾客摸球 3次停止的概率 （ 2）记 X 为一名顾客摸球获得的奖金数额，求随机变 量 X 的分布列和数学期望 21（本小题满分 12 分）已知某公司生产一种仪器元件，年固定成本为 20 万元，每生产 1万件仪器元件需另外投入 8.1万元，设该公司一年内共生产此种仪器元件 x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为 ()fx万元， 且2213 2 .4 ( 0 1 0 )10()3 2 4 1 0 0 0 ( 1 0 )xxfxxxx? ? ? ?. （ ）写出年利润 y
8、 （万元）关于年产品 x （万件）的函数解析式； （） 当年产量为多少万件时，该公司生产此种仪器 元件 所获年利润最大？ （注：年利润 =年销售收入年总成本） 22.（本小题 12分）已知函数 ? ? lnf x ax x? ， ? ?0,a a R? （ 1）求函数 ?fx的单调区间 . （ 2）当 ? ?1,xe? 时， 不等式 1 lnx xa? ? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 北重三中 2016-2017学年度第二学期 高二年级期中考试数学试题 4 参考答案 一 选择题 1-5 DBCAC 5-10 DADBA 11-12 CD 二 填空题 13. i? 14. 350 15.
9、 0xy? ? ? 16.28 17.解：（ 1） ? ? 2 22f x xxa? ? ， ? ? 220 3f a? ?， 3a?， ? ? ? ? 2ln 2 3f x x x? ? ? ? （ 2） ? ? 2 223f x xx? ? ， ? ?10f? ?，又 ? ?11f ? ? ?fx? 在 1x? 处的切线方程为 1y? 18.解：（ 1） 46 360A ? （ 2） 2325120AA? 19.解：（ 1）当 1a? 时， 32( ) 2f x x x x? ? ? ?， ? ?23 2 1f x x x? ? ? 令 ? ? 0fx? ，解得： 1x? 或 13x? 当
10、 ? ?,1x? ? 时， ? ? 0fx? 11,3x ?时， ? ? 0fx? 1,3x ? ?时， ? ? 0fx? ? ? ? ?13f x f? ? ? ?极 大 值 ， ? ? 1 4 93 2 7f x f ? ? ?极 小 值 （ 2） ? ? 3 2 2 2f x x ax a x? ? ? ?， ? ? ? ? ?223 2 3f x x a x a x a x a? ? ? ? ? ? ? 当 0a? 时， ? ? 0fx? ? 得： xa? 或 3ax? ? ?fx的增区间为 ? ?, , ,3aa ? ? ?，减区间为 ,3aa? 当 0a? 时， ? ? 0fx?
11、? 得： 3ax? 或 xa? ? ?fx的增区间为 ,3a?， ? ?,a? ? ，减区间为 ,3a a? 5 当 0a? 时， ? ? 0fx? ? ， ?fx在 R 上单调递增。 20.解：（ 1）设“ 1名顾客摸球 3次停止”为事件 A，则共有基本事件 1 1 14 3 2CCC =24个 事件 A包含的基本事件有 1 1 1 13 2 1 1CCCC =6 个，则 ? ? 6124 4PA? （ 2）随机变量 X 的所有取值为 0， 5， 10， 15， 20 ? ? 10 4PX?， ? ? 222415 6APX A? ? ?， ? ? 2223441110 6APX AA? ?
12、 ? ? ? ? 122234 115 6CAPX A? ? ?， ? ? 3344 120 4APX A? ? ? 所以随机变量 X 的分布列为： ? ?E 10X?21解：（ ）当 0 10x? 时， 3( ) ( 2 0 8 .1 ) 2 4 .3 2 010xy x f x x x? ? ? ? ? ? 当 10x? 时， 1000( ) ( 2 0 8 .1 ) 3 0 4 8 .1y x f x x xx? ? ? ? ? ? 所以32 4 .3 2 0 , ( 0 1 0 )1010003 0 4 8 .1 , ( 1 0 )xxxyxxx? ? ? ? ? ? ? ? ?（）
13、当 0 10x? 时，由 2324.3 010xy? ? ?，得 9x? （负值舍去） .当 (0,9)x? 时， 0y? ；当 (9,10)x? 时， 0y? ； ?当 9x? 时， y 取得极大值也是最大值， 3m a x 12 4 .3 9 9 2 0 1 2 5 .810y ? ? ? ? ? ? 当 10x? 时， 1 0 0 0 1 0 0 03 0 4 ( 8 .1 ) 3 0 4 2 8 .1 1 2 4y x xxx? ? ? ? ? ? ? 当且仅当 1000 8.1xx ? ，即 1009x? 时， max 124y ? . 综合、知 9x? 时， y 取最大值， X 0
14、 5 10 15 20 P 14 16 16 16 14 6 所以当年产量为 9 万件时，该公司生产此种仪器获利最大 . 22.解：（ 1） ? ? lnf x ax x? ， 0x? ， ? ? ? ? ln ln 1f x a x a a x? ? ? ? 令 ? ? 0fx? ，则 1x e? 当 0a? 时， 10,xe?， ? ? 0fx? ； 1,xe? ?， ? ? 0fx? ? ?fx? 的单调减区间为 10,e?，单调增区间为 1,e? 当 0a? 时， ? ?fx? 的单调减区间为 1,e?，单调增区间为 10,e?（ 2）当 0a? 时， 1 0xa? ? ， ln 0x
15、? ， ? ?1,xe? ，故 1 lnx xa? ? 恒成立 当 0a? 时， ln 0x? ， 11ln lnxxxaax? ? ? 令 ? ? 1lnxgx x? ， ? ?1,xe? ，则 ? ? ? 2ln 1lnx x xgx xx?令 ? ? ln 1h x x x x? ? ?，则 ? ? lnh x x? 当 ? ?1,xe? 时， ? ? 0hx? ， ? ?hx? 在 ? ?1,e 上单调递增， ? ? ? ?10h x h? ? ? ? ? ? ? 2ln 1 0lnx x xgx xx? ? ?， ? ?gx? 在 ? ?1,e 上单调递增， ? ? ? ? 1g x g e e? ? ? ? 1ae? 综上所述： 0a? 或 1ae?
