1、第6章 测量误差基本知识6.1 测量误差概述一、测量误差一、测量误差1.测量误差测量误差（Observation Magement Error）观测量的观测值与其真值之差，包括观测误差和模型误观测量的观测值与其真值之差，包括观测误差和模型误差。差。l 观测误差：观测误差：观测值发生的偏差。如：观测值发生的偏差。如：对同一量进行多次观测，其结果通常略有差异。对同一量进行多次观测，其结果通常略有差异。l 模型误差：模型误差：数学模型不同而导致待求量发生的偏差。数学模型不同而导致待求量发生的偏差。如：如：RShRSh2222二、观测误差产生的原因二、观测误差产生的原因1.仪器的原因（仪器的原因（In
2、strumental Errors）每一种测量仪器具有一定的每一种测量仪器具有一定的精确度精确度，使测量结果受到，使测量结果受到一定的影响。另外，一定的影响。另外，仪器结构的不完善仪器结构的不完善，也会引起观测，也会引起观测误差。误差。2.观测者的原因（观测者的原因（Personal Errors）由于观测者的由于观测者的感觉器官的辨别能力感觉器官的辨别能力存在局限性，在仪存在局限性，在仪器对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。器对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。3.外界环境的影响（外界环境的影响（Natural Errors）测量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、测
3、量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误生误 差。差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩，例如，温度变化使钢尺产生伸缩，风吹和日光风吹和日光照射使仪器的安置不稳定，照射使仪器的安置不稳定，大气折光使望远镜的瞄准产大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等。生偏差等。三、测量误差的分类与处理原则三、测量误差的分类与处理原则 1.系统误差（系统误差（Systematic Error）在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，
4、或按一定的规如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为律变化，这种误差称为系统误差系统误差。如：钢尺的尺长误差如：钢尺的尺长误差等。等。系统误差对观测结果的影响具有累积性，因而对成果系统误差对观测结果的影响具有累积性，因而对成果质量的影响也特别显著。但由于它具有规律性，可采用质量的影响也特别显著。但由于它具有规律性，可采用下列方法消除或削弱其影响：下列方法消除或削弱其影响：计算改正数。计算改正数。采用一定的观测方法。采用一定的观测方法。2.偶然误差（偶然误差（Accident Error，&Random Error）在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，在相同
5、的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，即从单个误如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，其大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体差看，其大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。如如读数误差、照准误差等。读数误差、照准误差等。偶然误差是不可避免的，且具有统计规律性，可应用偶然误差是不可避免的，且具有统计规律性，可应用数理统计的方法加以处理。数理统计的方法加以处理。3.粗差（粗差（Blunder,&Gross Error）观测数据中存在的错误，称为
6、粗差。是由于作业人员观测数据中存在的错误，称为粗差。是由于作业人员的粗心大意或各种因素的干扰造成的，的粗心大意或各种因素的干扰造成的，如瞄错目标、读如瞄错目标、读错大数，光电测距、错大数，光电测距、GPS测量中对载波信号的干扰等。测量中对载波信号的干扰等。粗差必须剔除，而且也是可以剔除的。粗差必须剔除，而且也是可以剔除的。4.误差处理原则误差处理原则 在进行观测数据处理时，按照现代测量误差理论和测在进行观测数据处理时，按照现代测量误差理论和测量数据处理方法，可以消除或减弱系统误差的影响；探量数据处理方法，可以消除或减弱系统误差的影响；探测粗差的存在并剔除之；对偶然误差进行适当处理，来测粗差的存
7、在并剔除之；对偶然误差进行适当处理，来求得被观测量的最可靠值。求得被观测量的最可靠值。四、偶然误差的特性四、偶然误差的特性 设某一量的真值为设某一量的真值为X，在相同的观测条件下对此量进，在相同的观测条件下对此量进行行n次观测，得到的观测值为次观测，得到的观测值为l1 1，l2 2，ln，在每次观，在每次观测中产生的误差（又称测中产生的误差（又称“真误差真误差”）为）为1，2，n，则定义则定义 ),2,1(X-nilii 从单个偶然误差来看，其符号的正、负和数值的大小从单个偶然误差来看，其符号的正、负和数值的大小没有任何规律性。但是，如果观测的次数很多，观察其没有任何规律性。但是，如果观测的次
8、数很多，观察其大量的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下面的必然规大量的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下面的必然规律。进行统计的数量越大，规律性也越明显。下面结合律。进行统计的数量越大，规律性也越明显。下面结合某观测实例，用统计方法进行说明和分析。某观测实例，用统计方法进行说明和分析。实例 在某一测区，在相同的观测条件下共观测了在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角个三角形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（180）为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误差误差i，将它们分为负误
9、差和正误差，按误差绝对值由，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间小到大排列次序。以误差区间d=3进行误差个数进行误差个数k的统的统计，并计算其相对个数计，并计算其相对个数kn（n358），），kn称为误差称为误差出现的频率。出现的频率。误差区间误差区间 dd 负误差负误差正误差正误差误差绝对值误差绝对值K KK/nK/nK KK/nK/nK KK/nK/n0 03 345450.1260.12646460.1280.12891910.2540.2543 36 640400.1120.11241410.1150.11581810.2260.2266 69 93333
10、0.0920.09233330.0920.09266660.1840.1849 9121223230.0640.06421210.0590.05944440.1230.1231212151517170.0470.04716160.0450.04533330.0920.0921515181813130.0360.03613130.0360.03626260.0730.073181821216 60.0170.0175 50.0140.01411110.0310.031212124244 40.0110.0112 20.0060.0066 60.0170.0172424以上以上0 00 00 00
11、 00 00 01811810 05055051771770 04954953583581.0001.000 由此，可以归纳出偶然误差的特性如下：由此，可以归纳出偶然误差的特性如下：l有限性：有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值的限值。l集中性：集中性：绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。现的频率小。l对称性：对称性：绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率。l抵偿性：抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然
12、误差的理论平均值趋近于当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即：零，即：0lim21lim nnnnn由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为：的方程式为：+3 +6 +9 +12 +15 +18 +21 +24X=-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3dnk0(1)21)(222ef式中，参数式中，参数为观测误差的标准差。为观测误差的标准差。从中可以看出正态分布具有偶然误差的特性。即从中可以看出正态分布具有偶然误差的特性。即l f()是偶函数，即绝对值相等的正、负误差求得是偶函数，即
13、绝对值相等的正、负误差求得的的f()相等，故曲线对称于纵轴。相等，故曲线对称于纵轴。l 越小，越小，f()越大；越大；越大，越大，f()越小。越小。l 当当=0时，时，f()最大，其值为最大，其值为l 当当21，0)(f方差为偶然误差平方的理论平均值：方差为偶然误差平方的理论平均值：标准差为标准差为 由上式可知，标准差的大小决定于在一定条件下偶然由上式可知，标准差的大小决定于在一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。由于在计算标准差时取各个偶误差出现的绝对值的大小。由于在计算标准差时取各个偶然误差的平方和，因此，当出现有较大绝对值的偶然误差然误差的平方和，因此，当出现有较大绝对值的偶然误差时，在
14、标准差的数值大小中会得到明显的反映。时，在标准差的数值大小中会得到明显的反映。(2)2222212limlimnnnnn(3)limlim2nnnn6.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 一、精度（一、精度（Precision）测量值与其真值的接近程度测量值与其真值的接近程度l 准确度（准确度（Accuracy）：）：表示测量结果与其真值接近程表示测量结果与其真值接近程度的量。反映系统误差的大小。度的量。反映系统误差的大小。l 精密度（精密度（Precision）：）：表示测量结果的离散程度。反表示测量结果的离散程度。反映偶然误差的大小量。映偶然误差的大小量。二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标
15、 1.中误差（中误差（root mean square error）根据偶然误差概率分布规律，以标准差根据偶然误差概率分布规律，以标准差为标准衡量为标准衡量在一定观测条件下观测结果的精度是比较合适的。在一定观测条件下观测结果的精度是比较合适的。在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差，用为中误差，用m表示，即表示，即nnmn22221p两组观测值的误差绝对值相等两组观测值的误差绝对值相等pm1 m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度果的精度次序次序第一组观测第一组观测第二组观测第
16、二组观测 观测值观测值真误差真误差观测值观测值真误差真误差18018000000303-3-39 9180180000000000 00 018018000000202-2-24 417917959595959+1+11 117917959595858+2+24 418018000000707-7-7494917917959595656+4+4161618018000000202-2-24 418018000000101-1-11 118018000000101-1-11 1180180000000000 00 017917959595959+1+11 118018000000404-4-41
17、61617917959595252+8+8646417917959595757+3+39 9180180000000000 00 017917959595858+2+24 417917959595757+3+39 918018000000303-3-39 918018000000101-1-11 1|242472722424130130中误差中误差 -m2 -m1+m1 +m2XY)(1f)(2f121m221m不同中误差的正态分布曲线7.21021 m6.31022 m2.相对误差（相对误差（relative error）观测值的中误差与观测值之比观测值的中误差与观测值之比，一般用分子为，一
18、般用分子为1的分的分式表示。式表示。例如：用钢卷尺丈量例如：用钢卷尺丈量200m和和40m两段距离，量距的中两段距离，量距的中误差都是误差都是2cm，不能认定其，不能认定其精度相同精度相同，前者的相对中前者的相对中误差为误差为0.02200 110000，而后者则为，而后者则为0.0240l2000，显然，显然前者的量距精度高于后者。前者的量距精度高于后者。3.极限误差（极限误差（limit error）根据正态分布曲线，可以表示出偶然误差出现在微小根据正态分布曲线，可以表示出偶然误差出现在微小区间区间d中的概率：中的概率：根据上式的积分，可得到偶然误差在任意大小区间中根据上式的积分，可得到偶
19、然误差在任意大小区间中出现的概率。设以出现的概率。设以k倍中误差作为区间，则在此区间中误倍中误差作为区间，则在此区间中误差出现的概率为：差出现的概率为：demdfpm22221)()(demkmPmkmkm22221)(分别以分别以k1，2，3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、大于中误差、2倍中误差和倍中误差和3倍中误差的概率：倍中误差的概率：由此可见，偶然误差的绝对值大于由此可见，偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差倍中误差的约占误差总数的总数的5%，而大于，而大于3倍中误差的仅占误差总数的倍中误差的仅占误差总数的0.3%。一。一般进行的测量
20、次数有限，般进行的测量次数有限，2倍中误差应该很少遇到，因此，倍中误差应该很少遇到，因此，以以2倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差，简称倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差，简称“限差限差”，即，即 允允2m 现行现行测量规范测量规范中通常取中通常取2倍中误差作为限差。倍中误差作为限差。0000007.99997.0)3(4.95954.0)2(3.68683.0)(mPmPmP6.3 误差传播定律一、误差传播定律一、误差传播定律 观测值的误差对观测值函数的影响。用观测观测值的误差对观测值函数的影响。用观测值的中误差去表征待求量中误差的数学模型，值的中误差去表征待求量中误差的数学模型
21、，则为中误差传播定律。则为中误差传播定律。二、线性函数的中误差传播定律二、线性函数的中误差传播定律 设设Xi（i=1,2,n）是一组独立观测量，而）是一组独立观测量，而Y是是Xi的函数，即：的函数，即：(1)22110nnXaXaXaaY 式中，系数式中，系数ai已知，且假定无误差。设已知，且假定无误差。设xij是第是第i个个观测量的第观测量的第j次观测值，则按上式求出待定量的计次观测值，则按上式求出待定量的计算值算值yj为：为：将（将（2 2）式减去（）式减去（1 1）式得：）式得：(2)22110njnjjjxaxaxaay 。式中，YyyXxaaayjjijijnjnjjj ,2211
22、当对当对Xi各观测各观测k次时，上式将共有次时，上式将共有k个，分别将各个，分别将各式式两边平方两边平方，并对，并对k个式个式求其和求其和，再，再除以观测次数除以观测次数k，考虑到偶然误差的，考虑到偶然误差的抵偿性抵偿性，可得：，可得：顾及顾及中误差的定义公式中误差的定义公式，并设，并设Xi的中误差为的中误差为mi，则可得：则可得：kakakakyynnn 2222211212222222121nnYmamamam 三、非线性函数的中误差传播定律三、非线性函数的中误差传播定律 设有非线性函数设有非线性函数Y=f（X1，X2，Xn），），Xi（i=1,2,n）为）为独立观测量独立观测量，并设，并
23、设Xi的的中误差为中误差为mi，为此，可先将非线性函数线性，为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线性函数处理。化，然后再按线性函数处理。nnyXfXfXf 22112222222121nnYmXfmXfmXfm 四、误差传播定律的应用四、误差传播定律的应用 1.步骤：步骤：n 列出正确的函数模型列出正确的函数模型注意注意：模型符合测量事实；模型符合测量事实；观测量各自独立观测量各自独立n 非线性函数线性化非线性函数线性化n 运用误差传播定律运用误差传播定律 2.应用举例应用举例例例1：用尺长为：用尺长为l的钢尺丈量距离的钢尺丈量距离S，共丈量，共丈量4个尺段，设个尺段，设丈量一个尺段的中误差
24、为丈量一个尺段的中误差为m，试求，试求S的中误差。的中误差。解解一一：应用误差传播定律得：应用误差传播定律得：llllSmmmmmmS22222 解解二二：应用误差传播定律得：应用误差传播定律得：由两种解算方法的结果可以看出：由两种解算方法的结果可以看出：距离距离S的中误差不的中误差不相等相等，显然，解二的数学模型是错误的。，显然，解二的数学模型是错误的。lllllS4mmmS4422例例2：设有函数：设有函数 。若。若 X、Y为为独立观测量，其观测值中误差为独立观测量，其观测值中误差为mx、my，试求，试求U的的中误差。中误差。解解一一：由线性中误差传播定律，显然有：由线性中误差传播定律，显
25、然有：则有：则有：YXZZYXU3,而2222222)3(yxzzyxUmmmmmmm，而22210yxUmmm解解二二：由于由于 应用线性函数中误差传播定律，得：应用线性函数中误差传播定律，得：即：即：显然，这两种解法中至少有一种解法是显然，这两种解法中至少有一种解法是错误错误的。解法一的。解法一中由于未考虑观测量的中由于未考虑观测量的独立性独立性，显然是错误的。，显然是错误的。222)2()4(yxUmmm22416yxUmmmYXZYXU24例例3：设有函数：设有函数 若观测值若观测值d=180.23m，中误差，中误差md=0.05m；=612210，其中误差为，其中误差为m=20，试，
26、试求求y的中误差。的中误差。解：解：故有：故有：sin dy002.02)(2)cos(22)(sin2)(2)(22)(2mddmmydmdyymmmy045.0思考题设自已知点设自已知点A向待定点向待定点B进行水准测量，共观测进行水准测量，共观测n站。设每站。设每站的观测精度相同，其中误差为站的观测精度相同，其中误差为m站站，试求，试求A、B两点间高两点间高差的中误差。差的中误差。例例4：水平角观测限差的制定：水平角观测限差的制定 水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响，保证室光学经纬仪来说，设
27、计时考虑了有关误差的影响，保证室外外一测回的方向中误差为一测回的方向中误差为6。实际上，顾及到仪器使用。实际上，顾及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影响，设计精度一般高期间轴系的磨损及其它不利因素的影响，设计精度一般高于于6，新出厂的仪器，其野外一测回的方向中误差小于，新出厂的仪器，其野外一测回的方向中误差小于6，在精度上有所富裕。，在精度上有所富裕。对于水平角观测的精度，通常以某级经纬仪的标称精对于水平角观测的精度，通常以某级经纬仪的标称精度作为基础，应用误差传播定律进行分析，求得必要的数度作为基础，应用误差传播定律进行分析，求得必要的数据，再结合由大量实测资料经统计分析求得的数据，
28、考虑据，再结合由大量实测资料经统计分析求得的数据，考虑系统误差的影响来确定。下面仅以标称精度为基础进行分系统误差的影响来确定。下面仅以标称精度为基础进行分析。析。6.3 误差传播定律设设J6经纬仪室外经纬仪室外一测回的方向中误差一测回的方向中误差为：为：（1）一测回角值的中误差）一测回角值的中误差（2）半测回方向值的中误差）半测回方向值的中误差（3）归零差的限差）归零差的限差（4）同一方向值各测回较差的限差）同一方向值各测回较差的限差 “方61m6.4 等精度观测值平差等精度观测值平差一、等精度观测与非等精度观测一、等精度观测与非等精度观测n等精度观测等精度观测 在相同的观测条件下所进行的观测
29、。由等精度观测而在相同的观测条件下所进行的观测。由等精度观测而获得的观测值称为等精度观测值。获得的观测值称为等精度观测值。n非等精度观测非等精度观测 在不同的观测条件下所进行的观测。由非等精度观测在不同的观测条件下所进行的观测。由非等精度观测而获得的观测值称为非等精度观测值。而获得的观测值称为非等精度观测值。二、测量平差二、测量平差由于观测结果不可避免地存在偶然误差的影响，因此，由于观测结果不可避免地存在偶然误差的影响，因此，在实际工作中，为提高成果质量，同时也为了检查和及在实际工作中，为提高成果质量，同时也为了检查和及时发现观测值中的粗差，通常进行时发现观测值中的粗差，通常进行多余观测多余观
30、测。（例如：。（例如：一个平面三角形，只要观测其中的两个内角，即可确定一个平面三角形，只要观测其中的两个内角，即可确定其形状，但通常是观测三个内角）。其形状，但通常是观测三个内角）。由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现观测观测结果不一致结果不一致。因此，必须对带有偶然误差的观测值进行。因此，必须对带有偶然误差的观测值进行处理，使得消除不符值后的结果，可认为是观测值的最处理，使得消除不符值后的结果，可认为是观测值的最可靠结果。由此可知，测量平差的任务是：可靠结果。由此可知，测量平差的任务是：（1）对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的）对一系
31、列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。（2）评定测量成果的精度）评定测量成果的精度三、等精度直接观测值平差三、等精度直接观测值平差1.算术平均值原理算术平均值原理 在在相同的观测条件相同的观测条件下，对某个未知量进行下，对某个未知量进行n次观测，其次观测，其观测值分别为观测值分别为l1，l2,，ln，将这些观测值取算术平均值，将这些观测值取算术平均值，作为该量的最或是值，即：作为该量的最或是值，即：nlnlllxn21现用偶然误差的特性来证明现用偶然误差的特性来证明:设某一量的真值为设某一量的真
32、值为X，各次观测，各次观测值为值为l1，l2,，ln，其相应的真误差为，其相应的真误差为1，2，n，则，则 将上列等式相加，并除以将上列等式相加，并除以n，得到，得到 等式两端取极限，则等式两端取极限，则nnlXlXlX2211nlXnnlXnnnlimlim由偶然误差的由偶然误差的抵偿性抵偿性，有，有 故可得：故可得：2.观测值的改正数及其性质观测值的改正数及其性质 观测值的最或是值与观测值之差，即：观测值的最或是值与观测值之差，即：将上列等式相加，得将上列等式相加，得 即：一组观测值的改正值之和恒等于零。这一特性可以作为即：一组观测值的改正值之和恒等于零。这一特性可以作为计算中的校核计算中
33、的校核。0limnnXxnlim),2,1(,nilxvii 0lxnv3.等精度观测值的中误差等精度观测值的中误差u 根据根据真误差真误差计算等精度观测值中误差计算等精度观测值中误差 由于真值的不可知，导致真误差的不可知。但是，有时可由于真值的不可知，导致真误差的不可知。但是，有时可将理论值视为真值，例如：三角形内角和为将理论值视为真值，例如：三角形内角和为180等。等。例例4：设等精度观测：设等精度观测n个三角形的三个内角，试根据三角形闭合差计算个三角形的三个内角，试根据三角形闭合差计算测角中误差。测角中误差。解：三角形闭合差：解：三角形闭合差：根据中误差的定义公式得三角形闭合差的中误差为
34、：根据中误差的定义公式得三角形闭合差的中误差为：nm),2,1(,180nicbaiiii nm 而根据中误差传播定律，可得三角形闭合差的中误差为：而根据中误差传播定律，可得三角形闭合差的中误差为：其中，其中，m为测角中误差。将此式代入上式得：为测角中误差。将此式代入上式得：此式即著名的此式即著名的菲列罗公式菲列罗公式，通常用于计算三角测量的测角，通常用于计算三角测量的测角中误差。但当三角形的个数大于中误差。但当三角形的个数大于20时，由此公式算出的测角时，由此公式算出的测角中误差才比较可靠。中误差才比较可靠。mm3nm3u 根据观测值的改正数计算其中误差根据观测值的改正数计算其中误差 设某量
35、的设某量的n个等精度观测值为个等精度观测值为l1，l2,，ln，其真误差和改，其真误差和改正数为：正数为：于是有：于是有：将上列将上列n个等式两边分别个等式两边分别平方平方，并，并求其和，再除以求其和，再除以n，则有：，则有：上式中，上式中，考虑到中误差的定义公式，考虑到中误差的定义公式，可得：可得：iiiilxvXl,)(Xxvii2)()(2XxnvXxnvvn22)(,0nXxv1nvvm4.算术平均值的中误差算术平均值的中误差 设观测值的中误差为设观测值的中误差为m，算术平均值的中误差为，算术平均值的中误差为M，则应，则应用误差传播定律于算术平均值的计算公式，则有：用误差传播定律于算术平均值的计算公式，则有：故算术平均值的中误差为：故算术平均值的中误差为：22222222)1()1()1(mnmnmnmnM nmM
