1、 - 1 - 山东省三校 2016-2017 学年高二数学下学期期中联考试题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数1z 1i? ?所对应的的点在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2函数 f(x) (x 3)ex的单调递增区间是 ( ) A ( ， 2) B (0,3) C (1,4) D (2， ) 3用数学归纳法证明 1n 1n 1 1n 2 ? 12n1(n N*， n2) ，由 “k 到 k 1” 时，不等式左端的变化是 ( ) A增加 1 一项 B增加 12k 1和 1
2、两项 C增加 12k 1和 1 两项，同时减少 1k一项 D以 上都不对 4设 P 为曲线 C：2 23y x x? ? ?上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为04?，则点 P横坐标的取值范围为 ( ) A11 2?，B? ?10?，C? ?01，D112，5.若? ? ? ?21 2 ln2f x x a x x? ? ? ? ?在? ?1,?上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. ? 3, 1?B. ? ?10?C. ? ?0,D.? ?,2?6用反证法证明命题 “ 三角形的内角中至少有一个角不大于 60” 时，应假设 ( ) A三角形的三个内角都不大于 60 B三
3、角形的三个内角都大于 60 C三角形的三个内角至多有一个大于 60 D三角形的三个内角至少有两个大于 60 7 有一段“三段论”，其推理是这样的“对于可导函数)(xf，若0)( 0 ? xf，则0?是函数)xf的极值点，因为函数3)( xf ?满足00( ?f，所以?x是函数3)( xf ?的极值点”，以上推理（ ） - 2 - A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D没有错误 8设a b,函数2( ) ( )y x a x b? ? ?的图像可能是 ( ) 9观察下列各式： a b 1， a2 b2 3， a3 b3 4， a4 b4 7， a5 b5 11， ? ，则 a10 b10
4、 ( ) A 28 B 76 C 99 D 123 10 设函数()y f x?在(,ab上的导函数为 )fx,在(,ab上的导函数为( ),若在(, )ab上 , ) 0?恒成立 ,则称函数函数()在 上为 “ 凸函数 ” 已知当2m?时 ,3211() 62f x x mx x? ? ?在( 1,2)?上是 “ 凸函数 ” 则 在( 1,2)?上 ( ) A既有极大值，也有极小值 B有极大值，没有极小值 C没有极大值，有极小值 D没有极大值，也没有极小值 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20 分 11计算：?21 )1( dxxex_ 12.设复数 z满足(1 ) 2i
5、z i?，其中 i为虚数单位，则 z的共轭复数z?_ 13 . 设曲线11xy x? ?在点? ?3,2处的切线与直线10ax y? ? ?垂直，则a等于_ . 14 1 如图，它满足： 2 2 第 n行首尾两数均为 n， 3 4 3 表中的递推关系类 似杨辉三角， 4 7 7 4 则第 n行)2( ?第 2个数是 _ 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 15已知函数?fx的定义域为? ?15,?，部分对应值如下表，?fx的导函数? ?y f x?的图象如图所示 . 下列关于 的命题： - 3 - 函数?fx的极大值点为0，4； 函数 在? ?02,上是减函数； 如果当?
6、 ?1x ,t?时，?的最大值是 2，那么t的最大值为 4； 当12a?时，函数? ?y f x a?有4个零点； 函数? ?y f x a的零点个数可能为 0、 1、 2、 3、 4个 其中正确 命题的序号是 _ 三、解答题：本大题共 6小题，满分 75分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16. (本小题满分 12分 ) 已知 z是复数，2zi?与2zi?均为实数 . （ 1）求复数 ； （ 2）复数? ?2z ai?在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围 . - 4 - 17.(本小题满分 12分 ) （ 1）求证：? ?1 2 3 3 .a a a a a? ?
7、? ? ? ? ?（ 2）求由曲线yx?，直线2?及y轴所围成的图形的面积 . 18.(本小题满分 12分 ) 若01?a，1?，),2,1(1 21 ? naaa nnn (1)求证：nn a?1； (2)令,211写出5432 , aaaa的值，观察并归纳出这个数列的通项公式na， 并用数学归纳法 证明 19.(本小题满分 12分 ) 已知 x 3是函数 f(x) aln(1 x) x2 10x的一个极值点 (1) 求 a； (2) 求函数 f(x)的单调区间； (3) 若直线 y b与函数 y f(x)的图象有 3个交点，求 b的取值范围 . 20.(本小题满分 13分 ) 时下，网上教
8、学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外 学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套） 与销售价格x（单位：元 /套）满足的关系式为? ?2462mx? ? ?，其 中26x?，m为常数 .已知销售价格为 4元 /套时，每日可售出套题 21千套 . （ 1）求m的值； （ 2）假设 网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑售出 的套数），试确定销售- 5 - 价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利 润最大 .（保留 1位小数点） 21.(本小题满分 14分 ) 已知函数 f（ x） =xlnx， g（ x） = x2+ax 2 （ 1）若曲线 f（
9、x） =xlnx在 x=1处的切线与函数 g（ x） = x2+ax 2也相切，求实数 a的值； （ 2）求函数 f（ x）在 上的最小值； （ 3）证明：对任意的 x （ 0， + ），都有 成立 参考答案 DDCAD BACDB 11.e2-e-ln2 12 1i?13 2 14 2 22n nna ?15 三、 16. 解： () 设()z x yi x y? ? ?R， 2 ( 2)z i x y i? ? ? ?为实数， y? ? 3分 2 1 1( 2 2) ( 4)2 2 5 5z x i x x iii? ? ? ? ?为实数， 4x?，则42zi ? 6分 （ ）22( )
10、(12 4 ) 8 ( 2)z ai a a a i? ? ? ? ? ?在第一象限， 212 4 08 2) 0aaa? ? ? ? ? ，? 9分 解得26a? ? 12 分 17. () 证明： ， - 6 - 6分 （ ） 解：联立方程2yxyx? ?得到两曲线的交点? ?4,2，因此曲线?，直线2及y轴所围成的图形的面积为? ? 34 242 00 2 1 162 2 |3 2 3S x x dx x x x? ? ? ? ? ? ?12 分 18解： (1)证明：假设1nnaa? ?，即1 n nna aa ?， 解得01?或? 2分 从而- 1 2 1 - 1 2 1= = =
11、= 0 = = = = 1n n n na a a a a a a a或， 这与题设11?或相矛盾， ? 4分 所以1? ?不成立故1? ?成立 ? 5分 (2)由题意得1 2 3 4 51 2 4 8 16= , = , = , = , = ,2 3 5 9 17a a a a， ? 6分 由此猜想：1221 1? ?n nna. ? 8分 01 0211. = 1 = 2 1 2na ?证 明 ： 当 时 ， ， 猜 想 成 立? 9分 111( 1 ) 111 1 ( 1 ) 1122. = =21222 2221= 1 =21 2 1 2 1121=1kk kkkkkkk k kkkk
12、n k aan k aank? ? ? ? ? ? ? ?假 设 当 时 ， 猜 想 成 立 ， 即 成 立 .10 分当 时 ,当 时 ， 猜 想 也 成 立 。 .11 分- 7 - 11221nn? ?n由 1 和 2 知 ， 对 一 切 正 整 数 n ， 都 有 a= 成 立 .12 分19(1) 因为 f( x) a1 x 2x 10 所以 f(3) a4 6 10 0 因此 a 16 (2) 由 (1)知， f(x) 16ln(1 x) x2 10x， x( 1， ) f( x) 2(x2 4x 3)1 x 当 x( 1,1)(3 ， ) 时， f( x) 0 当 x(1,3)
13、时， f( x) 0 所以 f(x)的单调增区间是 ( 1,1)， (3， ) f(x)的单凋 减区间是 (1,3) (3) 由 (2)知， f(x)在 ( 1,1)内单调增，在 (1,3)内单调减，在 (3， ) 上单调增， 所以 f(x)的极大值为 f(1) 16ln2 9，极小值为 f(3) 32ln2 21 又 x -1 时， f（ x） - ； x+ 时， f（ x） + ； 可 据此画出函数 y=f（ x）的草图，由图可知 要使直线 y b与 y f(x)的图象各有 3个交点，则 f(3) b f(1) 所以 b的取值范围为 (32 ln2 21,16ln2 9) 20解： ()
14、因为4?时，21?， 代入关系式? ?2462myxx? ? ?，得16 212m?， 解得10m?. 4分 （ ） 由 () 可知，套题每日的销售量? ?210 2x? ? ?， 所以每日销售套题所获得的利润 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 3210( ) 2 4 6 10 4 6 2 4 56 240 278 2 62f x x x x x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?从而? ? ? ? ? ? ? ?2 12 112 240 4 3 10 6 2 6f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?. 8分 令? ?0fx?，得
15、103x,且在102,3?上 ,0)( ?xf，函数)(xf单调递增；在10,63上， 0( ?xf，函数)(xf单调递减， 所以103x?是函数 在? ?2,6内的极大值点，也是最大值点， 12分 所以当3.33?时，函数)(xf取得最大值 . 故当销售价格为 3.3元 /套时，网校每日销售套题所获得的利润最大 . 13分 21【解答】解：（ 1） f （ x） =lnx+x? =lnx+1， x=1时， f （ 1） =1， f（ 1） =0， - 8 - 故 f（ x）在 x=1处的切线方程是： y=x 1， 联立 ， 消去 y得： x2+（ 1 a） x+1=0， 由题意得： =（ 1
16、 a） 2 4=0， 解得： a=3或 1； （ 2）由（ 1）得： f （ x） =lnx+1， x （ 0， ）时， f （ x） 0， f（ x）递减， x （ ， + ）时， f （ x） 0， f（ x）递增， 0 t t+ ，即 0 t 时， f（ x） min=f（ t+ ） =（ t+ ） ln（ t+ ）， 0 t t+ ，即 t 时， f（ x） min=f（ ） = ； t t+ ，即 t 时， f（ x）在递增， f（ x） min=f（ t） =tlnt； 综上， f（ x） min= ； （ 3）证明：设 m（ x） = ，（ x （ 0， + ），则 m （ x） = ， x （ 0， 1）时， m （ x） 0， m（ x）递增，
