1、 1 陕西省西安市雁塔区 2016-2017届高二数学下学期期中试题 理 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 120分，考试用时 100分钟。 注 :所有题目在答题卡上做答 第 I卷（选择题 共 30分） 一、选择题（本 大题共 10小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1“ 1x ? ”是“ 2 3 2 0xx? ? ? ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 若 pq? 是假命题，则 （ ） A.p 是真命题， q 是假命题 B.p 、 q 均为假命题 C.p 、 q
2、 至少有一个是假命题 D.p 、 q 至少有一个是真命题 3用数学归纳法证明等式 1 2 3 ? (n 3) (n 3)(n 4)2 (n N*)时，验证 n 1，左边应取的项是 ( ) A 1 B 1 2 C 1 2 3 D 1 2 3 4 4. dxxex )2(10 ? 等于 （ ） A Be?C 1 D1e?5. 若曲线 4yx? 的一条切线 l 与直线 4 8 0xy? ? ? 垂直，则 l 的方程为 （ ） A 4 3 0xy? ? ? B 4 5 0xy? ? ? C 4 3 0xy? ? ? D 4 3 0xy? ? ? 6. 把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天
3、的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有 （ ） A 48 B 24 C 60 D 120 7中心在原点的双曲线，一个焦点为 (0 3)F ， ，一个焦点到最近顶点的距离是 31? ，则双曲线的方程是 （ ） A 22 12xy ? B 22 12yx ? C 22 12yx ?D 22 12xy ?2 8已知 A（ 1， 2， 6）， B（ 1， 2， 6） ， O为坐标原点，则向量 ,OA OB与 的夹角是 （ ） A 0 B 2? C ? D 32? 9. 设 ? ?5 250 1 2 52 x a a x a x a x? ? ? ?，那么 0241 3 5a a aa a
4、a? 的值为 （ ） A： 122121 B： 6160 C： 244241 D： -1 10.函数 3( ) 1f x x ax? ? ?在区间（ 1， +）内是增函数，则实数 a 的取值范围 （ ） A a 3 B a 3 C a 3 D a 3 第卷（非选择题 共 90分） 二、 填空题（本大题共 5小题， 每小题 4分，共 20 分，把答案填在题中横线上。） 11若 2ibia ? ，其中 a 、 b ?R ， i 为虚数单位，则 ?ba _ 12 在 5(2 1)x? 的展开式中， 2x 的系数为 . _ (用数字作答 ) 13 由直线 13x? ， 3x? ，曲线 xy 1? 及
5、x 轴所围图形的面积是 _ 14 将 侧棱相互垂直的三棱锥称为 “ 直角三棱锥 ” ，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的 “ 直角面和斜面 ” ；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的 “ 中面 ” .已知 直角三角形具有性质： “ 斜边的中线长等于斜边边长的一半 ” .类比 此性质 ， 写出直角三棱锥具有的性质： 。 15 已知椭圆 xykkkyx 12)0(3 222 ? 的一个焦点与抛物线的焦点重合， 则该椭圆的离心率是 三、解答题（本大题共 4题， 50 分，请写出必要的解答过程）。 16.（ 10 分） 求直线11: ( )53xtltyt? ? ? 为 参 数和直线 2
6、: 2 3 0l x y? ? ?的交点 P 的坐标，及点P 与 (1, 5)Q ? 的距离 17.（ 12 分） 已知函数 xxxf sin)( ? . （ 1）求函数 )(xf 的导数； （ 2）求曲线 )(xfy? 在点 M（ ?， 0）处的切线方程 . 3 18 （ 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PD? 底面ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD DC? ， ,EF分别是,ABPB 的中点 (1)求证： EF CD? ； (2)在平面 PAD 内求一点 G ，使 GF? 平面 PCB ， 并证明你的结论； (3)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值 19
7、（ 14 分） 已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的焦距为 62 ，椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6 （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 2: ?kxy 与椭圆 C 交于 BA, 两点，点 P （ 0， 1），且 PA =PB ，求直线 l 的方程 附加题： （本大题共 3题， 20分，请写出必要的解答过程） 20.（ 5分） 如图，在杨辉三角形中，斜线 l 的上方从1 按箭头所示方向可以构成一个 “ 锯齿形 ” 的数列：1， 3， 3， 4， 6， 5， 10， ? ，记此数列的前 n 项之和为 nS ，则 21S 的值为 （ ） A 66 B 153
8、 C 295 D 361 A E B P C D F 4 21. （ 5 分） 已知 )(xf 为一次函数，且 10( ) 2 ( )f x x f t dt? ?，则 )(xf =_. 22. （ 10分） 已知函数 xbxaxxf 3)( 23 ? 在 1?x 处取得极值 求函数 )(xf 的解析式； 求证：对于区间 1,1? 上任意两个自变量的值 21,xx ，都有 4|)()(| 21 ? xfxf ； 若过点 )2)(,1( ?mmA 可作曲线 )(xfy? 的三条切线，求实数 m 的取值范围 2016-2017学年下学期期中考试高二 (理科 )数学参考答案 一、 选择题（每小题 3
9、分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A A C A C A A 二、填空题（每小题 5分，共 20 分） 11 1? 12. 40? 13. 2ln3 14.直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 15. 32e? 三解答题 5 16解： 将 153xtyt? ?，代入 2 3 0xy? ? ? ，得 23t? ， 得 (1 2 3,1)P ? ，而 (1, 5)Q ? ，得 22| | ( 2 3 ) 6 4 3PQ ? ? ? 17.解： 解：（ 1）22 s i nc o s1s i nc o s)( x xxxx xxxxf
10、 ?. （ 2）由（ 1）得在点 M（ ?， 0）处的切线的斜率 ? ? 1s inc o s)(2 ? fk， 所以在点 M（ ?， 0）处的切线方程为 )(10 ? ? xy ，即 1? ?xy . 18 解： 以 ,DA DC DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 (如图 )，设 DA a? ， 则(0,0,0)D ， ( ,0,0)Aa ， ( , ,0)Baa ， (0, ,0)Ca， ( , ,0)2aEa ， ( , , )222aaaF ， (0,0, )Pa (1) 因为 ( , 0 , ) (0 , , 0 ) 022aaE F D C a? ?
11、? ? ?，所以 EF CD? . (2)设 ( ,0, )Gx z ， 则 G? 平面 PAD ， ( , , )2 2 2a a aF G x z? ? ? ?， ( , , ) ( , 0 , 0 ) ( ) 02 2 2 2a a a aF G C B x z a a x? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 2ax? ， ( , , ) (0 , , ) 02 2 2a a aF G C P x z a a a z? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 0z? G 点坐标为 ( ,0,0)2a ，即 G 点为 AD 的中点 (3)设 平面 DEF 的法向量为 ( , , )x y
12、 z?n 由 00DFDE? ?nn得，( , , ) ( , , ) 0222( , , ) ( , , 0 ) 02aaax y zax y z a? ? ?即( ) 0202a x y zaax y? ? ? ? ?， 取 1x? ，则 2y? ， 1z? ，得 (1, 2,1)?n 3c o s , 6| | 26B D aBD BD a? ? ? ? ?nn n|， A E B P C D F 6 所以， DB 与平面 DEF 所成角的正弦值的大小为 36 19解： （） 由已知 62 ?a ，： 622 ?c ,解得 3?a ， 6?c , 所以 3222 ? cab ，所以椭圆
13、C的方程为 139 22 ? yx 。 （） 由?,2,139 22kxyyx 得 0312)31(22 ? kxxk ， 直线与椭圆有两个不同的交点，所以 0)31(12144 22 ? kk 解得 912?k 。 设 A（ 1x ， 1y ）， B（ 2x ， 2y ） 则221 31 12 kkxx ?，221 31 3kxx ?， 计算222121 31 4431 124)( kk kkxxkyy ?， 所以， A， B中点坐标 E（2316kk?，231 2k?） , 因为 PA =PB ，所以 PE AB， 1? ABPE kk , 所以 1316131 222 ?kkkk , 解
14、得 1?k , 经检验，符合题意，所以直线 l 的方程为 02?yx 或 02?yx 。 附加题 ： 20.D 21. ( ) 1f x x? 22. 解： 解 ： 323)( 2 ? bxaxxf ，依题意 有 ， 0)1()1( ? ff ， 即 ,0323 0323? ? ? ba ba解得 0,1 ? ba . xxxf 3)( 3 ? . xxxf 3)( 3 ? , )1)(1(333)( 2 ? xxxxf 7 当 11 ? x 时， 0)( ?xf ，故 )(xf 在区间 1,1? 上为减函数， 2)1()(,2)1()( m i nm a x ? fxffxf . 对于区间
15、1,1? 上任意两个自变量的值 21,xx ， 都有 4)2(2|)()(|)()(| m i nm a x21 ? xfxfxfxf . )1)(1(333)( 2 ? xxxxf ， 曲线方程为 xxy 33 ? ， 点 )2)(,1( ?mmA 不在曲线上 . 设切点为 ),( 00 yxM ，则点 M 的坐标满足 .3 0300 xxy ? 因 )1(3)( 200 ? xxf ，故切线的斜率为13)1(3 0 03020 ? ? x mxxx， 整理得 0332 2030 ? mxx . 过点 ),1( mA 可作曲线的三条切线， 关于 0x 方程 0332 2030 ? mxx 有三 个实根 . 设 332)( 20300 ? mxxxg ，则 066)( 0200 ? xxxg 得， 10?x 或 00?x . )(0xg 在 ),1(),0,( ? 上单调递增， 同理 )(0xg 在 )1,0( 上单调递减 . 函数 332)( 20300 ? mxxxg 的极值点为 00?x 或 10?x . 又 0x ? 时， 0()gx ? ， 0x ? 时， 0()gx ? . 关于 0x 方程 0332 2030 ? mxx 有三个实根的充要条件是 ? ?0)1( 0)0(gg， 解得 23 ? m . 故所求的实数 a 的取值范围是 23 ? m .
