1、 6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例复习引入 前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算的运算化归为实数的运算.本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题探索三角形边长
2、与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决来，因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面通过两个下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.有了运算，向量的力有了运算，向量的力量无限；没有
3、运算，量无限；没有运算，向量就只是一个路标向量就只是一个路标.例析 新知探索 平面几何经常涉及距离平面几何经常涉及距离(线段长度线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再角等几何元素，然后通过向量的运算来研究
4、点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论成几何关系，便得到几何问题的结论.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三部曲三部曲”：(1)(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；(2)(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)(3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系.例析 例析下面
5、，我们再来感受一下向量在物理中的应用下面，我们再来感受一下向量在物理中的应用.例例3.3.在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角你能从数学的角度解释这种现象吗？度解释这种现象吗？例析例例3.3.在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小个拉力夹角越
6、大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？你能从数学的角度解释这种现象吗？例析 例析 新知探索 答案：，答案：，.答案：答案：B.B.练习题型一：平面向量在几何证明中的应用题型一：平面向量在几何证明中的应用 练习 练习 练习方法技巧：方法技巧：平面几何中利用向量证明的常见问题及方法平面几何中利用向量证明的常见问题及方法(1)(1)常见的利用向量证明的问题常见的利用向量证明的问题利用共线向量定理证明线段平行或点共线；利用共线向量定理证明线段平行或点共线；利用向量的模证明线段相等；利用向量的模证明线段相等；利用向量的数量积为利用向量的数量积为0
7、0证明线段垂直证明线段垂直.(2)(2)常用的两个方法常用的两个方法基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明.坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明.练习题型二：平面几何中的求值问题题型二：平面几何中的求值问题 练习 练习 练习 练习题型三：平面向量在物理中的应用题型三：平面向量在物理中的
8、应用 练习 练习方法技巧：方法技巧：用向量方法解决物理问题的四个步骤用向量方法解决物理问题的四个步骤问题转化问题转化建立模型建立模型求解参数求解参数回答问题回答问题把物理问题转化为数学问题把物理问题转化为数学问题建立以向量为载体的数学模型建立以向量为载体的数学模型求向量的模、夹角、数量积等求向量的模、夹角、数量积等把所得的数学结论回归到物理问题中把所得的数学结论回归到物理问题中课堂小结1.1.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”(1)(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；面几何问题转化为向量问题；(2)(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)(3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系.课堂小结 作业
