1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第2页页 课前自助餐 授人以渔 02 01 课外阅读 03 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第3页页 第7课时 双曲线双曲线 2020 考纲下载 1了解双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定 系数法求双曲线方程 2知道双曲线的几何性质 3了解双曲线的一些实际应用 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第4页页
2、 请注意 除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双 曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质， 也是高考命题的热点 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第5页页 课课前前自自助助餐餐 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第6页页 1双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值 _的点的轨迹叫做双曲线 等于常数2a(2a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图 形 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第8页页 焦点 _ _ 焦距 _
3、 _ 范围 _ _ 对称性 _ 顶点 _ _ 轴 _ 离心率 _ 性 质 渐近线 _ _ F1(c，0)，F2(c，0) F1(0，c)，F2(0，c) |F1F2|2c c2a2b2 |x|a，yR |y|a，xR 关于x轴，y轴和原点对称 (a，0)，(a，0) (0，a)，(0，a) 实轴长2a，虚轴长2b 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第9页页 3.归纳拓展 (1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设 双曲线的方程为 Ax2By21(AB0，b0)共渐近线的双曲线方程为 x2 a2 y 2 b2 ( 0) 高考一轮总复习高考一轮
4、总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第10页页 (4)与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)共焦点的圆锥曲线方程为 x2 a2 y2 b21(0，b0)与 y2 b2 x2 a21(a0，b0)互为共轭双曲 线，有相同的渐近线、相等的焦距 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第11页页 (6)双曲线形状与 e 的关系：|k|b a c2a2 a c2 a21 e21，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线 的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开 口就越开阔 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（
5、新课标理（新课标 版）版） 第第12页页 1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 (2)方程x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 (3)双曲线方程 x2 m2 y2 n2(m0，n0， 0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n20，即 x m y n0. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第13页页 (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. (5)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 y2 b2 x2 a21(a
6、0，b0)的离 心率分别是 e1，e2，则 1 e12 1 e221(此结论中两条双曲线为共轭双 曲线) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第14页页 2(课本习题改编)若双曲线方程为 x22y21，则它的右焦 点坐标为_ 答案 6 2 ，0 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第15页页 3(2020 石家庄重点中学摸底考试)已知双曲线过点(2，3)， 渐近线方程为 y 3x，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 2 16 y2 121 B.y 2 3 x 2 2 1
7、 Cx2y 2 3 1 D.3y 2 23 x2 231 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第16页页 答案 C 解析 方法一：当双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准 方程是x 2 a2 y2 b21(a0， b0)， 由题意得 4 a2 9 b21， b a 3， 解得 a1， b 3， 所以该双曲线的标准方程为 x2y 2 3 1； 当双曲线的焦点在 y 轴上 时，设双曲线的标准方程是y 2 a2 x2 b21(a0，b0)，由题意得 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第17页页 9 a2 4 b21， a
8、 b 3， 无解故该双曲线的标准方程为 x2y 2 3 1，选 C. 方法二：把 x2 代入渐进线方程 y 3x 中，得 y2 33， 又点(2，3)在第一象限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线 的标准方程是x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，由题意得 4 a2 9 b21， b a 3， 解得 a1， b 3，所以该双曲线的标准方程为 x 2y 2 3 1，故选 C. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第18页页 方法三：因为双曲线的渐近线方程为 y 3x，即 y 3 x， 所以可设双曲线的方程是 x2y 2 3 (0)，将点(2，3)代入
9、，得 1，所以该双曲线的标准方程为 x2y 2 3 1，故选 C. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第19页页 4若双曲线 E：x 2 9 y2 161 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于( ) A11 B9 C5 D3 答案 B 解析 由方程可知 a3， b4.c b2a25， |PF1|3， |PF2| ac8.P 在双曲线左支上，|PF2|PF1|2a.|PF2|PF1|2a 369.故选 B. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第20页页 5(202
10、0 沧州七校联考)下列双曲线中，渐近线方程为 y 2x 的是( ) Ax2y 2 4 1 B.x 2 4 y21 Cx2y 2 2 1 D.x 2 2 y21 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第21页页 答案 A 解析 对于 A，令 x2y 2 4 0，得 y 2x；对于 B，令x 2 4 y20，得 y 1 2x；对于 C，令 x 2y 2 2 0，得 y 2x；对于 D， 令x 2 2 y20，得 y 2 2 x.故选 A. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第22页页 6(2020 潍坊高三期末考试)已知双
11、曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 的焦点到渐近线的距离为 3，且离心率为 2，则该双曲线的实轴 的长为( ) A1 B. 3 C2 D2 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第23页页 答案 C 解析 由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线 bxay0 的 距离为 bc a2b2b 3，即 c 2a23，又 ec a2，所以 a1， 该双曲线的实轴长为 2a2. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第24页页 授授 人人 以以 渔渔 题型一 双曲线的定义及应用 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理
12、（新课标理（新课标 版）版） 第第25页页 例 1 (1)已知圆 C1： (x3)2y21 和圆 C2： (x3)2y29， 动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程 为_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第26页页 【解析】 如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小
13、于|C1C2| 6. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第27页页 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1) 【答案】 x2y 2 8 1(x1) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第28页页 (2)(2020 广东普宁市华侨中学期末)过双曲线 x2y 2 4 1 的左 焦点 F1作一条直线 l 交双曲线左支于 P，Q 两点，若|PQ|10， F2是双曲线的右焦点，则PF2
14、Q 的周长是_ 【解析】 由题意，得|PF2|PF1|2，|QF2|QF1|2. |PF1|QF1|PQ|10， |PF2|QF2|104， |PF2|QF2| 14.PF2Q 的周长是|PF2|QF2|PQ|141024. 【答案】 12 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第29页页 (3)已知 F 是双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲 线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_ 【解析】 设双曲线的右焦点为 F1， 则由双曲线的定义可知|PF| 4|PF1|，所以当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线
15、 的图象可知当点 A，P，F1共线时，满足|PF1|PA|最小，|AF1|即|PF1| |PA|的最小值又|AF1|5，故所求的最小值为 9. 【答案】 9 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第30页页 状元笔记 (1)抓住“焦点三角形 PF1F2”中的数量关系是求解本题的 关键；利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常 数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支 (2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：距离之差的绝对 值；2a2) 【答案】 x2 4 y2 121(x2) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版）
16、 第第35页页 (3)已知双曲线 C：x2y 2 3 1 的右焦点为 F，P 是双曲线 C 的 左支上一点，M(0，2)，则PFM 周长的最小值为_ 【解析】 由双曲线 C：x2y 2 3 1 可知 a1，b 3，c2， 右焦点 F(2，0)，设左焦点为 F1(2，0)，PFM 的周长为|PF|PM| |MF|22 2|PF1|PM|，当 P，F1，M 三点共线时，PFM 的周长取得最小值因为|F1M|2 2，所以PFM 的周长的最小值 为 24 2. 【答案】 24 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第36页页 题型二 求双曲线的标准方程 高考一轮
17、总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第37页页 例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线 x24y24 有共同渐近线且经过点(2，2)； (2)渐近线方程为 y 1 2x，焦距为 10； (3)经过两点 P(3，2 7)和 Q(6 2，7)； (4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2，且过 点(4， 10) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第38页页 【解析】 (1)设所求双曲线方程为 x24y2(0)， 将(2，2)代入上述方程，得 22422，12. 所求双曲线方程为y 2 3 x2
18、121. (2)设所求双曲线方程为x 2 4 y2(0)， 当 0 时，双曲线标准方程为 x2 4 y2 1， c 5. 55，5； 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第39页页 当 0) 9m28n1， 72m49n1，解得 m1 75， n 1 25. 双曲线方程为 y2 25 x2 751. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第40页页 (4)依题意，e 2ab.设方程为x 2 m y2 m1，(m0) 则16 m 10 m 1，解得 m6.双曲线方程为x 2 6 y 2 6 1. 【答案】 (1)y 2 3
19、 x2 121 (2) x2 20 y2 5 1 或y 2 5 x2 201 (3) y2 25 x2 751 (4) x2 6 y 2 6 1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第41页页 状元笔记 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线 定义，确定 2a，2b 或 2c，从而求出 a2，b2，写出双曲线方程 (2)待定系数法：先确定焦点在 x 轴还是 y 轴上，设出标准方 程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦 点位置不好确定，可将双曲线方程设为 x2 m2 y2 n2(0)，再根据
20、 条件求的值 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第42页页 注意：双曲线与椭圆标准方程均可记为 mx2ny2 1(mn0)，其中 m0 且 n0，且 mn 时表示椭圆；mn0)； ()已知渐近线 x m y n 0 的双曲线方程可设为 x2 m2 y2 n2 (0) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第43页页 思考题 2 (1)与双曲线x 2 3 y21 共焦点，且过点(2， 2)的 双曲线标准方程为_ 【解析】 设所求方程为 x2 4b2 y2 b21，代入(2， 2)， 得 4 4b2 2 b21，解得 b
21、22， 所以双曲线标准方程为x 2 2 y 2 2 1. 【答案】 x2 2 y 2 2 1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第44页页 (2)(2020 湖南湘潭一模)以双曲线x 2 4 y 2 5 1 的焦点为顶点， 且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为( ) Ax2y21 B.x 2 9 y21 C.x 2 9 y 2 3 1 D.x 2 9 y 2 9 1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第45页页 【解析】 本题考查双曲线的标准方程由题可知，所求双 曲线的顶点坐标为( 3，0)又因为双曲线的渐近线互相
22、垂直，所 以 ab3，则该双曲线的方程为x 2 9 y 2 9 1.故选 D. 【答案】 D 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第46页页 (3)(2017 课标全国)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的 一条渐近线方程为 y 5 2 x，且与椭圆 x2 12 y2 3 1 有公共焦点，则 C 的方程为( ) A.x 2 8 y2 101 B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 5 y 2 4 1 D.x 2 4 y 2 3 1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第47页页 【解析】 根据
23、双曲线 C 的渐近线方程为 y 5 2 x，可知b a 5 2 ，又椭圆 x2 12 y2 3 1 的焦点坐标为(3，0)和(3，0)，所以 a2b29 ，根据可知 a24，b25，所以选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第48页页 题型三 双曲线的几何性质 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第49页页 例 3 (1)(2020 武汉武昌区调研)双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0， b0)的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的实轴长等于 _ 【解析】 双曲线的焦点(0，
24、5)到渐近线 ya bx 即 axby0 的距离为 |5b| a2b2 5b c b3，所以 a4，2a8. 【答案】 8 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第50页页 (2)(2020 福州质量检测)已知双曲线 E： mx2y21 的两顶点 间的距离为 4，则 E 的渐近线方程为_ 【解析】 因为 E：mx2y21 的两顶点间的距离为 4，所以 m1 4，所以 E 的方程为 x2 4 y21，所以 E 的渐近线方程为 y x 2. 【答案】 y x 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第51页页 (3)双曲线x
25、 2 2 y 2 4 1 的渐近线方程为_ 【解析】 方法一：由已知得双曲线的标准方程为y 2 4 x 2 2 1， 焦点在 y 轴上，且 a24，b22，故渐近线方程为 y a bx，故所求 渐近线方程为 y 2 2x，即 y 2x. 方法二：令x 2 2 y 2 4 0，得 y22x2，y 2x，即为双曲线的 渐近线 【答案】 y 2x 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第52页页 状元笔记 (1)渐近线是双曲线的特有性质，方程x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的 渐近线是 y b ax，方程 y2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线是
26、y a bx. (2)若双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21，则其渐近线的方程为 x2 a2 y2 b2 0，即 y b ax. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第53页页 (3)若双曲线的渐近线的方程为 y b ax，即 x a y b0，则双曲 线的方程可设为x 2 a2 y2 b2(0) (4)若所求双曲线与双曲线x 2 a2 y2 b21 有公共渐近线，其方程 可设为x 2 a2 y2 b2(0，焦点在 x 轴上；0)的一条渐近线上，则 a( ) A3 B2 C. 3 D. 3 10 【解析】 本题考查双曲线渐近线由题意得双曲线的一条渐 近
27、线方程为 y a 2 x，所以 3 a 2 2，即 a3.故选 A. 【答案】 A 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第57页页 (3)(2019 甘肃张掖期末联考)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的顶点到其一条渐近线的距离为 1，焦点到其一条渐近线的 距离为 2，则其一条渐近线的倾斜角为( ) A30 B45 C60 D120 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第58页页 【解析】 本题考查双曲线的几何性质如 图，过点 A，F2分别作 ABl1，F2Cl1，垂足分 别为点 B，C.由已知
28、可知双曲线的顶点 A 到渐近 线 l1：yb ax 的距离|AB|1，焦点 F2 到渐近线 l1 的距离|F2C| 2，由 ABF2C 得 |AB| |F2C| |OA| |OF2| a c 1 2，则 b2 a2 c2a2 a2 c 2 a21211.设渐近线 l1 的倾斜角为 ， 则 tanb a 1，所以 45.故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第59页页 例 4 (1)若双曲线x 2 a2 y2 b21 的一条渐近线经过点(3，4)， 则此双曲线的离心率为_ 【解析】 由已知可得双曲线的渐近线方程为 yb ax，点(3，
29、 4)在渐近线上，b a 4 3，又 a 2b2c2，c2a216 9 a225 9 a2， ec a 5 3. 【答案】 5 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第60页页 (2)(2019 浙江卷改编)已知双曲线的渐近线方程是 2x y0， 则该双曲线的离心率等于( ) A. 5 B. 5 2 C.4 5 5 D. 5或 5 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第61页页 【思路】 因为只知道渐近线方程，无法确定焦点在 x 轴上 还是在 y 轴上，所以需分情况求解由渐近线方程中的 a，b 的 关系，结合 c
30、2a2b2，得出离心率 【解析】 依题意，双曲线的渐近线方程是 y 2x. 若双曲线的焦点在 x 轴上，则双曲线的渐近线方程为 y b ax，故有 b a2，所以离心率 e 1b 2 a2 5； 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第62页页 若双曲线的焦点在 y 轴上，则双曲线的渐近线方程为 y a bx，故有 a b2，即 b a 1 2， 所以离心率 e 1b 2 a2 5 2 . 综上，离心率 e 5或 5 2 . 【答案】 D 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第63页页 (3)(2019 课标全国)设 F
31、 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交 于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第64页页 【解析】 本题考查了双曲线的几何性质以及 圆的性质；通过双曲线的离心率考查了学生的运算 求解能力；考查的核心素养为数学运算 如图，|PQ|OF|c，PQ 过点 c 2，0 . P c 2， c 2 . 又|OP|a，a2 c 2 2 c 2 2c 2 2 ， c a 22，ec a 2.故选
32、 A. 【答案】 A 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第65页页 (4)(2020 湖南湘中名校联合体联考)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，与 双曲线的渐近线交于 C，D 两点，若|AB|3 5|CD|，则双曲线离心 率的取值范围为( ) A. 5 3， B. 5 4， C. 1，5 3 D. 1，5 4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第66页页 【解析】 由题可知|AB|2b 2 a ， 不妨设 C c，bc a ， D c，bc
33、a ， 则|CD|2bc a ，2b 2 a 3 5 2bc a ，b3 5c，b 2 9 25c 2，c2a2 9 25 c2，c 2 a2 25 16，所以 c ae 5 4，故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第67页页 【讲评】 求双曲线离心率或其取值范围的方法： (1)求 a，b，c 的值，由 e2c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2 a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学
34、理（新课标理（新课标 版）版） 第第68页页 状元笔记 双曲线离心率的求法 (1)直接法：由题设条件求出 a，c，从而得 e. (2)等价转化法：由 ec a或 e 1b 2 a2等公式将已知条件转 化为 e 的等式，从而得 e. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第69页页 思考题4 (1)(2020 湖北孝感一中模拟)已知双曲线M： x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的一条渐近线与 y 轴所形成的锐角为 30，则双 曲线 M 的离心率是( ) A.2 3 3 B. 3 C2 D.2 3 3 或 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新
35、课标理（新课标 版）版） 第第70页页 【解析】 依题意，双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为 60 和 120，所以b a 3，所以 c a 2b22a，所以双曲线的 离心率为 2.故选 C. 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第71页页 (2)(2018 课标全国，理)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心 率为 3，则其渐近线方程为( ) Ay 2x By 3x Cy 2 2 x Dy 3 2 x 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第72页页 【解析】 因为 ec a 1b 2 a2
36、3，所以 b a 2.故其渐 近线方程为 y b ax 2x. 【答案】 A 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第73页页 (3)已知中心在原点， 焦点在 x 轴上的双曲线的两条渐近线的 夹角为 3 ，则双曲线的离心率为( ) A.2 3 3 B.2 6 3 C.2 3 3 或 2 D2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第74页页 【解析】 依题意，双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为 60 ，120或 30，150，所以b a 3或 3 3 ，所以 c2a2 a 3或 3 3 ，解得 e2 或2 3 3 . 【答案
37、】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第75页页 (4)(2020 沧州七校联考)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 为 F，左顶点为 A，以 F 为圆心，过点 A 的圆交该双曲线的一条 渐近线于 P，Q 两点，若|PQ|不小于该双曲线的虚轴长，则该双 曲线的离心率的取值范围为( ) A(1，2 B(1， 3 C(1，3 D3，) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第76页页 【解析】 由题知圆的半径 rac，圆心到渐近线的距离 d b， 故|PQ|2 （ac）2b2， 由题意得 2 （ac
38、）2b22b， 整理得(ac)22(c2a2)，所以 ac2c2a，所以 3ac，因为 ec a且 e1，所以 10.相离： 0，所以直线 l 与双曲线 C 有两个交点，由一元二次 方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分 别在左、右支上 【答案】 D 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第84页页 (2)直线 l： y2x 和双曲线 x2y24 的交点个数为_ 【解析】 (几何法)双曲线的渐近线为 x2y20 即 y x. 双曲线焦点在 x 轴上， 且 l 的斜率大于渐近线斜率 直线 l 与双曲线相离，交点个数为 0. 【答案】 0 高考
39、一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第85页页 (3)已知直线 ykx1 与双曲线 x2y 2 4 1 交于 A，B 两点， 且|AB|8 2，则实数 k 的值为( ) A 7 B 3或 41 3 C 3 D 41 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第86页页 【解析】 由直线与双曲线交于 A，B 两点，得 k 2.将 y kx1 代入 x2y 2 4 1，得(4k2)x22kx50，则 4k2 4(4k2)50， k20， 2k 1k20， 5 1k20， 即 5 2 k1或1k1或k1， 所以 1k0， b0)，
40、 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则有 x 1 2 a2 y1 2 b2 1， x22 a2 y2 2 b2 1， 两式相减并结合 x1x224，y1y230，得y 1y2 x1x2 4b2 5a2， 从而4b 2 5a21，即 4b 25a2.又 a2b29，解得 a24，b25，故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第94页页 思考题 4 直线 l 过点( 2，0)且与双曲线 x2y22 仅有一 个公共点，这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【解析】 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一
41、条， 与渐近线平行的直线有两条，共 3 条 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第95页页 思考题 5 (2017 天津)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左 焦点为 F，离心率为 2.若经过 F 和 P(0，4)两点的直线平行于双 曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.x 2 4 y 2 4 1 B.x 2 8 y 2 8 1 C.x 2 4 y 2 8 1 D.x 2 8 y 2 4 1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第96页页 【解析】 由 F(c，0)，P(0，4)
42、，得 kPF4 c b a，又 e 2， 所以 ec a 1b 2 a2 2，所以 ab，c4，故 a 2b28，故 选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第97页页 思考题 6 (2018 课标全国)已知双曲线 C：x 2 3 y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的 交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则|MN|( ) A.3 2 B3 C2 3 D4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第98页页 【解析】 因为双曲线x 2 3 y21 的渐
43、近线方程为 y 3 3 x， 所以MON60.不妨设过点 F 的直线与直线 y 3 3 x 交于点 M，由OMN 为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO 60，又直线 MN 过点 F(2，0)，所以直线 MN 的方程为 y 3(x2)， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第99页页 由 y 3（x2）， y 3 3 x， 得 x3 2， y 3 2 ， 所以 M 3 2， 3 2 ，所以 |OM| 3 2 2 3 2 2 3，所以|MN| 3|OM|3，故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第
44、第100页页 思考题 7 若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上一点 M(3，4) 关于一条渐近线的对称点恰为右焦点 F2， 则该双曲线的标准方程 为( ) A.x 2 5 y2 201 B. x2 20 y2 5 1 C.x 2 5 y2 251 D. x2 25 y2 201 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第101页页 【解析】 点 M(3，4)与双曲线的右焦点 F2(c，0)关于渐 近线 yb ax 对称，则 4 3c b a1， 2b a c3 2 ， 解得 c5，b a2，又 b 2 25a24a2，所以 a25，b220，则该双曲线的标准方程为x 2 5 y2 201. 【答案】 A 高考一轮总复习高考一轮总复习 数
