1、 1 陕西省咸阳市 2017-2018 学年高二数学上学期期末考试试题 理 第 卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） . 1.设 0 1,a b c R? ? ? ?，则下列不等式成立的是（ ） A 22ab? B 11ab? C 1ba? D b c a c? ? ? 2. 命题“若 2a? 则 1a? ”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3. 在等比数列 ?na 中，若 142, 16aa?，则 ?na 的前 5
2、 项和 5S 等于（ ） A 30 B 31 C 62 D 64 4. 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若1 1 1 1 1,A B a A D b A A c? ? ?，则下列向量与 1AM 相等的是（ ） A 1122a b c? B 1122a b c? C. 1122a b c? D 1122a b c? ? ? 5. 如果 aR? ，且 2 0aa? ，那么 2,aa a? 的大小关系为（ ） A 2a a a? ? B 2a a a? ? ? C. 2aaa? ? ? D 2a a a? ? 6.“ 1a? ”是“ ln 0
3、a? ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 2 7. 若不等式组 04 2 2xaxx? ? ? ?有解，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2a? B 2a? C. 2a? D 2a? 8. 已知 3x? ，则函数 ? ? 4 3f x x x? ?的最小值为（ ） A 1 B 4 C. 7 D 5 9.已知 ABC? 的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角为 120，则这个三角形的周长为 （ ） A 15 B 18 C. 21 D 24 10. 方 程 2 2 1 0x ax? ? ? 的两根分别在 ? ?0,1 与 ? ?
4、1,2 内，则实数 a 的取值范围为（ ） A 51 4a? B 1a? 或 1a? C. 11a? ? ? D 5 14 a? ? ? 11.设双曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?的渐近线与圆 ? ?22 23xy? ? ?相切，则该双曲线的离心率为 （ ） A 433 B 233 C. 3 D 23 12. 九章算术是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何” .意思是：“ 5 人分取 5 钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前 2 人所得钱数之和与后 3 人所得钱数之和相等 ”，则其中分得的钱数最多的是
5、（ ） A 56 钱 B 1 钱 C. 76 钱 D 43 钱 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 ? ? ? ?2, , 3 , 4, 2,a x b y? ? ?，若 /ab，则 xy? 14.已知 M 是抛物线 ? ?2: 2 0C y px p?上一点， F 是抛物线 C 的焦点，若 ,MF p K? 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点，则 MKF? 15.设 ,yx 满足的约束条件是 222xyxy?，则 2z x y? 的最大值是 3 16.如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一个与
6、其底面 所成角是 60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的半焦距 c? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知动圆在运动过程中，其圆心 M 到点 ? ?0,1 与到直线 1y? 的距离始终保持相等 . （ 1）求圆心 M 的轨迹方程； （ 2）若直线 ? ?: 2 2l y kx k? ? ?与点 M 的轨迹交于 AB、 两点，且 8AB? ，求 k 的值 18.已知 ?na 是等比数列， 1 2a? ，且 1 3 4, 1,a a a? 成等差数列 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 2lognnba?
7、，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS 19.已知命题 :p 方程 2213yxm?表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 :q 方程 22124xymm?表示的曲线是双曲线 （ 1）若“ pq? ”为真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若“ pq? ”为假命题、且“ pq? ”为真命题，求实数 m 的取值范围 20.在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，且 1 cos2b c a C? （ 1）求角 A ； （ 2）若 ? ?4 3 , 2 3b c bc a? ? ?，求 ABC? 的面积 S 21. 已知椭圆 ? ?222: 1 03xyMaa ? ? ?的一个焦点为
8、? ?1,0F? ，左、右顶点分别为 AB、 ，经过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 交于 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,C x y D x y两点 （ 1）求椭圆 M 的方程； （ 2）记 ABD? 与 ABC? 的面积分别为 1S 和 2S ，求 12SS? 关于 k 的表达式，并求出当 k 为4 何值时 12SS? 有最大值 22. 在如图所示的多面体中， EF? 平面, , / / / / , 4 , 3 , 2 ,A E B A E E B A D E F B C B C E F A D A E E B G? ? ? ? ? ?是 BC 的中点 （ 1）求证： B
9、D EG? ； （ 2）求二面 角 G DE F?的余弦值 5 试卷答案 一、选择题 1-5: DBCBB 6-10:BDCAA 11、 12： BD 二、填空题 13. -7 14. 45或 4? 15. 6 16. 23 三、解答题 17.解：（ 1）圆心 M 到点 ? ?0,1 与到直线 1y? 的距离始终保持相等， 圆心 M 的轨迹为抛物线，且 12p? ，解得 2p? ， 圆心 M 的轨迹方程为 2 4xy? ； （ 2）联立224y kxxy? ? 消去 y 并整理，得 2 4 8 0x kx? ? ? ， 设 ? ? ? ?1 1 2 2,A x y B x y、 ，则 1 2
10、1 24 , 8x x k x x? ? ?， ? ? ? ?22221 2 1 21 4 1 4 3 2 8A B k x x x x k k? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 3k? ，结合已知得 3k? 18.解 :（ 1）设数列 ?na 的公比为 q ，则 2 2 3 33 1 4 12 , 2a a q q a a q q? ? ? ?， 1 3 4, 1,a a a? 成等差数列， ? ?1 4 321a a a? ? ?，即 ? ?322 2 2 2 1qq? ? ?， 整理得 ? ?2 20qq?， 0q? ， 2q? ， ? ?1*2 2 2nnna n N? ? ?；
11、（ 2） 22lo g lo g 2 nnnb a n? ? ?， ? ?12 112 2nn nnS b b b n ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 数列 ?nb 的前 n 项和 ? ?12n nnS ? 19.解：（ 1）若 p 为真，则方程 2213yxm?表示焦点在 y 轴上的椭圆，即 3m? ； 6 若 q 为真，则方程 22124xymm?表示的曲线是双曲线， 即 ? ? ?2 4 0mm? ? ?，解得 2m? 或 4m? ； 若“ pq? ”为真命题，则 pq、 均为真命题，综合得 4m? ， 故当“ pq? ”为真命题时，实数 m 的取值范围为 ? ?4,? ； （ 2
12、）若“ pq? ”为假命题、且“ pq? ”为真命题，则 pq、 一真一假， 若 p 真 q 假，则 324mm? ? ?，解得 34m?； 若 p 假 q 真，则 32, 4mmm? ? ? ? 或，解得 2m? ， 综上，当“ pq? ”为假、且“ pq? ” 为真时，实数 m 的取值范围为 ? ? ? ?, 2 3,4? ? 20.解：（ 1）在 ABC? 中， 1 cos2b c a C? ， 由正弦定理，得 1sin sin sin c o s2B C A C?， 又 ? ?sin sinB A C?， ? ? 1s in s in s in c o s2A C C A C? ? ?
13、，即 1cos sin sin2A C C? ， 又 sinC 0? ， 1cos 2A? ， 又 0 A ?， 060A? ； （ 2）由余弦定理，得 ? ? 22 2 2 2 22 c o s 3a b c b c A b c b c b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?4 3 , 2 3b c bc a? ? ?， ? ? ? ?2 4 12b c b c? ? ? ?，解得 6bc? ，代入上式，得 8bc? ， ABC? 的面积 1 1 3s in 8 2 32 2 2S b c A? ? ? ? ? 21.解：（ 1） ? ?1,0F? 为椭圆 M 的焦点，
14、1c? ， 又 3b? ， 2a? ， 7 椭圆 M 的方程为 22143xy?； （ 2）依题意，知 0k? ，设直线方程为 ? ?1y k x?， 和椭圆方程联立消掉 y ，得 ? ?2 2 2 23 4 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 计算知 0? ，方程有两实根，且 221 2 1 28 4 1 2,3 4 3 4kkx x x x ? ? ? ?， 此时? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2121 4 2 2 1 1 2 22 3 4 kS S y y y y k x k x k x x k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ?， 将上式变形，得121234SS kk? ?， 12 12 33 2 124 kk? ，当且仅当 3 4kk ? ，即 32k? 时等号成立， 当 32k? 时， 12SS? 有最大值 3 22.解：（ 1） EF? 平面 ,AEBEA? 平面 ,AEB EB? 平面 AEB ， ,EF EA EF EB?， 又 AE EB? ， ,EF EB EA 两两垂直， 以点 E 为坐标原点， ,EB EF EA 所在直线分别为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系如图， 由已知，得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2
16、, 0 , 0 , 2 , 4 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 2 , 2 , 2 , 2 , 0E A B C F D G， 8 ? ? ? ?2 , 2 , 0 , 2 , 2 , 2E G B D? ? ?， 2 2 2 2 2 0 0B D E G ? ? ? ? ? ? ? ?， BD EG? ； （ 2）由已知，得 ? ?2,0,0EB? 是平面 DEF 的一个法向量， 设平面 DEG 的法向量为 ? ?,n x y z? ， ? ? ? ?0 , 2 , 2 , 2 , 2 , 0E D E G?， 00EGnEGn? ?，即 2202 2 0yzxy? ?，取 1x? ，得 ? ?1, 1,1n? ， 观察图形知，平面 DEG 与平面 DEF 所成的二面角为锐角，设其大小为 ? ， 则? ? 22 2 212 3c o s31 1 1 2n E Bn E B? ? ? ? ?， 平面 EDG 与平面 DEF 所成二面角的余弦值为 33
