1、 - 1 - 广东省中山市 2017-2018学年高二数学上学期期末复习（模拟）试题 一选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1. 已知集合 A=1， a， B=1， 2， 3，则 “a=3” 是 “A ?B“ 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】试题分析：当 时， 或 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件故A 正确 考点： 1充分必要条件； 2集合间的关系 2. 已知 =（ 2， 1， 2）， =（ 4， 2， x），且 ，则 x=（ ） A. 5 B. 4 C. -4 D. -2 【答案】
2、C 【解析】由向量平行的充要条件可得： ， 据此求解方程可得： . 本题选择 C选项 . 3. 已知曲线 上一点 P ，过点 P的切线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由函数的解析式有： ，则切线的斜率为： ， 则切线方程为： ，即： ， 当 时， ， 当 时， ， 结合选项，只有 A选项符合题意 . 本题选择 A选项 . 点睛： 导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别 注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是- 2 - 曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线
3、与曲线可能有两个或两个以上的公共点 4. 如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， M为 AC 与 BD 的交点，若 , , ,则下列向量中与 相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A . ，故应选 考点： 1、空间向量的线性运算 5. 抛物线 的 焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】抛物线方程的标准方程即： ， 据此可得，抛物线的焦点位于 轴上，其焦点坐标为 . 本题选择 D选项 . 6. 已知点 P是双曲线 上一点，若 ，则 的面积为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】 C 【解析】设 ，则： ，则： ， - 3 - 由勾
4、股定理可得： ， 综上可得： 则 的面积为： . 本题选择 C选项 . 点睛： (1)双曲线定义的集合语言： P M|MF1| |MF2| 2a,0 2a |F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验 (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上 7. 等比数列 中，已知对任意自然数 n， ， 则 等于（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】 C 【解析】当 时， ，当 时： ， 两式做差可得： ， 当 时， ， 综上可得，数列 的通项公式为： ，故 ， 则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，其前 n项和： .
5、本题选择 C选 项 . 8. 设 x0 , y0 ，且 x+2y=20 则 lgx+lgy的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】 C 【解析】由均值不等式的结论有： ， 则： ，当且仅当 时等号成立， 即 的最大值为 ， - 4 - 结合对数函数的单调性可得： . 本题选择 C选项 . 9. 如图， A1B1C1 ABC是直三棱柱， BCA=90 0，点 D1、 F1分别是 A1B1、 A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】取 BC的中点 D，连结 ，则 ， 据此可得 （或其补角）
6、即为所求，设 ， 则 ， 在 中应用余弦定理可得 . 本题选择 A选项 . 点睛： 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； - 5 - 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应 取它的补角作为两条异面直线所成的角 10. 已知 AB 是经过抛物线 y2=2px(p0)的焦点的弦，若点 A、 B的横坐标分别为 1和 ，则该抛物线的准线方程为（ ） A. x=-4
7、B. x= 2 C. x= 1 D. x= 【答案】 D 【解析】结合抛物线的方程可得： ，则： ， 求解关于实数 的方程可得： . 据此可得抛物线的直线方程为 . 本题选择 D选项 . 11. 以椭圆 的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线方程为 ( ) A. B. C. D. 【答 案】 D 则双曲线中 ， ， 双曲线的标准方程为： . 本题选择 D选项 . 12. 函数 在区间 0， 3的最大值与最小值之积为（ ） - 6 - A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】结合函数的解析式有： ， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， 且： ， 据此可得函数的最大值为 ，函数的最小值为
8、， 则最大值与最小值之积为 . 本题选择 B选项 . 点睛： 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数 y f(x)在 a， b内所 有使 f( x) 0的点，再计算函数 y f(x)在区间内所有使f( x) 0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得 二填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 若 ，则 _ 【答案】 【解析】结合函数的解析式和导函数的运算法则有： . 14. 以 y=x 为渐近线且经过点（ 2， 0）的双曲线方程为 _ 【答案】 【解析】以 为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为 ，代入点 得. 视频 15. 若数列 的前 n
9、项的和 ,则数列 的通项 公式为 _ 【答案】 【解析】结合前 n项和公式分类讨论： 当 时， ， 当 时， ， - 7 - 且当 时， ， 综上可得，数列的通项公式为： . 点睛： 给出 与 的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用 转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n之间的关系，再求 an. 16. 若原命题为： “ 若 a2+b2=0，则 a、 b全为 0” ，那么以下给出的 4个结论： 其逆命题为：若 a、 b全为 0，则 a2+b2=0； 其否命题为：若 a2+b20 ，则 a、 b全不为 0； 其逆否命题为：若 a、 b全不为 0
10、，则 a2+b20 ； 其否定为：若 a2+b2=0，则 a、 b全不为 0 其中正确的序号为 _ 【答案】 【解析】结合原命题可得： 其逆命题为：若 a、 b全为 0，则 a2+b2=0； 其否命题为：若 a2+b20 ，则 a、 b不全为 0； 其逆否命题为：若 a、 b不全为 0，则 a2+b20 ； 其否定为：若 a2+b2=0，则 a、 b不全为 0 综上可得：正确的序号为 . 三解答题（本题共 6 小题，共 70分） 17. 已知命题 p：方程 x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题 q：方程 4x2+4（ m 2） x+1=0无实根若 pq 为真，（ pq ）为假，求实数 m
11、的取值范围 【答案】（ 1， 23 ， + ） 【解析】试题分析： 由题意可得命题 p为真时， m 2，命题 q为真时， 1 m 3， 由于 p q为真命题， p q为假命题，则 p， q一真一假，据此分类讨论可得实数 m的取值范围是（ 1， 23 ， + ） 试题解析： 命题 p为真时，实数 m 满足 =m2 4 0且 m 0， 解得 m 2， 命题 q为真时，实数 m 满足 =16（ m 2） 2 16 0， 解得 1 m 3， - 8 - 由于 p q为真命题， p q为假命题， p， q一真一假； 若 q真且 p假，则实数 m满足 1 m 3且 m2 ，解得 1 m2 ； 若 q假且
12、p真，则实数 m满足 m1 或 m3 且 m 2，解得 m3 综上可知实数 m的取值范围是（ 1， 23 ， + ） 18. 已知等比数列 an中， a2 2， a5 128. () 求数列 an的通项公式； () 若 bn ，且数列 bn的前 项和为 Sn 360，求 的值 . 【答案】 () () n 20 【解析】试题分析： (1)由题意结合数列的通项公式得到 关于首项、公比的方程组，求解方程组，结合通项公式有； (2)结合 (1)的结论可得 bn 则 bn是首项为 1，公差为 2的等差数列， 结合等差数列前 n项和公式得到关于 n的方程，结合 解方程可得 n 20. 试题解析： ()
13、设等比数列 an的公比为 q，则 解之得 ， 即 ； () bn bn 1 bn 2(n 1) 3 (2n 3) 2，又 ， bn是首项为 1，公差为 2的等差数列， Sn 360， 即 n2 2n 360 0， n 20或 n 18（舍去 ）， 因此，所求 n 20. 19. 某工厂生产甲、乙两种产品 .已知生产一吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、电以及产值如表所示；又知道国家每天分配给该厂的煤和电力有限制，每天供煤至多 56吨，供电至多 45千瓦 .问该厂如何安排生产，才能使该厂日产值最大？最大的产值是多少？ 用煤（吨） 用电（千瓦） 产值（万元） - 9 - 生产一吨 甲种产品 7 2 8
14、 生产一吨 乙种产品 3 5 11 【答案】该厂每天生产甲种产品 5吨，乙种产品 7吨，能使该厂日产值最大，最大的产值是117万元 . 【解析】试题分析： 该问题考查线 性规划的实际应用，由题意建立数学模型，每天生产甲种产品 x吨，乙种产品 y吨， 列出约束条件，且目标函数为 ,结合目标函数的几何意义可得当 时，即该厂每天生产甲种产品 5吨，乙种产品 7吨，能使该厂日产值最大，最大的产值是 117万元 . 试题解析： 设每天生产甲种产品 x 吨， 乙种产品 y吨， 可得线性约束条件 目标函数为 , - 10 - 作出线性约束条件所表示的平面区域， 如图所示： 将 变形为 当直线 在纵轴上的截距 达到最大值时， 取最大值 从图中可知，当直线 经过点 M时， 达到最大值 . 由 得 M点的坐标为（ 5， 7） 所以当 时， 因此，该厂每天生产甲种产品 5吨，乙种产品 7吨，能使该厂日产值最大，最大的产值是 117万元 . 点睛： 含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数 20. 如图， PD垂直正方形 ABCD所在平面， AB
