1、 - 1 - 2017-2018 学年上期期末联考高二数学试题（文科） 一、选择题（本大题共 12小题，每题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 在等比数列 an中， a2=2， a4=8，则 a6=（ ） A. 14 B. 28 C. 32 D. 64 【答案】 C 【解析】试题分析：由等比数列性质可知 考点：等比数列性质 2. 若命题 “ ” 为假，且 “ ” 为假，则 （ ） A. “ ” 为假 B. 假 C. 真 D. 不能判断 的真假 【答案】 B 考点： 1、复合命题的真假； 2、命题的否定 3. 等差数列 中 且 ，则 （ ） A. 3
2、B. 6 C. 9 D. 36 【答案】 B 【解析】因为 ,选 B 4. 已知 ，则 f（ x）在点 P（ 1,2）处的切线与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】 C . 5. 下列叙述中正确的是（ ） A. “ m=2” 是 “ ： 与 ： 平行 ” 的充分条件 - 2 - B. “ 方程 表示椭圆 ” 的充要条件是 “ ” C. 命题 “ ” 的否定是 “ ” D. 命题 “ a、 b都是偶数，则 a+b是偶数 ” 的逆否命题为 “ a+b不是偶数，则 a、 b都是奇数 ” 【答案】 A 【解析】 “ 方程 表示椭圆 ” 的充要条件是 “ ” 且 命
3、题 “ ” 的否定是 “ ” 命题 “ a、 b都是偶数，则 a+b是偶数 ” 的逆否命题为 “ a+b不是偶数，则 a、 b 不都是偶数 ” 若 ： 与 ： 平行 ,则 ,所以 A对 ,选 A. 6. 与双曲线 共同的渐近线 ,且过点 (-3,2)的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】设双曲线的标准方程 ,选 B 7. 在 ABC 中，角 A、 B、 C所对的边分别是 a、 b、 c，已知 ，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】 D 【解析】由余弦定理得 ,选 D. 8. 过抛物线 y2=8x的焦点作直线交抛物线于 A， B两点，若线段 A
4、B的中点的横坐标为 4，则 AB 等于 （ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】 A 【解析】 AB ,选 A. 9. 已 知不等式组 表示平面区域的面积为 4，点 在所给的平面区域内，则- 3 - 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】 C 【解析】作可行域如图 ,可得 ,所以直线 过点 A(2,2)时 取最大值6,选 C. 10. 若关于 的方程 在 上有根，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 所以实数 的取值范围是 ,选 A. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据
5、 题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 11. 设过抛物线的焦点 F的弦为 PQ，则以 PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上均有可能 【答案】 B 【解析】设抛物线 , 以 PQ为直径的圆的圆心到准线距离为 - 4 - 即相切 ,所以选 B 点睛：判断直线与圆的位置关系 的常见方法 (1)几何法：利用 d与 r的关系 (2)代数法：联立方程之后利用 判断 (3)
6、点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 12. 已知函数 是定义在 R上的奇函数， f（ 2） =0，当 时，有 成立，则不等式 x2 的解集是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】令 为偶函数 所以 在 上单调递减 x2 ,选 A 点睛：利用导数解抽象函数不等式 ，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造 . 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造， 构造 ， 构造 等 第 卷 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在题中横线上） 1
7、3. 在 ABC 中 ,A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=_ 【答案】 1： 【解析】 A:B:C=1:2:3 14. 已知三角形 ABC 的三边长成公差为 2的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长是 _. - 5 - 【答案】 15 【解析】试题分析 ：设三角形的三边为 ，因为它的最大角的正弦值为 ，所以它的最大角的余弦值为 ，所以由余弦定理得： ，解得 ，所以三角形的三边为 3,5,7，所以三角形的面积为 . 考点：等差数列的性质；余弦定理；三角形的面积公式。 点评：本题主要考查三角形的余弦定理的灵活应用。在应用余弦定理的时候，一般的时候，已知那个角就用那个公式。 15
8、. 已知 的左右焦点分别为 、 ，过 且垂直于 x轴的直线与双曲线左支交于 A、 B两点，若 为正三角形，则双曲线的离心率为 _ 【答案】 【解析】由题意得 点睛：解决椭 圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 . 16. 已知函数 在 与 时都取得极值，若对 ，不等式恒成立，则 的取值范围为 _。 【答案】 【解析】由题意得 与 为 两根 ,所以因为不等式 恒成立，所以 所以 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数
9、 法 , 使不等式- 6 - 一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件 .二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件 . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在 中，若 ，解三角形 . 【答案】 或 【解析】试题分析：先根据正弦定理求 B,再根据三角形内角和求角 C,最后根据余弦定理求 c 试题解析： 在 中 , , , ,由正弦定理可得, 或 当 时 ,可得 , 当 时 ,可得 , 综上可得 , , , , , .
10、或, , , , , 18. 已知命题 若非 是 的充分不必要条件，求 的取值范围。 【答案】 【解析】试题分析：借助题设条件建立不等式组求解 . 试题解析 :由 记 A=x|x 10 或 x -2, q: 解得 或 1-a,记 B=x| 1+a或 . 而 p A B, 即 . 考点：充分必要条件及运用 - 7 - 19. 已知 ，且满足 ， (1)求证 : 是等差数列。 (2) 的前 项和 , 若 ?+ ，求 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）取倒数将递推关系转化为相邻两项差为常数 3，再根据等差数列定义得证（ 2）先根据等差数列通项公式求 ，再根据和项与通项
11、关系求 ，最后根据错位相减法求和 试题解析： (1) , ,则 , 是首项为 1,公差为 3的等差数列 ; （ 2） = 由 (1)知 = （ 1） -（ 2）得： 点睛：用错位相减法求和应注意的问题 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出 “ ” 与 “ ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一 步准- 8 - 确写出 “ ” 的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1 两种情况求解 . 20. 一边长为 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为 的小正方形，然后做成一个无盖方盒。 （ 1
12、）试把方盒的容积 V表示为 的函数。 （ 2） 多大时，方盒的容积 V最大？ 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）根据长方体体积公式得方盒的容积，根据实际意义求定义域（ 2）根据导数求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而确定函数最值 试题解析： （ 1）无盖 方盒的容积 。 （ 2）因为 ，所以 ， 令 得 。 当 时， ，当 时， ， 因此 是函数 的极大值点，也是最大值点， 故当 时，方盒的容积最大 . 21. 已知函数 (1)求 的极大值和极小值； (2)若 在 处的切线与 y轴垂直，直线 y=m与 的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围
13、。 【答案】（ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）先求导数，再根据 a大小讨论导函数零点，当 时，导函数不变- 9 - 号，没有极值；当 时，函数先增后减再增，根据极值定义求极值（ 2）先根据导数几何意义得 ，解得 再根据（ 1）单 调性确定函数图像，根据图像确定有三个不同的交点的条件 试题解析： （ 1） 当 时，对 ，有 所以当 时， 的单调增区间为 ，没有极值； 当 时，由 解得 或 ；由 解得 ， 所以当 时， 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 。 极小 = 极大 = （ 2）因为 在 处的切线与 y轴垂直，所以 所以 由 解得 。 由（ 1）中 的单调性可知， 在
14、 处取得极大值 ，在 处取得极小值。 因为直线 与函数 的图象有三个不同的交点，又 ， ，结合 的单调性可知， 的取值范围是 . 22. 已知椭圆 C的中心在原 点，焦点在 x轴上，左、右焦点分别为 F1、 F2， 且 |F1F2| 2，点在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C的方程； (2)过 F1的直线 l与椭圆 C相交于 A、 B两点，且 AF 2B的面积为 ，求直线 l的方程 【答案】（ 1） ；（ 2） y=(x+1). 【解析】试题分析：（ 1）根据椭圆定义求得 2a，再根据焦距得 c，解得 b（ 2）先设直线方程，根据点到直线距离得高，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式得底，最后代入三角形面积公式得 k 试题解析： (1)设椭圆的方程为 (ab0)，由题意可得椭圆 C两焦点坐标分别为 F1(1,0)， F2(1,0) - 10 - 2 a 4. a 2，又 c 1， b2 4 1 3， 故椭圆 C的方程为 (2)当直线 l x轴时，计算得到： A ， B ， S AF2B | AB| F1F2|32 3，不符合题意 当直线 l与 x轴不垂直时，设直线 l的方程为： y k(x 1)，代入 消去 y得 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0. 显然 0成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 ， x1 x2 . 又 |AB|
