1、 1 定远民族中学 2017-2018学年度 上学期期末考试 卷 高二（理科）数学 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一、选择题 1. 已知命题 : , 1 lgp x R x x? ? ? ?，命题 1: (0 , ) , s i n 2s i nq x x x? ? ? ?，则下列判断正确的是（ ） A pq? 是假命题 B pq? 是真命题 C ()pq? 是假命题 D ()pq? 是真命题 2.已知过点 A( 2， m)和 (m,4)的直线与直线 2x y 1 0平行，则 m的值为 ( ) A.6 B. 8 C.2
2、 D.10 3.与双曲线 有共同的渐近线 ,且经过点 P(1,4)的双曲线方程为 （ ） A. B. C. D. 4. 设 分别是双曲线 的左右焦点，若双曲线的右支上存在一点 P，使 ， 且 的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C.2 D.5 5.已知圆 C ： ? ?2 21 32xy? ? ? ，直线 l 与一、三象限的角平分线垂直，且圆 C 上恰有三个点到直线 l 的距离为 22，则直线 l 的方程为 （ ） A. 5yx? ? B. 3yx? ? C. 5yx? ? 或 3yx? ? D. 不能确定 2 6.在 ABC? 中， “ ab? ” 是 “ sin
3、sinAB? ” 的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条 件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要 7.过点 ? ?1,2 且与原点距离最大的直线方程是（ ） A. 2 5 0xy? ? ? B. 2 4 0xy? ? ? C. 3 7 0xy? ? ? D. 2 3 0xy? ? ? 8.给出下列说法： 方程 22 2 4 6 0x y x y? ? ? ? ?表示一个圆； 若 0mn?，则方程 221mx ny?表示焦点在 y 轴上的椭圆； 已知点 ? ? ? ?1, 0 , 1, 0MN? ，若 2PM PN?，则动点 P 的轨迹是双曲线的右支； 以过抛物线焦点的弦为直径的
4、圆与该抛物线的准线相切 . 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.如图，已知抛物线 2 4yx? 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且依次交抛物线及圆? ?2 2 11 4xy? ? ? 于点 , , ,ABCD 四点，则 4AB CD? 的最小值为（ ） A. 172 B. 152 C. 132 D. 112 10.已知点 P 在椭圆 22112 3xy?上， 1F 、 2F 分别是椭圆的左、右焦点， 1PF 的中点在 y轴上，则 12PFPF 等于（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 3 11.椭圆 22116 4xy?上的一点 A 关于原点的对
5、称点为 B ， F 为它的右焦点，若 AF BF? ，则 AFB 的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 32 12.如图，已知梯形 ABCD 中， 2AB CD? ， E 在线段 AC 上，且满足 AE EC? ，双曲线过 C D E、 、 三点，且以 A 、 B 为焦点当 2334? 时，双曲线离心率 e 的取值范围是： A. 7 10， B. ( 7 10， ) C. (12， D. 2, 6? 第 II卷（非选择题） 二、填空题 13.已知直线的极坐标方程为 = ， 则点 A(2, )到这条直线的距离为 14.过点 (1,2) ，且与原点距离最大的直线方程为 _. 15.过
6、双曲线 221xyab?的左焦点 F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于 A ， B4 两点，若 12AFBF?，则双曲线的离心率为 _. 16.设直线 l ： 3 4 4 0xy? ? ? ， 圆 ? ?2 22:2C x y r? ? ?，若在圆 C 上存在两点 ,PQ，在直线 l 上存在一点 M ，使得 90PMQ? ? ? ，则 r 的取值范围是 _ 三、解答题 17.已知一个圆经过过两圆 x2+y2+4x+y= 1， x2+y2+2x+2y+1=0的交点，且有最小面积 ，求此圆的方程 18.已知椭圆1 ( 0)abab? ? ? ?的长轴长为 4，且点3(1, )2在椭圆上 （
7、 ）求椭圆的方程； （ ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于,AB两点，若0OA OB?，求直线l的方程 19.如图，设双曲线 221 : 1 ( 0 , 0 )yxC a bab? ? ? ?的上焦点为 F ，上顶点为 A ，点 B 为双曲线虚轴的左端点，已知 1C 的离心率为 233 ，且 ABF 的面积 31 2S? . （ 1）求双曲线 1C 的方程； （ 2）设抛物线 2C 的顶点在坐标原点，焦点为 F ，动直线 l 与 2C 相切于点 P ，与 2C 的准线相交于点 Q ，试推断以线段 PQ 为直径的圆是否恒经过 y 轴上的某个定点 M ？若是，求出定点 M 的坐标；若不是，请说
8、明理由 . 20.已知椭圆 C ： 221xyab?（ 0ab?）的左、右焦点分别为 12FF、 ，过点 2F 作直线5 l 与椭圆 C 交于 MN、 两点 . （ 1）已知 ? ?0, 3M ，椭圆 C 的离心率为 12 ，直线 l 交直线 4x? 于点 P ， 求 1FMN? 的周长及 1FMP? 的面积； （ 2）当 224ab?且点 M 在第一象限时，直线 l 交 y 轴于点 Q ， 11FM FQ? ， 证明：点 M 在定直线上 . 21.设 O 为坐标原点， 22: 2 6 1 0C x y x y? ? ? ? ?上有两点 PQ、 ， 满足关于直线40x my? ? ? 轴对称
9、. （ 1）求 m 的值； （ 2）若 0OP OQ?，求线段 PQ 的长及其中点坐标 . 22.如图，抛物线 1C ： 2 2y px? 与椭圆 2C ： 22116 12xy?在第一象限的交点为 B ， O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点， OAB? 的面积为 863 . （ ）求抛物线 1C 的方程； （ ）过 A 点作直线 l 交 1C 于 C 、 D 两点，射线 OC 、 OD 分别交 2C 于 E 、 F 两点，记OEF? 和 OCD? 的面积分别为 1S 和 2S ，问是否存在直线 l ，使得 12: 3:77SS? ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 6 参
10、考答案 1.D2.B3.A4.D5.C6.A7.A8.B9.C10. A11.B12.A 13. 14. 2 5 0xy? ? ? 15.2或 233 16. ?2? ? ， 17.解：设所求圆 x2+y2+2x+2y+1+ （ x2+y2+4x+y+1） =0， 即（ 1+ ） x2+（ 1+ ） y2+（ 2+4 ） x+（ 2+ ） y+1+=0 ， 其圆心为（ - ， - ）， 圆的面积最小， 圆 M以已知两相交圆的公共弦为直径， 相交弦的方程为 2x y=0，将圆心（ - ， - ）代人 2x y=0， 得 = - ，所以所求圆 x2+ y2+ x+ y+ =0， 即为 x2+y2+
11、 x+ y+1=0 18. 19. 7 20. （ 1）由题设知： 223 12baba? ? 得 2a? ， 椭圆 C 的方程为 22143xy? 1FMN? 的周长 1 1 1 2 2 1 4 8 ;F M M N N F F M M F F N N F a? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ?121, 0 , 1, 0FF? 知直线 l 的方程为 13yx?，得 ? ?4, 3 3P ? ， 1FMP? 的面积 ? ?121 3 3 3 4 32 FF? ? ? ?. 8 ?两式联立消去 0y 点得 ? ?,Mxy 满足 ? ? ? 2x c x c y? ? ?，即 2
12、22x y c?； 又点 M 在椭圆 C 上，即有 221xyab?， 即 2 2 2 2 2 2b x a y a b?， ?两式联立得 44222 2 2 2,abxya b a b?； 又 224ab?，即 22,abxy? ?点 ? ?,Mxy 满足 222abxy ? ，即点 M 在定直线 2xy?上 . 21. （ 1） 22: 2 6 1 0C x y x y? ? ? ? ?可化为 ? ? ? ?223 9xy? ? ?， 所以曲线为以 ? ?1,3? 为圆心， 3 为半径的圆， 由已知，直线过圆心，所以 1 3 4 0m? ? ? ? ， 解之得 1m? . （ 2）设 PQ
13、 的中点为 ? ?,Mmn ，连结 ,CM CP OM ，则 CM PQ? 且点 M 必在（ 1）中所求直线 40xy?上，即 4nm? 0O P O Q O P O Q? ? ? ? 又 12P M Q M O M P Q C P? ? ? ? ? ? ? ?222 2 2 2 2 2 2| | 3 1 3O M m n M P C P C M m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 解得： 35,22mn? ? 22 9 2 52 2 2 3 444P Q O M m n? ? ? ? ? ? ? 9 PQ? 的长 度为 34 ，中点坐标为 35,22?. 22. （ 1）因
14、为 OAB? 的面积为 863 ，设 ? ?,4BBB x y O A a?，所以 463By ?， 代入椭圆方程得 4 4 6,33B?，抛物线的方程是： 2 8yx? . （ 2）存在直线 : 11 4 0l x y? ? ?符合条件 .显然直线 l 不垂直于 y 轴，故直线 l 的方程可设为 4x my?.与 2 8yx? 联立，设 ? ?11,Cx y ， ? ?22,D x y 理由：显然直线 l 不垂直于 y轴，故直线 l 的方程可设为 4x my?， 与 2 8yx? 联立得 2 8 32 0y my? ? ?. 设 ? ?11,Cx y ， ? ?22,D x y ，则 128
15、y y m? ， 12 32yy? ， 12211 s in3221 s in2 E F E FO C O D C O D O C O D y ySS O E O F y y y yO E O F E O F? ? ? ?. 由直线 OC的斜率为 1118yxy? ，故直线 OC 的方程为18yxy? ，与 22116 12xy?联立得 22 1 1 16 4 1 6 1 2E yy ?，同理， 22 2 1 16 4 1 6 1 2F yy ?， 所以 2222 1211 16 4 1 6 1 2 6 4 1 6 1 2EF yyyy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 可得 22236 256121 48EFyy m? ?， 要使 21773SS ? ，只需 ? ?22 23 2 1 2 1 4 8 773 6 2 5 6 3m? ? ? ?， 即 21 2 1 4 8 4 9 1 2 1m? ? ?，解得 11m? ， 所以存在直线 : 11 4 0l x y? ? ?符合条件 .
