1、 1 福建省莆田市 2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理 一选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 ) 1.“ 所有金属都能导电，铁是 金属，所以铁能导电 ” 这种推理方法属于 （ ） A演绎推理 B类比推理 C合情推理 D归纳推理 2抛物线 2 4xy? 的准线方程是（ ） A 116y? B 116y? C 1y? D 1y? 3.复数 22 iz i? ? (i 为虚数单位 )在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四 象限 4 函数 cosxy x? 的导数是（ ） A2sinxx?B sinx? C.2sin
2、 cosx x xx?D2cos cosx x xx?5.曲线 221yx?在点 ( 1,3)P? 处的切线方程为 ( ) A 41yx? ? B 47yx? ? C 41yx? D 47yx? 6已 知平面 ? 的法向量是 （ 2,3,-1） ，平面 ? 的法向量是 ?（ 4, ,-2） ，若 /?， 则实数 ? 的 值是（ ） A 103? B 6? C 6 D 103 7.用反证法证明命题“若 220ab?则 a 、 b 全为 0” ()a b R?、 ,其反设正确的是（ ） A a 、 b 至少有一个为 0 B a 、 b 至少有一个不为 0 C a 、 b 全不为 0 D a 、 b
3、 中只有一个为 0 8函数 ( ) lnf x x x? 的单调 递减区间为（ ） A 1( , )e? B 1( , )e? C ( , )e? D 1(0, )e 9.如图，函数 2 21y x x? ? ?与 1y? 相交形成一个闭合图形 (图中的阴影部分 )，则该闭合图形的面积是 ( ) A.1 B.43 C. 3 D.2 10.函数 32( ) 6f x ax x x R? ? ? ? 在上既有极大值又有极小值，则 a 的取 值范围为 （ ） 2 A 0a? B 0a? C 13a? D 10 3aa?且 11 函数 ()y f x? 导函数 ()fx? 的图象如图所示 ,则下列说法
4、 正确的是（ ） A函数 ()y f x? 的递增区间为 ( 1,3)? B函数 ()y f x? 的递减区间为 (3,5) C函数 ()y f x? 在 0x? 处取得极大值 D函数 ()y f x? 在 5x? 处取得极小值 12. 已知定义在 R 上 的奇 函数 ()fx ，设其导函数 为 ()fx? ，当 ? ?,0x? 时，恒有? ? ? ?xf x f x? ?， 则满足 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 33 x f x f? ? ?的实数 x 的取值范围是 （ ） A ( 1,2)? B 1( 1, )2? C 1( ,2)2 D ( 2,1)? 二、填空题 (本题共
5、5小题，每小题 4分，共 20分 ) 13.已知函数 ()fx的导函数为 ()fx? ,且满足 2( ) 3 2 (2)f x x xf ? ,则 (5)f? = 14双曲线 194 22 ? yx 的渐近线方程是 15.已知函数 32y x bx? 在 ? ?1,? 上是增函数，则实数 b 的取值范围是 16 设函数 ? ? ? ?02xf x xx? ,观察 : ? ? ? ?1 2xf x f x x? ?, ? ? ? ? ?21 34xf x f f x x? ? ? ? ? ? ?32 78xf x f f x x? ? ? ? ? ? ?43 1 5 1 6xf x f f x
6、x? ? ? 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 nN? 且 2n? 时， ? ? ? ? ?1n nf x f f x?三、解答题 :（ 本大题共 5小题 ,共 70分 .） 17 (本题满分 12分 )已知复数 1z 满足 ? ? ?1 2 1 1z i i? ? ? ?（ i 为 虚数单位），复数 2z 的虚部为 2 ，12zz? 是实数，求 2z . 1? 5A函数()y f x?的递增区间为( 1,3)?B函数()y f x?的递减区间为(3,5)C函数()y f x?在0x?O y x 3 3 18. (本题满分 14 分 )已知函数 3( ) ( )f x ax bx x R?
7、? ?若函数 ()fx的图象在点 3x? 处的切线与直线 24 1 0xy? ? ? 平行，函数 f(x)在 1x? 处取得极值， （ 1）求函数 f(x)的解析式； （ 2）求函数 ()fx在 2,3? 的最值 19. (本题满分 15分 )如图， 已知三棱锥 O ABC? 的侧棱 OA OB OC， ， 两两垂 直， 且 1OA? ， 2OB OC?， E 是 OC 的中点。 （ 1）求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值； （ 2）求二面角 E AB C?的平面角的余弦值； （ 3）求点 C 到平面 ABE 的 距离 . 4 20. (本题满分 14 分 )已知椭圆 C的两焦点分
8、别为 12( , 0) ( , 0)FF-1 、 1，长轴长为 22， （ 1）求椭圆 C的标准方程 ； （ 2）已知过点 (0,2) 的直线 l 交椭圆 C于 A、 B两点， 且 OA OB? ,求直线 l 的斜率 . 21. (本题满分 15分 )已知函数 2( ) lnf x x ax?，其中 a 为实常数 . （ 1）讨论函数 ()fx的极值点个数； （ 2）若函数 ()fx有两个零点，求 a 的取值范围； （ 3）已知 0a? ，对任意定义域内的两个不等实数 12,xx都有 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x? ? ?， 求 a 的取值范围 . 5 高二上数学期末试卷
9、 (理科 B）答案 一、单项选择 1 5 ADDCA 6 10 CBDBD 11 12 DA 二、填空题 13、 6 14、 32yx? 15、 32b? 16、(2 1) 2nnxx?三、解答题 :本大题共 6小题 ,共 80分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . 17. 18. 解： （ ） 3( ) ( )f x ax bx x R? ? ?， 2( ) 3f x ax b?分 由题意得 (3) 24(1) 0ff ? ?， 即 27 2430abab? ?，解得 13ab? ?经检验 符合题意， 3( ) 3f x x x?； （ ）由（ ）知 2( ) 3 3f x x?
10、， 令 ( ) 0fx? 得 1x? ，分 列表如下： x 2? ( 2, 1)? 1? ( 1,1)? 1 (1,3) 3 ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 2? 极大值 2 极小值 2? 18 由表中可知 2,3x? 时， min( ) 2fx ? ， max( ) 18fx ? 19、 解： （ 1） 以 O为原点 ,分别 ,OB OC OA 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 . (0,0,1)A 、 (2,0,0)B 、 (0,2,0)C 、 (0,1,0).E ( 2 , 0 , 1 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 ,1 , 0 )A B B C
11、B E? ? ? ? ? ? 设平面 ABC的法向量为 ( , , )n x y z? ，则 0, 0n AB n BC? ? ? ?， 6 即 202 2 0xzxy? ? ?， 2zxyx? ?1, 1, 2x y z? ? ?令 则 故平面 ABC的法向量可取为 (1,1,2)n? 设直线 BE与平面 ABC所成角为 ?，则 30s in30n B En B E?即 直线 BE与平面 ABC所成角的正弦值为 3030 （ 2）设平面 ABE的法向量为 ( , , )m x y z? ， 则 0, 0n AB n BE? ? ? ?， ( 2,1,0)BE ? 即 20xzxy? ? ?，
12、 22yxzx? ?1, 2, 2x y z? ? ?令 则 故平面 ABC的法向量可取为 (1,2,2)n? 设 二面角 E-AB-C的 平面角为 ?，则 76c o s18nmnm?即二面角 E-AB-C的平面角的余弦值为 7618 （ 3） (0,1,0)EC ? 设 点 C到平面 ABE的距离 为 d， 则 23EC mdm? 20. 解：（ ） 根据题意 得： 1, 2ca?所以 1b? ， 椭圆方程为 2 2 12x y?； （ ） 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，设 直线 l 的方程为 2y kx?， 由 2222+2xyy kx? ? ?得：
13、? ?222 1 8 6 0k x kx? ? ? ?， 1 2 1 22286,2 1 2 1kx x x xkk? ? ? ?且 216 24k? 1 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 0O A O B x x y y x x k x k x? ? ? ? ? ? ? ? 5k? 符合 216 24 0k? ? ? 7 则 直线 l 的斜率为 5k? 21. 解：（ 1）定义域： (0, )? 1( ) 2f x axx? ? 当 0a? 时，因为 0x? ，所以 ( ) 0fx? ? 在定义域内恒成立， ()fx? 无极值点。 当 0a? 时， 21 2 1( ) 2 a
14、xf x a xxx? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ? ，则 12x a?或 12x a? ?（舍去） 列表（省略）可知 ()fx有一个极大值点，无极小值点。即极值点个数为 1. 综上，当 0a? 时， ()fx无极值点，当 0a? 时，有且只有一个极值点 （ 2）法一：由（ 1）可知当 0a? 时， ()fx为增函数，至多只有一个零点，不合 当 0a? 时，m a x 1 1 1( ) ( ) l n ( 2 )2 2 2f x f aa? ? ? ? ? ?， 当 x? 时， ()fx? ；当 0x ? 时， ()fx? ， 要使得函数 ()fx有两个零点，则须且只需 max( )
15、 0fx? ，即 11ln( 2 ) 022a? ? ? ?解得 12a e? ，又0a? ，所以 1 02 ae? ? ? 综上： a 的取值范围是 1( ,0)2e? 法二：函数 ()fx有两个零点等价于方程 ( ) 0fx? 有两解等价于2lnx ax ?有两解 令2ln() xgx x?，则即为 ()y gx? 的图像与 ya? 有且只有两个交点 31 2 ln() xgx x? ?，令 ( ) 0gx? ? ，则 12xe? 列表可知 12m ax 1( ) ( ) 2g x g e e?，当 x? 时， ( ) 0gx? ；当 0x ? 时， ()gx? ， 作出函数 ()gx的简
16、图，由简图可知 1(0, )2a e? ，所以 a 的取值范 围是 1( ,0)2e? （ 3）由（ 1）可知 0a? 时， ()fx为增函 数，不妨设 12xx? ，则原不等式即为 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x? ? ?，即 1 1 2 2( ) ( )f x x f x x? ? ? 记 ( ) ( )g x f x x?，则 12( ) ( )g x g x? 8 由 12,xx的任意性可知，要使得上式恒成立，须且只需 ()gx为增函数。 所以 ( ) 0gx? ? 在定义域内恒成立。即 min( ) 0gx? ? 1( ) ( ) 1 2 1 2 2 1g x f x a x ax? ? ? ? ? ? ?当且仅当 12x a? 时取等号。 所以 min ( ) 2 2 1g x a? ?，所以 2 2 1 0a? 解得 18a? 。 ?所求 a 的取值范围为 1 , )8?
