1、 - 1 - 2019届高二上学期期末考试数学（理）试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意 .） 1. 计算： ? ? i ii 21 )1)(2( 2 （ ） A 2 B 2? C i2 D i2? 2由曲线 y x2， y x3围成的封闭图形面积为 ( ) A. 13 B. 14 C. 112 D. 712 3已知椭圆与双曲线 1124 22 ?yx 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于 ( ) A. 35 B. 45 C. 54 D. 34 4已知直线 l 的倾斜角为，斜率为 k，
2、那么“ 3”是“ k 3”的 ( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5 函数 )(xfy? 的图象如下图所示，则导 函数 )( xfy? 的图象的大致形状是（ ） A B C D 6下列各图是正方体和正四面体， P， Q， R， S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( ) - 2 - 7已知 f(x) x3 ax 在 (， 1上递增，则 a的取值范围是 ( ) A a3 B a 3 C a4. 则实数 m的取值范围为 (4,+ ). (2) m=5，命题 q: 64- ?x “ p q”为真命题，“ p q”为假命题， 命题 p， q为一真
3、一假。当 p真 q假时， 得 x ?. 当 q真 p假时， 得4 x? -1或5x6，因此 x的取值范围是 ?4,?1) (5,6). - 6 - 18. （本题满分 12 分）一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x 3y 0 上，且在直线 y x 上截得的弦长为 2 7，求此圆的方程 解析 方法一：所求圆的圆心在直线 x 3y 0上，且与 y轴相切， 设所求圆的圆心为 C(3a， a)，半径为 r 3|a|. 又圆在直线 y x上截得的弦长为 2 7，圆心 C(3a， a)到直线 y x的距离为 d |3a a|12 12. 有 d2 ( 7)2 r2.即 2a2 7 9a2， a 1. 故所
4、求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9或 (x 3)2 (y 1)2 9. 方法二：设所求的圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2， 则圆心 (a， b)到直线 x y 0的距离为 |a b|2 . r2 (|a b|2 )2 ( 7)2. 即 2r2 (a b)2 14 由于所求的圆与 y轴相切， r2 a2 又因为所求圆心在直线 x 3y 0上， a 3b 0. 联立，解得 a 3， b 1， r2 9或 a 3， b 1， r2 9. 故所求的圆的方程是 (x 3)2 (y 1)2 9或 (x 3)2 (y 1)2 9. 19.解析： (1) ?时，2e( ) 2xf x x
5、 ex? ? ? ?e( ) 2xf x x e? ? ? ?， 21(1) 1 1 2e 3fe? ? ? ? ? ? ?，1) 2f? ?曲线y ( )fx在点(, )f处的切线方程为 3 2( 1)yx? ? ? ?即2 y 1 0x? ? ? 6分 - 7 - 20. 解析 (1)设 FC 的中点为 I，连接 GI， HI，在 CEF 中，因为点 G 是 CE 的中点，所以GI EF.又 EF OB，所以 GI OB. 在 CFB中，因为 H是 FB的中点，所以 HI BC. 又 HI GI I， OB BC B，所以平面 GHI平面 ABC. 因为 GH?平面 GHI，所以 GH平面
6、 ABC. (2)方法一：连接 OO，则 OO平面 ABC. 又 AB BC，且 AC 是圆 O的直径，所以 BO AC. 以 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. 由题意得 B(0， 2 3， 0)， C( 2 3， 0， 0) 过点 F作 FM 垂直 OB于点 M，所以 FM FB2 BM2 3，可得 F(0， 3， 3) 故 BC ( 2 3， 2 3， 0)， BF (0， 3， 3) 设 m (x， y， z)是平面 BCF 的法向量，由?m BC 0，m BF 0，可得 ? 2 3x 2 3y 0， 3y 3z 0.可得平面 BCF的一个法向量 m ( 1， 1
7、， 33 ) 因为平面 ABC的一个法向量 n (0， 0， 1)，所以 cos m， n m n|m| |n| 77 . 所以二面角 F BC A的余弦值为 77 . 方法二：连接 OO .过点 F作 FM 垂直 OB于点 M，则有 FM OO . 又 OO平面 ABC，所以 FM平面 ABC. 可得 FM FB2 BM2 3.过点 M作 MN 垂直 BC于点 N，连接 FN. 可得 FN BC，从而 FNM为二面角 F BC A的平面角 又 AB BC， AC是圆 O的直径，所以 MN BMsin45 62 ， - 8 - 从而 FN 422 ，可得 cos FNM 77 .所以二面角 F
8、 BC A的余弦值为 77 . 21.（ 1）解：设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，联立方程组 2 23y pxx my? ? ?，消 元得 2 2 6 0y pmy p? ? ?， 所以 122y y pm? ， 12 6yy p? .? 2分 又 2121 2 1 2 1 22() 9 6 64yyO A O B x x y y y y pp? ? ? ? ? ? ?，? 4分 所以 12p? ，从而抛物线 E 的方程为 2yx? .? 5分 （ 2）因为 111 36yyk x my?， 222 36yyk x m y?， 所以1116mky? ，2216mky?
9、 ，? 6分 因此 2 2 2 2221 2 1 21 1 6 62 ( ) ( ) 2m m m mk k y y? ? ? ? ? ? ?221 2 1 21 1 1 12 1 2 ( ) 3 6 ( ) 2m m my y y y? ? ? ? ? ? 8分 2221 2 1 2 1 2221 2 1 2( ) 22 1 2 3 6 2y y y y y ym m my y y y? ? ? ? ? ?又 12 2y y pm m? ? ?， 12 63y y p? ?，? 9分 所以 22 2 222121 1 62 2 1 2 3 6 2 2 439mmm m m mkk ? ? ?
10、 ? ? ? ? ? ? ?.? 11 分 即 22212112mkk?为定值 .? 12分 22.解：（ 1） ? ? ? ? 1ln 1 lnf x a x x a xx? ? ? ? ? ?，令 ? ? 0fx? ? ， 当 0a? 时，解得 1x? ；当 0a? 时，解得 01x?， 所以当 0a? 时，函数 ? ?y f x? 的单调递增区间是 ? ?1,? ； 当 0a? 时，函数 ? ?y f x? 的单调递增区间是 ? ?0,1 .? 4分 - 9 - （ 2） 2211( ) ( ) ( ) ln22h x g x x f x x a x? ? ? ? ?，由题意得 ? ?m
11、in 0hx ? ， 因为 ? ? 2a x ah x x xx? ? ? ? ( )( )x a x ax? ，故当 (0, )xa? 时， ? ? 0hx? ? ， ?hx递减；当 ( , )xa? ? 时， ? ? 0hx? ? ， ?hx单调递增；m in 1( ) ( ) ln2h x h a a a a? ? ? ?由 1 ln 02 a a a?，得 ln 1a? ，解得 0ea?，所以实数 a 的取值范围是 ? ?0,e ? 9分 由（ 1）知 ea? 时， ? ? 21 e ln 02h x x x? ? ?在 ? ?0,x? ? 上恒成立，当 ex? 时等号成立， *x?N 时， 22elnxx? ，令 1,2,3 ,xn? ? ，累加可得 ? ? 2 2 2 22 e l n 1 l n 2 l n 3 l n 1 2 3nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 即 ? ? 2 2 2 2e 2ln 1 2 3 1 2 3 ,nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*n?N .? 12 分
