1、 1 福州市八县（市）协作校 2017 2018学年第一学期期末联考 高二理科 数学试卷 【完卷 时间 ： 120分钟 满分 ： 150分 】 第卷（选择题 共 60分） 一、选择题： 本大题有 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理数 C存在一个有理数，它的平方是无理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数 2已知集合 A ? ?0562 ? xxx ， B ? ?3? xyx ，则 A B等于 ( )
2、A 1,3 B 1,5 C 3,5 D 1， ) 3. 如图，边长为 2 的正方形内有一内切圆在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（ ） A 4 B 4 C 44? D 4. “ 0 B acb C abc 2 D cab 8 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积为 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 9. 如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱， AB是一条侧棱， ? ?82,1 LL?ipi 是上底面上其余的八个点，则 ? ?82,1 LL? ? iAPABi的不同值的个数为（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 10. 已知双曲线 C
3、 : ? ?0,0,12222 babyax ? 的 左焦点为 F ，圆 M的圆心在 Y轴正半轴，半径为 a2 ，若圆 M与双曲线的两条渐近线相切且直线 MF 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线 C 的离心 率为 （ ） A25B 2 C332D 5 11. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BCA=900，点 D1和 F1分别是 A1B1和 A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（ ） A B C D 12. 抛物线 2 2y px? （ p 0 ）的焦点为 F ，已知点 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足 120AFB? ? ? 过弦
4、 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 |MNAB 的最大值为（ ） A 2 B 233C 1 D 33第 卷 共 90 分 二、填空题：本大题有 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答卷的相应位置 . 13 若实数 x, y满足?0303320332yyxyx，则 yxz ?2 的最小值 为 _ ； 14. 已知命题 q ： 2, 1 0.x R x mx? ? ? ? ?是真命题，则实数 m 的取值范围为 3 15. 若 ABC? 的个顶点坐标 ( 4,0)A? 、 (4,0)B ， ABC? 的周长为 18 ，则顶点 C轨迹方程为 16. 在正方体 AB
5、CD A1B1C1D1中，下列给出四个命题： (1)四边 形 ABC1D1的面积为 ?1BCAB(2) BAAD 11与 的夹角为 60 ；(3) 0)()4(;)(3)( 11111211211111 ? ? DABACABABADAAA ； 则 正确 命题的序号是 _ (填出所有 正确 命题的序号 ) 三、解答题：本大题有 6题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过演算步骤 . 17 （本题满分 10分） 设命题 :p 实数 x 满足 224 3 0x ax a? ? ?， )0( a ； 命题 :q 实数 x 满足 ? ? ? 023 ? xx （ 1）若 1a? ， pq? 为真命题
6、，求 x 的取值范围； （ 2）若 p? 是 q? 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 在 ABC? 中，角 A， B， C的对边分别为 , , , 2 s in 3 s in .a b c b c B A?， 且 (1)求 cosB 的值； (2)若 2a ABC?， 求 的面积 19 (本小题满分 12分） 已知双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的的离心率为 3 ，则 （）求双曲线 C的渐进线方程。 （）当 1?a 时，已知直线 0x y m? ? ? 与双曲线 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB的中点在圆 2
7、25xy?上 ，求 m的值 . 20（本小题满分 12 分） 4 已知公差不为 0的等差数列 ?na 的前三项和为 6，且 2 4 8,aaa成等比数列 （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设11nnnb aa?，数列 ?nb 的前 n 项和为 nS ，求使 1415nS?的 n 的最大值 21 (本小题满分 12分 ) 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2， D为 CC1中点 （ 1）求证： AB1平面 A1BD； （ 2）求锐二面角 A A1D B的余弦值； 22（本小题满分 12 分） 已知 O 为坐标原点，椭圆 C ： )0(12222 ? babyax 的
8、左、右焦点分别为 21 FF， ， 右顶点为 A ,上顶点为 B ,若 |,|,| 2 ABOFOB 成等比数列，椭圆 C 上的点到焦点 2F 的最短距离 为 26? （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设 T 为直线 3?x 上任意一点，过 1F 的直线交椭圆 C 于点 QP、 ，且 01 ? PQTF ，求 | | 1PQTF 的最小值 5 福州市八县（市）协作校 2017 2018 学年第一学期期末联考 高二理科数学参考答案 一、选择题（每题 5分，满分 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B C A B D B A D A A C D 二、
9、填空题（每小题 5 分 , 共 20分） 13 -15 14. （ -2， 2） 15. 1925 22 ? yx ( 0)y?16. (1) (3) (4) 三、解答题： 17 (本小题满分 10分 ) 解：由题意得，当 p 为真命题时：当 0a? 时， 3a x a? ； 当 q 为真命题时： 32 ?x -3 分 （ I）若 1a? ，有 :1 3px?， 则当 pq? 为真命题，有? ? 32 31 xxaa， 得 21 a -10分 18 (本小题满分 12分 ) 解：因为 2sin 3 sinBA? ，所以 23ba? ?2 分 所以 23ba? ?3 分 所以2 2 22 2 2
10、2()33c o s22323b bba c bBbac b? ? ?6 分 因为 2a? ，所以 3bc? ?8 分 又因为 3cos3B?，所以 6sin3B? ?10 分 6 所以 2363221s in21 ? BacS ABC?12 分 19 (本小题满分 12分 ) 解： （）由题意，得 ,3?ace ， 22 3ac ? 2222 2aacb ? ，即 222 ?ab 所求双曲线 C 的渐进线方程 xxaby 2? ? 5分 （） 由（ 1）得当 1?a 时 , 双曲线 C 的方程为 22 12yx ?.? 6分 设 A、 B两点的坐标分别为 ? ? ? ?1 1 2 2, ,
11、,x y x y ，线段 AB的中点为 ? ?00,M x y ， 由22 120yxx y m? ? ? ? ?得 222 2 0x mx m? ? ? ?（判别式 0? ） , 120 0 0,22xxx m y x m m? ? ? ? ?,? 10 分 点 ? ?00,M x y 在圆 225xy?上 , ? ?22 25mm?， 1m? .? 12 分 （本题学生用“点差法”也给分） 20 (本小题满分 12 分 ) 解： (1)设等差数列 ?na 的首项为 1a ,公差为 d ，依题意可得 ,0261218224321 ? ? ? ? ? dad daaaa aaa 即.3分 na
12、dad n ? 1,10 1? .6分 (2) 由（ 1）可得 ? ? 11111 ? nnnnbn1111113121211 ? ? ? ? nnnS n ?.10分 7 13141514111 的最大值为令 nnn ? .12 分 21(本小题满分 12分 ) 法一： (1)取 中点 ，连结 为正三角形， 正三棱柱 中，平面 平面 ， 平面 BD-2分 连结 ，在正方形 中， 分别为 的中点， ， 则 BD面 AOB1 -4分 在正方形 中， ， 平面 -6 分 法二：解： (1)取 BC中点 O，连结 AO ABC为正三角 形， AO BC 在正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 AB
13、C平面 BCC1B1， AO平面BCC1B1 .2分 取 B1C1中点 O1，以 O为原点， OAOOOB , 1 的方向为 x， y， z轴的正方向建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示，则 B(1， 0， 0)， D( 1， 1， 0)， A1(0， 2， 3 )， A(0， 0， 3 )， B1(1， 2， 0)， )3,2,1(),0,1,2(),3,2,1( 11 ? BABDAB .4分 0,0 111 ? BAABBDAB 111 , BAABBDAB ? ， AB1? 平面 A1BD .6 分 (2)设平面 A1AD的法向量为 ),( zyxn ? AD ( 1， 1， 3
14、)， 1AA (0， 2， 0) 8 1, AAnADn ? ， ?.3,0.02,03.0,01 zxyyzyxAAnADn .8分 令 z 1得 n ( 3 ， 0， 1)为平面 A1AD 的一个法向量 由 (1)知 AB1平面 A1BD， 1AB 为平面 A1BD 的法向量 .10分 46222 33|,c o s 111 ? ? ABn ABnABn 锐二面角 A A1D B 的大小的余弦值为 46 .12分 22(本小题满分 12分 ) 解 ： （ 1）易知 | 22 ABOBOF ? ， 222 babc ? ，36?ac而 26 ?ca 又 222 cba ? ， 得 2,6 ?
15、 ba ， 故椭圆 C 的标准方程为 126 22 ? yx.5分 （ 2）由（ 1）知 )0,2(1 ?F ， 01 ?PQTF ， 故 PQTF?1 ， 设 ),3( mT? ， 1| 21 ? mTF ， 直线 1TF 的斜率为 m? ， 当 0?m 时，直线 PQ 的斜率为 m1 ， 直线 PQ 的方程为 2?myx ； 当 0?m 时，直线 PQ 的方程为 2?x ， 也符合方程 2?myx .8分 设 ),( 11 yxP ， ),( 22 yxQ ， 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得?126222 yxmyx 消去 x ，得： 024)3( 22 ? myym ， 0? ， 34221 ? m myy， 32221 ? myy3 )1(2438)34(14)(1| 222222212212 ? ? m mmm mmyyyymPQ9 332422)121(24112433)1(241|22222221 ?mmmmmmmPQTF 当且仅当121 22 ? mm， 即 1?m 时，等号成立 | | 1PQTF 的最小值为33 .12分
