1、 计算计算计算某一速率区间的分子数计算某一速率区间的分子数计算某一速度分量区间的分子数计算某一速度分量区间的分子数 概念概念 速率分布函数速率分布函数 速度分量分布函数速度分量分布函数 三种速率三种速率 自由度自由度 定理定理 定律定律 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速度分量分布律麦克斯韦速度分量分布律 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 (Maxwellian velocity distribution)气体分子速率分布的统计规律气体分子速率分布的统计规律 一一.统计规律与分布函数统计规律与分布函数 是对大量偶然事件整体起作用的规律，是对大量偶然事件整体起作用的规律，它
2、表现了这些事物整体的必然联系。它表现了这些事物整体的必然联系。例例:伽耳顿板实验伽耳顿板实验 一颗粒子落在哪个槽一颗粒子落在哪个槽-偶然事件偶然事件大量粒子分布大量粒子分布-必然事件必然事件例例:气体分子速率的分布气体分子速率的分布平衡态下平衡态下 某一气体分子的速率某一气体分子的速率-偶然事件偶然事件 大量分子速率分布大量分子速率分布-必然事件必然事件)/(vNNovvvv SN:分子总数分子总数xyzxyz 速度空间速度空间:以以vx,vy,vz为坐标轴所确定的空间为坐标轴所确定的空间N:总分子数总分子数代表点代表点-v 的末端点的末端点N个分子个分子 N个箭头个箭头 N个代表点个代表点r
3、v位置空间位置空间 速度空间速度空间相空间相空间(6维维)vxvyvzvyvxvzovdvydvxdvz(distribution function of speed)速率在速率在v-v+dv区间的分子数区间的分子数 dN=NF(v)dv:)(dvNdNvF :)(NdNdvvF 归一化条件归一化条件 01)(dvvF F(v)的物理意义？的物理意义？O v v+dv v满足满足表示在表示在v附近附近,单位速率区间内的气体分子数所占的百分比单位速率区间内的气体分子数所占的百分比.表示在表示在vv+dv速率速率区间内的气区间内的气体分子数占总分子数的百分比体分子数占总分子数的百分比.dvvkTm
4、NdNkTmv22232e24 22232e24)(vkTmvFkTmv 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数dvvFNdN)(令令(Maxwell speed distribution)气体处于平衡态时气体处于平衡态时,其分子速率分布函数的具体形式其分子速率分布函数的具体形式1.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 设某一系统其分子总数为设某一系统其分子总数为 N 在平衡态下在平衡态下,分布在分布在 v v+dv 的分子数的分子数F(v)与与 m,v,T 有关有关2.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线 F(v)(1)分布曲线所包围的面积分布曲线所包围的面积u 任一任一 vv+d
5、v 区间内区间内,曲线下面积曲线下面积 NdNdvvF)(u 对应于对应于 v1 v2 区间内曲线下面积区间内曲线下面积 2121)(vvNNNNNdNdvvF 表示分布在表示分布在 v1 v2 区间的分子数所占的百分比区间的分子数所占的百分比u 归归一一化化条条件件总总面面积积：01)(dvvF表示分布在表示分布在 v v+dv 区间的分子数所占的百分比区间的分子数所占的百分比v v+dvo v22232e24)(vkTmvFkTmv v1 v2(2)曲线特征曲线特征 分布曲线两端趋于零。分布曲线两端趋于零。分布曲线上有一极大值。分布曲线上有一极大值。相应的速率相应的速率最概然速率最概然速率
6、 vp vp 的物理意义：的物理意义：在一定温度下，速度大小与在一定温度下，速度大小与 vp 相近的气体分子相近的气体分子的百分数为最大。的百分数为最大。得：得：由由,0)(dvvdFmolpMRTmkTv22 o v22232e24)(vkTmvFkTmv F(v)vp(3)分布曲线与分布曲线与 T 及及 m 的关系的关系 可知可知由由mkTv2P 当当 m 一定时，一定时，T ,vP ,峰值向右移且曲线变得平坦些峰值向右移且曲线变得平坦些 T ,vP ,峰值向左移且曲线变得尖锐些峰值向左移且曲线变得尖锐些13TT 12TT )(vF1Tvo当当 T 一定时，一定时，m ,vP ,峰值向左移
7、且曲线变得尖锐些峰值向左移且曲线变得尖锐些 m ,vP ,峰值向右移且曲线变得平坦些峰值向右移且曲线变得平坦些mvTv1,PP o v22232e24)(vkTmvFkTmv F(v)vp3.三种速率公式三种速率公式 方均根速率方均根速率(root-mean-square speed)02022)()(dvvFvNdvvNFvvmolmolMRTMRTmkTv73.1332 平均速率平均速率(mean speed)00)()(dvvvFNdvvvNFvmolmolMRTMRTmkTv59.188 最概然速率最概然速率(most probable speed)molmolpMRTMRTmkTv4
8、1.122 2vo v22232e24)(vkTmvFkTmv F(v)vpv设有一群粒子具有下列速率分布：设有一群粒子具有下列速率分布：粒子数粒子数N2040608020速率速率vi/(ms-1)100200300400500试求：（试求：（1）平均速率）平均速率;（2）方均根速率）方均根速率;（3）最概然速率）最概然速率.例例:试计算试计算300K时氧分子的时氧分子的vp,vrms。解：解：v smMRTvmolp/395103230031.8223 smMRTvmol/445103230031.8883 smMRTvmolrms/483103230031.8333 4.成立条件成立条件l
9、 气体必须由大量分子组成气体必须由大量分子组成l 气体必须处于平衡态气体必须处于平衡态 5.应用应用 计算在某一速率区间计算在某一速率区间 dv 内的相对分子数内的相对分子数Pvvu 引入相对速率引入相对速率代代入入公公式式及及将将uvvuvvddPP duuNdNu22e4 uuNNuuvvu2-2e4 时时或或当当dvvkTmdvvFNdNkTmv22/2/32e24)(例例 1 试求在试求在T=300K的氮气中，具有速率在的氮气中，具有速率在 275 m/s 到到 277 m/s 区间的氮分子数的比率。区间的氮分子数的比率。m/s422102830031.8223p molMRTv65.
10、0422275p vvu0047.04222p vvu%29.00029.00047.065.0e4e4265.0222 uuNN-uvvsmvv ,/275 ,m/s2解解：例例 2 求分子热运动速率介于求分子热运动速率介于 之间之间的分子数占总分子数的百分数。的分子数占总分子数的百分数。)1001()1001(Ppppvvvv 和和vvvvvv 故故有有解解：,50PP02.0,1PP vvuvvu%66.10166.002.01e4e421222 uuNN-u1.1.速度分量分布函数速度分量分布函数 速度分量速度分量 vx 分布在分布在vxvx+dvx区间内分子数区间内分子数xxvNdv
11、vfdNx)(NdNdvvfxvxx)(O vx vx+dvx vxxvxNdvdNvfx)(表明分布在表明分布在vx附近附近,单位速度分量区间内的相对分子数单位速度分量区间内的相对分子数 表明表明分布在分布在vxvx+dvx区间内区间内的相对分子数的相对分子数 1)(xxdvvf满满足足归归一一化化条条件件：kTmvxvxxxekTmNdvdNvf2/2/122)(2.2.麦克斯韦速度分量分布麦克斯韦速度分量分布函数函数 气体处于平衡态时气体处于平衡态时,其分子速度分量分布函数的具体形式其分子速度分量分布函数的具体形式kTmvyvyyyekTmNdvdNvf2/2/122)(kTmvzvzz
12、zekTmNdvdNvf2/2/122)(NdNdvvfxx)(3.曲线下的面积曲线下的面积NNdvvfxxvvxx 21)(2)在在vx1 vx2区间曲线下的面积区间曲线下的面积 1)()3(xxdvvf总面积：总面积：区区间间的的相相对对分分子子数数分分布布在在21xxvv vx1 vx2 vx vx+dvx(1)在在vx vx+dvx区间内区间内,曲线下曲线下(2)狭条面积狭条面积kTmvxvxxxekTmNdvdNvf2/2/122)(O vx4.相对速度分量公式相对速度分量公式 分布在分布在vxvx+dvx区间内区间内的相对分子数的相对分子数xkTmvxxvdvekTmdvvfNdN
13、xx2/2/122)(pxvvux 引引入入相相对对速速度度分分量量代入公式代入公式及及将将xxxxuvvuvvddPP xuvduNdNxx2e1 时时或或当当xxxxuuvv0 vx区间的相对分子数区间的相对分子数)(211200 xxuuvuerfdueNNxxx )3192)(function)error(02pdxexerfxx 其中误差函数其中误差函数xuvuNNxx2-e1 xerf(x)xerf(x)001.60.97630.20.22271.80.98910.40.42842.00.99530.60.60392.20.99810.80.74212.40.99931.00.84
14、272.60.99981.20.91032.80.99991.40.9523 xxdxexerf022)(function)error(误差函数误差函数0.00.51.01.52.02.53.00.00.20.40.60.81.0erf(x)x5.分子通量分子通量 泻流流量泻流流量:单位时间内单位面积上泻出的气体分子数单位时间内单位面积上泻出的气体分子数.vnmkTndvvfnvxxx41841)(2/10 vndvvfnvdvvfnvvvxxxxxxx41)()(002 泻泻平均泻流速率平均泻流速率:泻流出去的分子在泻流出去的分子在x方向的平均速率方向的平均速率应用应用:分离同位数分离同位数
15、mmkTn18412/1 vxvyvzodvxdvydvzzyxzyxzyxdvdvNdvvvvdNvvvf),(),()2exp()2(),(22/3kTmvkTmvvvfzyx -麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 表明在速度空间表明在速度空间,分布在分布在 附近单位体积元内的分子数占附近单位体积元内的分子数占总分子数的百分比总分子数的百分比.vv推推 导导)()(),(2222zyxzyxvvvfvfvvvf )()()(),(zyxzyxvfvfvfvvvf )()()()(222zyxzyxvfvfvfvvvf )(ln)(ln)(ln)(ln222zyxzyxvfvfvfvv
16、vf 222321)(,)(,)(zyxBvzBvyBvxeCvfeCvfeCvf 猜猜 021)(2123:zyxdvdvdvvfvmkT 由由2/324,2 kTmCkTmB 得：得：)2exp()2()(22/3kTmvkTmvf 2222)(321)(BvvvvBCeeCCCvfzyx 从速度分布导出速率分布从速度分布导出速率分布dvvvNfdNv24)(222/3)2exp()2(4)(vkTmvkTmvF dvvNFdNv)()(4)(2vfvvF )2exp()2()(22/3kTmvkTmvf 其中：其中：ovxvyvzvdv 重力场中气压按高度的分布重力场中气压按高度的分布
17、设设S 为圆柱体的底面积为圆柱体的底面积ozdzMgSpSdpp)(zSgMgd 由由0d)d(zSgSppSp 有有：kTmpRTpMVMmol 又又zkTmgppdd 则则积积分分得得：RTgzMkTmgzmolppp ee00(Boltzmann density distribution)(isothermal barometric formula)设设T,g不随不随高度变化高度变化1908年法国科学家年法国科学家Perrin首次观测到，首次观测到，1926年获得诺贝尔物理奖。年获得诺贝尔物理奖。p=nkT n n(z)=n0 e-mgz/kTPerrin实验的意义实验的意义z)(zno
18、kTEkTmgzpenenn/0/0 其中其中 Ep=mgz-重力势能重力势能 设粒子处在某一保守力场中的势能设粒子处在某一保守力场中的势能=U(r)=pkTkTUBpenennn/0/)(0)()(r rr rr r -玻尔兹曼密度分布律玻尔兹曼密度分布律l 回转体中微粒的径向分布回转体中微粒的径向分布l 台风的形成台风的形成玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律-粒子的位置分布粒子的位置分布麦克斯韦麦克斯韦分布律分布律-粒子的速度分布粒子的速度分布麦克斯韦麦克斯韦-玻尔玻尔兹曼分布律兹曼分布律麦麦克克斯斯韦韦分分布布律律玻玻分分布布律律麦麦对对位位置置空空间间积积分分-dxdydzndNkTP/0B
19、e 故故：1e222/32 zyxkTmvdvdvdvkTm 由由于于 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律在一定温度下在一定温度下,分布在分布在(x-x+dx,y-y+dy,z-z+dz,vx-vx+dvx,vy-vy+dvy,vz-vz+dvz)分子数分子数 dxdydzdvdvdvkTmndNzyxkTE/230e2 麦克斯韦麦克斯韦-玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律其中总能量其中总能量 E=k+p玻玻尔尔兹兹曼曼分分布布律律玻玻分分布布律律麦麦对对速速度度空空间间积积分分-一一.自由度自由度(degree of freedom)(1)定义定义:决定一个系统在空间位置所需要的决定一个系统在空间位置所
20、需要的独立坐标独立坐标的数的数目。目。质点质点 (a)自由质点自由质点 (b)平面或曲面运动平面或曲面运动 (c)直线或曲线运动直线或曲线运动(x,y,z)(x)(x,y)自由度自由度=3自由度自由度=2自由度自由度=1 刚体刚体(rigid body)质心的运动质心的运动+绕通过质心的转轴转动绕通过质心的转轴转动 (a)决定质心决定质心 C 的位置需三个独立坐标的位置需三个独立坐标(x,y,z)(b)确定转轴的方位确定转轴的方位 (c)确定刚体绕转轴的转动需一个独立坐标确定刚体绕转轴的转动需一个独立坐标()共共 6 个自由度个自由度:3 个平动自由度个平动自由度+3 个转动自由度个转动自由度
21、xyzc 1coscoscos222 需二个独立坐标需二个独立坐标(,)(2)气体分子的自由度气体分子的自由度 i (a)对于单原子分子如对于单原子分子如He,Ne,Ar 质点模型质点模型 只有三个平动自由度只有三个平动自由度 (b)对于双原子分子如对于双原子分子如 H2,O2,N2,CO 如果分子是刚性的如果分子是刚性的 哑铃模型哑铃模型 3 个平动自由度个平动自由度+2 个转动自由度个转动自由度 如果分子是非刚性的如果分子是非刚性的 弹簧哑铃模型弹簧哑铃模型 3 个平动自由度个平动自由度+2 个转动自由度个转动自由度+1 个振动自由度个振动自由度 i=6i=3i=5*(c)对于多原子分子对
22、于多原子分子 如果是刚性分子力学模型如果是刚性分子力学模型=自由刚体自由刚体 如果是非刚性分子设由如果是非刚性分子设由n 个原子组成个原子组成 3 个平动自由度个平动自由度+3 个转动自由度个转动自由度+(3n-6)个振动自由度个振动自由度i=6i=3n(theorem of equipartition of energy)平均平动动能平均平动动能kTvm23212 222231:vvvvzyx 由由统统计计假假设设有有kTvmvmvmvmzyx2121312121212222 代入代入故故 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理:在温度为在温度为 T 的平衡的平衡态下，物质分子的每一个自由
23、度上都具有相同的态下，物质分子的每一个自由度上都具有相同的平均动能，其大小都等于平均动能，其大小都等于 .kT21 例例:若气体分子有若气体分子有 i 个自由度个自由度 i=t+r+s (平平)(转转)(振振)kTt2 则则分分子子的的平平均均平平动动动动能能kTr2 则则分分子子的的平平均均转转动动动动能能kTs2 则则分分子子的的平平均均振振动动动动能能kTsrtkTi)(212 分分子子的的平平均均总总动动能能 1.能量均分定理是一个统计规律，是对大量分子统能量均分定理是一个统计规律，是对大量分子统计平均所得的结果。计平均所得的结果。2.能量均分定理只涉及动能，不涉及势能。能量均分定理只
24、涉及动能，不涉及势能。讨讨 论论 分子的平均总能量分子的平均总能量=平均动能平均动能+分子内原子间的平均振动势能分子内原子间的平均振动势能kTsrtskTkTsrt)2(2121)(21 三.三.理想气体的内能理想气体的内能四.四.1.实际气体实际气体:内能内能=动能动能(平动平动+转动转动+振动振动)+势能势能(分子内分子内/间的作用力间的作用力)五.五.2.理想气体理想气体:六.六.内能内能=动能动能(平动平动+转动转动+振动振动)+势能势能(分子内作分子内作用力用力)七.七.=所有分子的平均能量的总和所有分子的平均能量的总和八.八.对于对于1 mol理想气体理想气体RTsrtkTsrtN
25、UAmol)2(21)2(21 对于对于M千克理想气体千克理想气体RTsrtMMUmol)2(21 3.若理想气体为刚性气体，则若理想气体为刚性气体，则 s=0,i=t+r RTiUmol2 1mol 理想气体内能理想气体内能RTUiRTUimolmol255233 ：双原子双原子：单原子单原子结论结论:理想气体的内能完全决定于分子运动的自由度和气体理想气体的内能完全决定于分子运动的自由度和气体的热力学温度的热力学温度理想气体的定义理想气体的定义:(1)遵从理想气体状态方程。遵从理想气体状态方程。(2)内能只是温度的单值函数。内能只是温度的单值函数。四四.理想气体的理想气体的热容量热容量(he
26、at capacity)VmolVmolmolVdTdUdTQC RTsrtkTsrtNUAmol)2(21)2(21 由由RsrtCmolV)2(21 有有RCiRCimolVmolV255233 ：刚性双原子刚性双原子：单原子单原子单原子分子气体单原子分子气体HeNeArKrXe单原子单原子NCVmol/R1.491.551.501.471.511.49双原子分子气体双原子分子气体H2O2N2CONOCl2CVmol/R2.532.552.492.492.573.02多原子分子气体多原子分子气体CO2H2OCH4C2H4C3H6NH3CVmol/R3.243.013.164.016.173
27、.420下几种气体的摩尔定体热容量的实验值下几种气体的摩尔定体热容量的实验值(1)对于单原子分子气体对于单原子分子气体,理论值与实验值符合得很好理论值与实验值符合得很好.(2)对于双原子分子气体对于双原子分子气体,理论值与实验值不符合理论值与实验值不符合.(3)低温低温：CVmol=3/2R常温常温：CVmol=5/2R高温高温：CVmol=7/2R40 100 200 400 1000 2000 T/K41 氢分子热容量随温度的变化氢分子热容量随温度的变化 CVmol/R7/25/23/2不是能量均分定理的问题不是能量均分定理的问题而是经典物理的问题：能量是连续分布的而是经典物理的问题：能量
28、是连续分布的量子物理：量子物理：能级能级是离散的是离散的(energy level)平动平动 转动转动 振动振动 kTT=1K 时时 1010-2323J 10-4-4eV例例:1mol 温度为温度为T1的氢气与的氢气与2mol温度为温度为T2的氦气混合后的氦气混合后的温度是多少的温度是多少?解解:混合前后内能相等混合前后内能相等 氢气的自由度为氢气的自由度为5,氦气的自由度为氦气的自由度为3,混合前的内能混合前的内能2122325RTRTU 前前RTRTU22325 后后混合后的内能混合后的内能RTRTRTRT223252232521 有：有：116521TTT 得：得：解解p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will Be写在最后谢谢你的到来学习并没有结束，希望大家继续努力Learning Is Not Over.I Hope You Will Continue To Work Hard演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
