1、3.2导数的应用课时课时3导数与函数的综合问题导数与函数的综合问题内容索引题型一用导数解决与不等式有关的问题题型一用导数解决与不等式有关的问题题型二利用导数解决函数零点问题题型二利用导数解决函数零点问题题型三利用导数解决生活中的优化问题题型三利用导数解决生活中的优化问题审题路线图系列审题路线图系列练出高分练出高分思想方法思想方法 感悟提高感悟提高题型一用导数解决与不等式有关的问题题型一用导数解决与不等式有关的问题题型一题型一用导数解决与不等式有关的问题用导数解决与不等式有关的问题命题点命题点1解不等式解不等式又(2)0，当且仅当0 x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(
2、x)也为奇函数.故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).(，2)(0,2)解析答案命题点命题点2证明不等式证明不等式解析答案又F(0)0，F(1)0，所以当x0,1时，F(x)0，解析答案记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10，axln xx3，令g(x)xln xx3，则h(x)g(x)1ln x3x2，当x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数，h(x)h(1)20，即g(x)0.g(x)在(1，)上也是减函数，g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立 思维升华思维升华(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定
3、函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)0，得x2；由f(x)0，得0 x2.所以f(x)的单调递增区间为(，0)，(2，)，单调递减区间为(0,2)(2)若对任意的x1,3，有f(x)f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解析答案返回返回解解依题意，对x1,3，ax33x23ax26x0恒成立，所以h(x)在区间1,3上是减函数，题型二利用导数解决函数零点问题题型二利用导数解决函数零点问题题型二题型二利用导数解决函数零点问题利用导数解决函数零点问题例例4(2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，
4、曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；解解f(x)3x26xa，f(0)a.曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为yax2.解析答案(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x).解析答案思维升华h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根.综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.思维升华思维升华研究方程根的情况，可
5、以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围.解解f(x)x(2cos x)，令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增.当x0时，f(x)1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1，).跟踪训练2解析答案返回题型三利用导数解决生活中的优化问题题型三利用导数解决生活中的优化问题题型三题型三利用导数
6、解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题(1)求a的值；解解 因为x5时，y11，解析答案(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解析答案思维升华解解由(1)可知，该商品每日的销售量为从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减解析答案思维升华由上表可得，x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值.所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答答当销售价格为4元/千克时，商场
7、每日销售该商品所获得的利润最大.思维升华思维升华在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.解析解析由yx239x400，得x1或x40，由于0 x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值.40跟踪训练3解析答案返回审题路线图系列审题路线图系列(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；审题路线图系列一审条件挖隐含一审条件挖隐含审题路线
8、图解析答案返回温馨提醒审题路线图审题路线图(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M(正确理解“存在”的含义)g(x1)g(x2)maxM挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质g(x)maxg(x)minM求得M的最大整数值审题路线图解析答案温馨提醒(2)对任意s，t ，2都有f(s)g(t)(理解“任意”的含义)f(x)ming(x)max求得g(x)max1 xln x1恒成立分离参数aaxx2ln x恒成立求h(x)xx2ln x的最大值ah(x)maxh(1)1a112ax解析答案温馨提醒规范解答规范解答解解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g
9、(x1)g(x2)maxM.2分 g(x)maxg(2)1.又x0,2，解析答案温馨提醒则满足条件的最大整数M4.6分解析答案温馨提醒所以h(x)maxh(1)1，13分所以a1，即实数a的取值范围是1，).14分 温馨提醒温馨提醒返回(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题.思想方法思想方法感悟提高感悟提高1.用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口.2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴
10、(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.方法与技巧1.利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“af(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到.2.利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.失误与防范返回练出高分练出高分123456789101112131415解析答案123456789101112131415由(1)得x(x2)ax在区间(，0
11、上恒成立.当x0时，aR；当x0)，解析答案当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数，所以h(x)h(0)0恒成立；故h(x)为减函数，所以h(x)h(0)0恒成立，显然不符合题意；123456789101112131415解析答案当0a0，满足h(x0)ln(x01)ax00成立.则h(x0)ln 520成立，可知0a0时，h(x)f(x)xf(x)0，此时函数h(x)单调递增 3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.解析解析y3x2273(x3)(x3)，当0 x0；当x3时，y0，b0，且函数f(x)4
12、x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_.解析解析由题意得f(x)12x22ax2b.f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.a0，b0，9当且仅当ab3时取等号，易知此时f(x)在x1处有极小值，满足题意，ab的最大值为9.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案所以2x2b0，于x22a0在x(a，b)上恒成立.x22a0的解集为解析解析由题意知f(x)x22a，g(x)2x2b，函数f(x)与g(x)在区间(a，b)上单调性相反，则有(x22a)(2x2b)0在x(a，b)上恒成立，又0a0.2123
13、456789101112131415解析答案7.设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集为_.123456789101112131415解析答案解析解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，所以x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0)，则F(x)0(x0，即为F(x2 014)F(2)0，即F(x2 014)F(2)，又因为F(x)在(，0)上是减函数，所以x2 0142，所以x0恒成立.若x0，a为任意实数，f(x)exax0恒成立.若x0，
14、f(x)exax0恒成立，当x(0,1)时，Q(x)0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x(1，)时，Q(x)0恒成立，a的取值范围为(e，).答案答案(e，)1234567891011121314159.设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；123456789101112131415解析答案解解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)22ln 22a故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区
15、间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.123456789101112131415(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.证明证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx2
16、2ax1.123456789101112131415解析答案10.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；123456789101112131415解析答案解解因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元.又根据题意200rh160r212 000，1234
17、56789101112131415(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.令V(r)0，解得r5或5(因为r5不在定义域内，舍去).当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.123456789101112131415解析答案11.设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR).若x1为函数g(x)f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象的是_.(填序号)123456789101112131415解析答案ca0，ca.f(x)ax2bxa.若
18、方程ax2bxa0有两根x1，x2，答案答案 解析解析设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点.12345678910111213141512.已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_.123456789101112131415解析答案g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：123456789101112131415解析答案因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，).答案答案4，)12345678910111213141513.已知函数f(x)ax
19、33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是_.解析解析a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x，若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.则a0知，化简得a24，又a0，所以a0.(1)求f(x)的单调区间；解解 因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，).123456789101112131415解析答案(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立.解解 由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立.解得ae.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案令f(x)0，得x1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，)令f(x)0，得0 x1，因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1)综上，f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)123456789101112131415解析答案返回(2)设mR，对任意的a(1,1)，总存在x01，e，使得不等式maf(x0)0成立，求实数m的取值范围123456789101112131415解解依题意，maf(x)max.由(1)知，f(x)在x1，e上是增函数 返回
