1、 1 河北省安平中学 2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文 考试时间 120分钟 试题分数 150分 一、 选择题:(每题只有一个正确选项。共 12个小题,每题 5分,共 60分。 1.复数? ?634iii?的实部与虚部之差为( ) A -1 B 1 C7?D2. “ a = l” 是 “ 函数 在区间 上为增函数 ” 的 ( ) (A)充分不必要条件 ( B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.若复数( 1 i) ( a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a的取值范围是 ( ) ( A)( , 1)( B)( , 1)( C)( 1, +
2、)( D)( 1, +) 4.下列四个命题中,正确的是( ) A若x?,则? ?,1 , 1y xy? ? ? ?B若sin cosx ?,则? ? 10, , 2x? ? ?C.若1,则? ?,1 , 1y xy? ? ? ?D若 ,则? ?0, , 1x? ? ?5.某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料如表所示: x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 由表可得回归直线方程 = x+ 中的 = 4,据此模型预测零售价为 20 元时,每天的销售量为 ( ) A 26个 B 27个 C 28 个 D 29个 6若函数 2( ) 2
3、lnf x x x?在其定义域内的一个子区间 (k 1, k 1)内 不是 单调函数,则实数 k的取值范围是 ( ) 2 A 1, ) B 32, 2) C 1,2) D 1, 32) 7如图是函数 32()f x x bx cx d? ? ? ?的大致图象,则 2212xx? 等于( ) A 32 B 34 C 38 D 312 8 设115114113112 l o g1l o g1l o g1l o g1 ?P,则( ) A 10 ?P B 21 ?P C 32 ?P D 43 ?P 9.要证明 3 + 7 2 5 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( ) . A 反证法 B分析法
4、 C综合法 D做差比较法 10 若函数 b3bx6x)x(f 3 ? 在 )1,0( 内有极小值,则实数 b 的取值范围是 ( ) A )1,0( B )1,(? C ),0( ? D )21,0( 11.设函数 1, 0()1, 0xfx x? ? ?,则 ( ) ( ) ( ) ()2a b a b f a b ab? ? ? ? ?的值为( ) A.a B.b C. ,ab中较小 的数 D. ,ab中较大的数 12.已知函数?的导数为?,且? ? ? ? ?10x f x xf x? ? ?对? ?0,x? ?恒成立,则下列不等式一定成立的是( ) A? ? ? ?1 2 2f ef?B
5、? ? ? ?12ef f?C.?10?D? ? ? ?22ef e f?二 . 填空题(共 4个小题,每题 5分,共 20分。) 1 2 X1 X2 x O 3 13某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况,随机抽取了 500户居民去年的用电量(单位: kw/h),将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示;其中直方图从左到右前 3个小矩形的面积之比为 1: 2: 3该乡镇月均用电量在 37 39之内的居民共有 户 14. 在 1, 1上任取一数 a,在 1, 2上任取一数 b,则点( a, b)满足 a2+b2 2的概率为 . 15.已知整数的数对列如下 : (1,1),(1,2),(2,
6、1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3), (3,2),(4,1),(1,5), (2,4),? 则第 60 个数对是 . 16.现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 42a .类比到空间,有两个棱长均为 a的正方体,其中一 个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 . 二、 解答题:(解答题应写出必要的文字说明和演算步骤) 4 17 (本小题满分 10 分) 已知 cba, 均为实数,且 62,32,22 222 ? ? xzczybyxa ,
7、 求证: cba, 中至少有一个大于 0 。 18 (本小题满分 12 分) (1)设复数 z 满足 1z? ,且 (3 4)iz? 是纯虚数 ,求 z? . (2)已知复数 z 满足 : 1 3 ,z i z? ? ? 求 22(1 ) (3 4 )2iiz?的值 . 19 (本小题满分 12分) 某高校经济管理学院在 2014年 11 月 11日“双 11购物节”期间,对 25, 55岁的人群随机抽取了 100人进行 调查,得到各年龄段人数频率分布直方图同时对这 100人是否参加“商品抢购”进行统计,结果如下表: ( 1)求统计表中 a和 p的值; ( 2)从年龄落在( 40, 50内的参
8、加“商品抢购”的人群中,采用分层抽样法抽取 6人参加满意度调查,在抽取的 6人中,有随机的 2人感到“满意”,设感到“满意”的 2人中年龄在( 40, 45内的人数为 X,求 X的分布列和数学期望 ( 3)通过有没有 95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于 40岁”有关?说明你的理由 组数 分组 抢购商品的人数 占本组的频率 第一组 25, 30) 12 0.6 第二组 30, 35) 18 p 5 第三组 35, 40) 10 0.5 第四组 40, 45) a 0.4 第五组 45, 50) 3 0.3 第六组 50, 55) 1 0.2 附:K2=P( 2 k) 0.100 0.
9、050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20.(本题满分 12分) 已知函数 2221( ) ( )1a x af x xx? R,其中 a?R ()当 1a? 时,求曲线 ()y f x? 在点 (2 (2)f, 处的切线方程; ()当 0a? 时,求函数 ()fx的单调区间 21(本小题满分 12分) 6 设 axxxxf 22131)( 23 ? . ( 1)若 )(xf 在 ),32( ? 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ( 2)当 20 ?a 时, )(xf 在 4,1 上的最小值为 316? ,求 )(xf 在该区间上 的最大
10、值 . 22.(本题满分 12分) 已知函数 f( x) =excosx?x. ()求曲线 y= f( x)在点( 0, f( 0)处的切线方程; ()求函数 f( x)在区间 0, 2上的最大值和最小值 . 7 答案 BABCD DCBBD DA 13. 125 14. 15.(5,7) 16. 83a 17. (本题满分 10分) 证明:假设 cba, 都不大于 0 , 即 0, 0, 0abc? ? ?,得 0abc? ? ? , 而 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 3 0a b c x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 即 0abc? ?
11、? ,与 0abc? ? ? 矛盾, ,abc? 中至少有一个大于 0 。 18. (本题满分 12分) (1)解:设 , ( , )z a bi a b R? ? ?,由 1z? 得 221ab?; ( 3 4 ) ( 3 4 ) ( ) 3 4 ( 4 3 )i z i a b i a b a b i? ? ? ? ? ? ? ?是纯虚数,则 3 4 0ab? 22441 55,333 4 055aaabab bb? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或, 4 3 4 3,5 5 5 5z i i? ? ? ? ?或 (2)解:设 , ( , )z a bi a b R? ? ?,
12、而 1 3 ,z i z? ? ? 即 22 1 3 0a b i a b i? ? ? ? ? ? 则 22 410 , 4 3330 aa b a zibb? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22( 1 ) ( 3 4 ) 2 ( 7 2 4 ) 2 4 7 342 2 ( 4 3 ) 4i i i i i iz i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19.(本题满分 12分) 解:( 1)因为总人数为 100, 所以在 40, 45)岁的人数为 100 5 0.03=15,所以 a=15 0.4=6; 因为年龄在 30, 35)岁的人数的频率为 1 5( 0.04+0.0
13、4+0.03+0.02+0.01) =0.3, 所以年龄在 30, 35)岁的人数为 100 0.3=30,所以 p= =0.6; ( 2)依题意,抽取年龄在 40, 45)岁之间 4人,抽取年龄在 45, 50)岁之间 2人, 8 X可以取 0, 1, 2; P( X=0) = = , P( X=1) = = , P( X=2) = = ; 所以 X的分布列为 X 0 1 2 P 所以 E( X) =0 +1 +2 = ; ( 3)可得 2 2列联表为 年龄在 40以下 年龄不在 40 以下 合计 参加抢购 40 10 50 未参加抢购 30 20 50 合计 70 30 100 计算 K2
14、= , 因此 有 95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于 40岁”有关 20.(本题满分 12分) ()当 1a? 时,22() 1xfx x? ?, 4(2) 5f ? , 又 222 2 2 22 ( 1 ) 2 2 2 2() ( 1 ) ( 1 )x x x xfx xx? ? ? ? ?, 6(2) 25f? ? 所以,曲线 ()y f x? 在点 (2 (2)f, 处的切线方程为 46( 2)5 25yx? ? ? ?, 即 6 25 32 0xy? ? ? () 222 2 2 22 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( ) ( 1 )() ( 1 ) ( 1 )a x
15、 x a x a x a a xfx xx? ? ? ? ? ? ? ? 由于 0a? ,以下分两种情况讨论: ( 1)当 0a? 时,令 ( ) 0fx? ? ,得到1 1x a?, 2xa? 当 x 变化时, ( ) ( )f x f x? , 的变化情况如下表: 9 x 1a?, 1a 1 aa?, a ()a?, ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 极小值 极大值 所以 ()fx在区间 1a?, ()a?, 内为减函数,在区间 1 aa?,内为增函数 ( 2)当 0a? 时,令 ( ) 0fx? ? ,得到121x a x a? ?,当 x 变化时, ( ) ( )f x f x
16、? , 的变化情况如下表: x ? ?a? , a 1a a?, 1a? 1a?, + ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 极大值 极小值 所以 ()fx在区间 ()a? , , 1a?, +内为增函数,在区间 1aa?,内为减函数 21.(本题满分 12 分) 解:( 1) )(xf 在 ),32( ? 上存在单调递增区间,即存在某个子区间 ),32(),( ?nm 使得0)( ?xf .由 axaxxxf 241)21(2)( 22 ? , 由于导函数 )( xf 在区间 ),32 ? 上单调递减,则只需 0)32( ?f 即可。 由 0292)32( ? af 解得 91?a ,
17、所以 当 91?a 时, )(xf 在 ),32( ? 上存在单调递增区间 . ? 6 分 ( 2)令 0)( ?xf ,得两根 28111 ax ?, 28112 ax ?. 10 所以 )(xf 在 ),( 1x? , ),( 2?x 上单调递减,在 ),( 21 xx 上单调递增? 8分 当 20 ?a 时,有 41 21 ? xx ,所以 )(xf 在 4,1 上的最大值为 )( 2xf 又 06227)1()4( ? aff ,即 )1()4( ff ? ? 10 分 所以 )(xf 在 4,1 上的最小值为 3163408)4( ? af ,得 1?a , 22?x , 从 而 )(xf 在 4,1 上的最大值为 310)2( ?f . ? 12分 22.(本题满分 12分) 解:()因为 ( ) e cosxf x x x?,所以 ( ) e ( c o s s i n ) 1 , ( 0 ) 0xf x x x f?