1、做最适合你的数学培训 1 _ 肖老师数学培优 1 探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件 1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸 片摆成如下图形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上. 求证：ABED； 若 PBBC，请找出图中与此条件有 关的一对全等三角形，并给予证明 2、如图，在ABC 中，ACBC，ACB90，AD 平分BAC，BEAD 交 AC 的延长线于 F，E 为垂足，则结论：ADBF；CFCD；AC CDAB；BECF；BF2BE.其中正确的是（ ） 3、如图，点 C 在线段 AB 上，DA AB，EBAB，FCAB，且 DABC，EB AC，FCA
2、B，AFB51，求DFC 的度数. F E D A B C N M P BD E A FC D E B C A F A B D E F C 做最适合你的数学培训 2 _ 肖老师数学培优 2 4、如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作一条直线分别与 AB、CD 交于点 M、N，点 E、F 在直线 M、N 上，且 OEOF. 图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来； 求证：MAENCF 5、在ABC 中，高所在直线 AD 和 BE 交于 H 点，且 BHAC，则ABC_. 6、下列三个判断： 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； 有两
3、边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； 一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等. 上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例. 全等三角形的应用全等三角形的应用 全等三角形常用来转移线段和角， 用它来证明： 线段和角的等量关系线段和角的和差倍分关系 直线与直线的平行或垂直等位置关系 1、如图，已知 BD、CE 分别是ABC 的边 AC 和 AB 上的高，点 P 在 BD 的延长线上， BPAC， 点 Q 在 CE 上， CQAB.试判断 AP 与 AQ 的关系， 并证明. 2、如图，AD 是ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F，且 BFAC，FD
4、CD， 求证：BEAC D E A B C P Q F D E A B C N M O B A C D E F 做最适合你的数学培训 3 _ 肖老师数学培优 3 3、 （2012阜新中考）如图,在ABC 中,ABAC,ADAE,BACDAC 90. 当点 D 在 AC 上时,如图,线段 BD,CE 有怎样的数量和位置关系?证明 你猜想的结论. 将图中的ADE 绕点 A 顺时针旋转角(090) ，如图， 线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？问明理由. 4、在ABC 中，ABAC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合） ， 以 AD 为一边在 AD 的右侧作ADE，使 ADA
5、E，DAEBAC，连接 CE. 如图， 当点 D 在线段 BC 上时， 若BAC90， 则BCE_ 度. 设BAC，BCE a、如图，当点 D 在线段 BC 上移动时，之间有怎样的 数量关系？请说明理由. b、 当点 D 在直线 BC 上移动时， ， 之间有怎样的数量关系？ 请直接写出你的结论. 辅助线作法之连接法辅助线作法之连接法 在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截 长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等. 1、如图，ABC 的两条高 BD，CE 相交于点 P，且 PDPE. 证明ACAB P D E C A B
6、 E C A B D E C D B A A BC D E B A C D E 做最适合你的数学培训 4 _ 肖老师数学培优 4 2、已知 ABDE，BCEF，BE，AFCD 求证：ACDF 3、如图，AB 交 CD 于点 O，AD、CB 的延长线相交于点 E，且 OAOC，EA EC.AC 吗？点 O 在AEC 的平分线上吗？ 辅助线作法之倍长中线法辅助线作法之倍长中线法 在题目条件中含有中线的问题， 我们常用的辅助线就是将中线延长 一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角 形中去. 1、ABC 中，AB5，AC3，求中线 AD 的取值范围. 2、如图，在ABC 中，A
7、D 是BAC 的平分线，又是 BC 上的中线 求证：ABAC 3、 （2014襄阳初三模拟）在ABC 中，D 是边 BC 上的一点，且 CD AB，BADBDA，AE 是ABD 的中线. 求证AC2AE D A B C D A B C F D E B A C O A E C D B ED A BC 做最适合你的数学培训 5 _ 肖老师数学培优 5 4、 （竞赛 014）ABC 中，D 为 BC 的中点，DEDF 交 AB，AC 于点 E，F. 求证：BECFEF 6、 （竞赛 015）例：已知 AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 AEEF. 求证:ACBF
8、 辅助线作法之截长补短法辅助线作法之截长补短法 截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条， 再证明剩余部分与另一条相等. 补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新 线段与第三条线段相等. 1、已知 ACBD，EA，EB 分别平分CAB 和DBA，点 E 在 CD 上. 求证：ABACBD 2、在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于点 E，且 AE（ABAD）. 求证BD180 3、如图，已知ABC 中，A90，ABAC，D 为 AC 的中点，AE BD 于 E，延长 AE 交 BC 于 F. 求证：ADBCDF E C AB D E F D A B
9、C F A B C E D F D A B C E 做最适合你的数学培训 6 _ 肖老师数学培优 6 4、如图，C90，ACBC，AD 是BAC 的角平分线. 求证ACCDAB 12、如图，已知 ABCDAEBCDE2，ABCAED90，求五 边形 ABCDE 的面积. 辅助线作法之辅助线作法之利用特殊条件利用特殊条件构造全等三角形构造全等三角形 2、 （2012 “华罗庚杯” ）如图，在ABC 中，AC AB，AD 平分BAC， 且 ADBD 求证：CDAC 全等三角形在动态几何中的运用全等三角形在动态几何中的运用 1、(竞赛0143)如图，ABC 的边 BC 在直线 l 上，ACBC，且
10、ACBC.EFP 的边 FP 也在 直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EFFP. 在图中,请你通过观察、测量、猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系; 将EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时,EP 交 AC 于点 Q,连接 AP,BQ.猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想; 将EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时,EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q,连接 AP,BQ. 你认为中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明 理由. D A BC B D A C A B E C D Q
11、 PF E BC A l l Q P F E B A C l P (F) (E) B C A 做最适合你的数学培训 7 _ 肖老师数学培优 7 探究角平分线探究角平分线 一、知识清单 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做 这个角的角平分线. 三角形的角平分线定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交， 连结这个角的顶点和 与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）. 由定义可知，三角形的角 平分线是一条线段. 角平分线性质: 1、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 2、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半.
12、3、三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为内心. 二、方法点拨 证明角平分线有两种方法:一是运用定义证明两个角相等;二是运用角平分线的判定方法. 三、规律清单 遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图 1). 遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题(图 2). 有两条角平分线(内角或外角)交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个 内角或外角(图 3). 有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题(图 4). 遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角(图 5). 遇到有多条角平分线时,可尝
13、试用整体的思想解题(图 6). 有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴（如图 7）. 角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个(如图 8）. 图3 D D D A B C A B B C A C 图1 F D B G E C A 图2 D B A C 做最适合你的数学培训 8 _ 肖老师数学培优 8 四、真题训练 1、(2011鄂州竞赛018 重庆中考）如图，ABC 的外角 ACD 的平分线 CP 与内角ABC 的平分线 BP 相交于点 P， 若BPC40， 则CAP_. 2、(竞赛019)如图，BC90，M 是 BC 的中点，DM 平
14、分ADC. 求证:AM 平分DAB 3、(竞赛019)如图,在ABC 中,BAC90,ABAC,BE 平分 ABC,CEBE. 求证:CE1 2 BD 图4 E F D F E D A B C C B A 图5 D E F A C B 1 2 3 1 2 图6 1290 B 12390 DD C B A B C A P 图7 F D E C C A D B 图8 FE A B D C P A B D C M BA CD D E C A B 做最适合你的数学培训 9 _ 肖老师数学培优 9 4、如图，在ABC 中，AD 平分BAC，BDCD 求证：BC 5、如图，在 RtABC 中，C90，AC
15、BC，AD 是BAC 的平分线，交 BC 于 D，DEAB 于 E，若 AB10cm，则DBE 的周长是多少？ 6、 （2011，恩施中考）AD 是ABC 的角平分线，DFAB，垂足 为 F，DEDG，ADG 和AED 的面积分别为 50 和 39，则EDF 的面 积为多少？ 7、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DF AC 于 F. 求证：BECF 8、在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且EDFBAF180 求证：DEDF 如果把最后一个条件改为 AEAF，且AEDAFD180，那么结论还成立吗？ 9、如图
16、，已知 ABAC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE 与 CF 交于点 D 求证：点 D 在BAC 的平分线上. E D A C B G F D A B C E F E D G B A C F D A B C E D F E A C B D BC A 做最适合你的数学培训 10 _ 肖老师数学培优 10 10、如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分BAD，ABAD，下列结论正 确的是( ) A.ABADCBCD B.ABADCBCD C.ABADCBCD D.ABCD 与 CBCD 的大小关系不确定 11、 （竞赛 014）如图，已知ABC 中，B60，BAC，BCA 的 平分
17、线 AD，CE 相交于点 O. 求证：DCAEAC 12、(竞赛019)如图，已知ABC，P 为内角平分线 AD、BE、CF 的 交点，过点 P 作 PGBC 于 G 点。试说明BPD 与CPG 的大小关系，并说 明理由。 应用线段垂直平分线的性质和判定解题应用线段垂直平分线的性质和判定解题 一、知识清单 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A B D C O E D B A C G P E F D A B C
