1、 1 辽宁省本溪市 2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文 考试时间： 120分钟 满分： 150分 说明： 1.考试前，考生务必按要求在答题卡和答题纸上正确填涂考生信息； 2.第 I卷为选择题，请用 2B铅笔将答案涂在答题卡上，写在试卷上的答案无效； 3.第 II 卷为主观题，请用黑色字迹钢笔或签字笔书写在答题纸指定区域，写在试卷上的答案无效； 4.考试结束后，请交回答题卡和答题纸。 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，共 60 分。） 1.已知复数 z 满足 2z i i? ? ? ，则 z? （ ） A. 12i? B.12i? C. 12i
2、? D. 12i? 2.命题“ ? xZ? ，使 2 20x x m? ? ? ”的否定是（ ） A ? xZ? ，使 2 20x x m? ? ? B Zx? ，使 2 20x x m? ? ? C Zx? ，都有 2 20x x m? ? ? D Zx? ，都有 2 20x x m? ? ? 3.已知平面向量 a ,b 满足 ? ? 5a a b? ? ? ，且 2a? , 1b? ,则向量 a 与 b 夹角的正切值为（ ） A.33B.3 C. 3? D. 33?4 已知sin 2cos?，则sin( 2 )2? ?（ ） A 35?B 45?C3D455已知 ?na 为等差数列， 99
3、,105 642531 ? aaaaaa .以 nS 表示 ?na 的前 n项和，则使得 nS 达到最大值的 n是（ ） A 18 B 19 C 20 D 21 6.若抛物线 xy 42? 上一点 P 到 x 轴的距离为 32 ，则点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 2 7.已知向量 ),( yxa? ，若实数 x ， y 满足 5003xyxyx? ? ?， 则 a? 的最大值是 （ ） A. 43 B.32 C.522 D. 73 8设 P在双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?上， F1， F2 是该双曲线的两个焦点， F1P
4、F2=90，且 F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 9.己知 60 ?x是函数 ( ) sin(2 )f x x ?的一个极小值点，则 ()fx的一个单调递减区间是（ ） A ? 3465 ?，B ? 653 ?，C ? ?，2D ? ?，3210.设 0, 0ab?，若 3 是 33ab与 的等比中项，则 11ab? 的最小值为（ ） A.14 B.1 C. 4 D. 8 11. 知l是双曲线22:124xyC ?的一条渐近线， P是l上的一点，12,FF是C的两个焦点，若0PF PF?，则 P到x轴的距离为 （ ） A. 233B.
5、 2C. D. 26312.设定义在 R上的偶函数 ()y f x? 满足：对任意 xR? ，都有 ( ) (2 )f x f x?， ? ?0,1x?时 ()xxfxe?，若 2 0 1 5 2 0 1 6,35a f b f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 20177cf? ?，则 a b c、 、 三者的大小关系是 （ ） A. cba ? B. cab ? C. abc ? D. bca ? 第 II卷 （非选择题 90分） 二、 填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。） 3 13.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标
6、方程为22(1 3sin ) 4?， 则曲线 C 的普通方程为 _. 14.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，则 4S ， 84SS? ， 12 8SS? ， 16 12SS? 成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb 的前 n 项积为 nT ，则 4T ,_,_ 1612TT 成等比数列 15.1F 是椭圆 22195xy?的左焦点， P 是椭圆上的动点， (1,1)A 为定点，则 1PA PF? 的最小值是 。 16.在 ABC? 中， D是 BC 的 中 点，已 知90BA D C? ? ? ?，则 ABC? 的 形状是 三、 解答题：（本大题共 6小题，共 70分。） 17
7、.（本小题满分 10分） 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，满足 (2 ) cos cosb c A a C? （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 2, 4a b c? ? ? ，求 ABC? 的面积 18. （本小题满分 12 分） 某中学将 100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班 50人陈老师采用 A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于 90分者为 “成绩优秀”。 （ 1）从乙班样本的 20 个个体中，从不低于 8
8、6 分的成绩中随机抽取 2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率； 4 （ 2）由以上统计数据填写下面 2x2列联表，并判断是否有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关 22 ()( )( )( )( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ? P（ K2 k） 0.25 0.15 0.05 0.025 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 19.（本小题满分 12分） 已知数列 ?na ，其前 n 项和为 nS ， 若 函数 xxy 22? 在 nax? 处的切线斜率为 nS ，数列?nb ， 满足点 ? ? ?Nnbn n, 在直
9、线 xy? 上。 （ 1） 分别求 ?na ， ?nb 的通项公 式； （ 2） 求数列 ? ?nnba 的前 n 项和 nT . 20. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 E ABCD? 中， AE DE? ， CD? 平面 ADE , AB? 平面 ADE ， 6CD DA?， 2AB? ， 3DE? . （ 1） 求证： 平面 ACE ? 平面 CDE ； （ 2）在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 /AF 平面 BCE ？若存在 , 求出 EFED的值 ； 若不存在，说明理由 . 甲班（ A 方式） 乙班（ B方式） 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 5 21. （本小题满
10、分 12 分） 已知椭圆 ? ?01:2222 ? babyaxC 的短轴长为 2，离心率为 36 （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2）设过定点 )2,0(T 的直线 l 与 (1)中的椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ，且 AOB? 为锐角 ,求 直线 l 的斜率 k 的取值范围 22.（本小题满分 12分） 已知函数 ? ? ? ?2 2 1 lnf x x m x m x? ? ? ?. （ 1）当 1m?时 ,求曲线 ? ?y f x?的极值 ; （ 2）求函数 ?fx的单调区间 ; （ 3）若对任意 ? ?2,3m?及 ? ?1,3x?时 ,恒有 ? ? 1mt f x?成立
11、 ,求实数 t的取值范围； 6 试题答案 一、 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B A C A D D B C C B 二、 填空题： 13. 14 22 ?yx 14. 81248,TTTT 15. 26? 16.等腰或直角三角形 三、解答题： 17. （本小题满分 10 分） 解：（ 1）由 (2 ) cos cosb c A a C?及正弦定理，得 ( 2 s in s in ) c o s s in c o sB C A A C? 2 s in c o s s in c o s s in c o sB A C A A C? ? ? 2 s in
12、c o s s in ( ) s inB A C A B? ? ? ? (0, )B ? sin 0B? 1cos2A? (0, )A ? 3A ? 5分 (2)解：由（ I）得 3A ? ，由 余 弦定理得 2 2 2 24 2 c o s 3b c b c b c b c? ? ? ? ? ? 2( ) 3 4 , 4b c b c b c? ? ? ? ? ? 4bc? 所以 ABC? 的面积为 1 1 3s in 4 32 2 2ABCS b c A? ? ? ? ? ? 10 分 18. （本小题满分 12 分） 解：（ 1）设 “ 抽出的两个均 “ 成绩优秀 ”“ 为事件 A 从不
13、低于 86 分的成绩中随机抽取 2个的基本事件为（ 86， 93），（ 86， 96），（ 86， 97），（ 86，99）（ 86， 99），（ 93， 96），（ 93， 97），（ 93， 99），（ 93， 99），（ 96， 97），（ 96， 99），（ 96，99），（ 97， 99），（ 97， 99），（ 99， 99），共 15个， ? （ 4分） 7 而事件 A包含基本事件：（ 93， 96），（ 93， 97），（ 93， 99），（ 93， 99），（ 96， 97），（ 96， 99），（ 96， 99），（ 97， 99），（ 97， 99），（ 99， 99），
14、共 10个 所以所求概率为 P（ A） = = ? ? 6分 根据 22 列联表中数据， K2= 3.137 2.706 所以有 90%的把握认为 “ 成绩优秀 ” 与教学方式有关 ? 12分 19. （本小题满分 12分 ） 解： （ 1） xxy 22 ? ， 22 ? xy nn Sa ? 22 ? ?222 11 ? ? nSa nn ? ?22 1 ? ? naa nn 当 21 1 ? an 时， ， ? ? 为公比的等比数列为首项，是以 221 ? aa n 。 ? ? Nna nn 2 ,由条件知 ? ? nbb nn ?是等差数列， ? 6分 （ 2） nnnn nbac 2
15、?令 （利用错位相减法求和） ? ? 221 1 ? ?nn nT ? 12 20 （本小题满分 12分） （ 1）证明：因为 CD? 平面 ADE ， AE? 平面 ADE ， 所以 CD AE? . 又因为 AE DE? ， CD DE D? , 所 以 AE? 平面 CDE . 又因为 AE? 平面 ACE ，所以平面 ACE ? 平面 CDE . ? 6分 （ 2）结论：在线段 DE 上存在一点 F ,且 13EFED?，使 /AF 平面 BCE . 甲班（ A 方式） 乙班（ B方式） 总计 成绩优秀 1 5 6 成绩不优秀 19 15 34 总计 20 20 40 8 解：设 F
16、为线段 DE 上一点 , 且 13EFED?， 过点 F 作 /FM CD 交 CE 于 M ，则 1=3FM CD. 因为 CD? 平面 ADE , AB? 平面 ADE ， 所以 /CDAB . 又因为 3CD AB? ，所以 MF AB? ， /FMAB , 所以四边形 ABMF 是平行四边形，则 /AF BM . 又因 为 AF? 平面 BCE ， BM? 平面 BCE ， 所以 /AF 平面 BCE . ? 12 分 21.（本小题满分 12分 ） 解：（）由已知得 2b=2, 36?ac ,解得 a=3,b=1 ?椭圆 C的方程为 13 22 ?yx .3分 （）直线 l 方程为 2?kxy ，将其代入 13 22 ?yx ， 化简得 0912)31( 22 ? kxxk ， 设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 0)31(36)12( 22 ? kk ， 12?k ， 且221221 31 9,31 12 kxxkkxxx ?， ? 6分 AOB? 为锐角， 0? OBOA ， ? 7分 即 02121 ? yyxx ， ? 0)2)(2( 2121 ? kxkxxx ， 04)(2)1( 21212 ? xxkxxk 将221221 31 9,31 12 kxxkkxxx ?代入上式， 化简得 031 31322
