1、 - 1 - 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设命题 : 0, ln 0p x x x? ? ? ?，则 p? 为 （ ） A 0, ln 0x x x? ? ? ? B 0, ln 0x x x? ? ? ? C 0 0 00, ln 0x x x? ? ? ? D 0 0 00, ln 0x x x? ? ? ? 2.设等 差 数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 已知 1 1329aa? ? ， 则 9
2、S? （ ） A 27? B 27 C 54? D 54 3.若 ,ab R? ， 则“ 11ab?” 是 “330ab ?” 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 双曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?的一条渐近线方程为 20xy?，则该双曲线的离心率是（ ） A 52B 2 C 72D 5 5.直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 90BCA? ? ? ,MN分别是 1 1 1 1,AB AC 的中点 ， 1BC CA CC?， 则BM 与 AN 所成角的余弦值为 （ ） A 3010B 25C
3、 110D 226.已知等比数列 ?na 中， 2 2a? ， 则其 前三项的和 3S 的 取值 范围是 （ ） A ? ?,2? B ? ? ? ?,0 1,? ? ? C ? ?6,? D ? ? ? ?, 2 6,? ? ? ? 7.已知 变量 ,xy满足约束条件 04xyxyym?， 若目标函数 2z x y? 的最小值为 2，则 m? （ ） A 2 B 1 C 23D 2? 8.60? 的二面角的棱上有 ,AB两点，直线 ,ACBD 分别在这个二面角的两个 半 平面内，且都垂直于 AB ，已知 4 6 8AB AC BD?， ， 则 CD 的长为 （ ） - 2 - A 17 B
4、217 C 41 D 241 9.已知不等式 222xy ax y?对任意 ? ? ? ?1,2 , 4,5xy?恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ） A ? ?1,? B ? ?6,? ? C ? ?28,? ? D ? ?45,? ? 10.设椭圆 22:142xyC ?与函数 3yx? 的图象相交于 ,AB两点，点 P 为椭圆 C 上异于 ,AB的动点，若直线 PA 的斜率取值范围是 ? ?3, 1? ，则 直线 PB 的斜率取值范围是 （ ） A ? ?6, 2? B ? ?2,6 C 11,26?D 11,62?11.设数列 ?na 的前 n 项和 nS ， 若 2222 312
5、2 2 2 2 441 2 3 naaaa nn? ? ? ? ? ?，且 0na ? ，则 100S 等于 （ ） A 5048 B 5050 C 10098 D 10100 12.已知双曲线 ? ?22: 1 0, 0yx abab? ? ? ? ?的上焦点为 ? ? ?0, 0F c c? ， M 是双曲线下支上的 一点，线段 MF 与圆 222 2 039cax y y? ? ? ?相切于点 D ， 且 3MF DF? ， 则双曲线 ? 的渐近线方程为 （ ） A 20xy? B 20xy? C 40xy? D 40xy? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20
6、分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题 2: 2 3 0p x x? ? ? ， 命题 :qx a? ， 若 p? 是 q? 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 14.已知正项等比数列 ?na 的公比为 2， 若 224mna a a? ， 则 212mn?的最小值等于 15.已知 M 是抛物线 2 4xy? 上 一点， F 为其焦点，点 A 在圆 ? ? ? ?22: 1 6 1C x y? ? ? ?上，则MA MF? 的最小值是 16.如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中 ，1,12B A C A B A C A A? ? ? ? ?， 已知 G 与 E 分别是棱1
7、1AB 和 1CC 的中点， D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点（不包括端点 ） .若 GD EF? ， 则线段 DF 的长度的取值范围是 - 3 - 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已 知 数 列 ?na 是 等 比 数 列 ， 首 项 1 1a? ， 公比 0q? ， 其前 n 项和为 nS ， 且1 1 3 3 2 2,S a S a S a? ? ?成等差数列 . （ 1） 求数列 ?na 的通项公式； （ 2） 若数列 ?nb 满足n nnb a?， 求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 18.
8、在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， 11, 2AB BC AA? ? ?， E 为 1BB 中点 . （ 1） 证明： 1AC DE? ； （ 2）求 DE 与平面 1ADE 所成角的正弦值 . 19.已知数列 ?na 满足111, 2nn naaa a?， ? ? ? ?*111 1,n nb n n N ba? ? ? ? ? ? ?. - 4 - （ 1） 求证：数列 1 1na?是等比数列 ； （ 2） 若数列 ?nb 是单调递增数列，求实数 ? 的取值范围 . 20.如图，四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD?
9、 平面 ABCD ,E 为 PD 中点， 2AD? . （ 1） 求证：平面 AEC? 平面 PCD ； （ 2）若二面角 A PC E?的平面角大小 ? 满足 2cos4?， 求 四棱锥 P ABCD? 的体积 . 21.已知过抛物线 ? ?2: 2 0E y px p?的焦点 F ， 斜率为 2 的直线交抛物线于? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2, , ,A x y B x y x x? 两点，且 6AB? . （ 1） 求该抛物线 E 的方程； （ 2） 过点 F 任意作互相垂直的两条直线 12,ll，分别交曲线 E 于点 ,CD和 ,MN.设线段 ,CDMN的中点分别为 ,PQ，
10、 求证：直线 PQ 恒过一个定点 . 22.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 ? ?2 2: 1 16C x y? ? ?， 点 ? ?1,0A ， 点? ? ?,0 3B a a ? ，以 B 为圆心， BA 为半径作圆，交圆 C 于点 P ，且 PBA? 的平分线交线段 CP于点 Q . - 5 - （ 1） 当 a 变化时，点 Q 始终在某圆锥曲线 ? 上运动，求曲线 ? 的方程； （ 2） 已知直线 l 过点 C ， 且与曲线 ? 交于 ,MN两点，记 OCM? 面积为 1S ， OCN? 面积为 2S ，求 12SS 的取值范围 . 试卷答案 - 6 - 一、选择题 1-5
11、: DACAA 6-10: DCBBD 11、 12： CB 二、填空题 13.? ?1,? 14. 3415. 6 16. 5,15? ?三、解答题 17.解： （ 1） 因为 1 1 3 3 2 2,S a S a S a? ? ?成等差 数列， 所以 ? ? ? ? ? ?3 3 1 1 2 22 S a S a S a? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?3 1 3 2 3 1 22S S S S a a a? ? ? ? ? ?， 所以 314aa? ， 因 为数列 ?na 是等 比 数列，所以 23114a qa ? ， 又 0q? ， 所以 12q?， 所以数列 ?na 的通
12、项公式 112nna?. （ 2） 由 （ 1） 知 12nnbn? ， 0 1 2 11 2 2 2 3 2 2 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?1 2 12 1 2 2 2 1 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ?0 1 2 11 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2nnnT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 12 2 2 2 2nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2 112 n nnnn? ? ? ? ? ? ? . 故 ? ?
13、1 2 1nnTn? ? ? ?. 18. （ 1） 证明：连接 BD 1 1 1 1ABCD ABC D? 是长方体 ， 1DD? 平面 ABCD 又 AC? 平面 ABCD ， 1DD AC? 在长方形 ABCD 中， AB BC? , BD AC? 又 1BD DD D?, AC? 平面 11BBDD - 7 - 而 1DE? 平面 11BBDD , 1AC DE? （ 2） 如图，以 D 为坐标原点，以 1,DADC DD 所在的直线为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系，则 ? ? ? ? ? ? ? ?11, 0 , 0 , 0 0 2 1,1,1 , 1,1, 0A D E B， ，
14、 ,， ? ? ? ? ? ?10 ,1 ,1 , 1 , 0 , 2 , 1 ,1 ,1A E A D D E? ? ? ? 设平面 1ADE 的法向量为 ? ?,n x y z? ，则 200xzyz? ? ? ? 令 1z? ，则 ? ?2, 1,1n? 2 1 1 2co s ,336n D E ?所以 DE 与平面 1ADE 所成角的正弦值为 23. 19.解（ 1）因为数列 ?na 满足 ? ?*1 2nnnaa n Na? ? ， 所以1121nnaa? ?， 即1121 2 1nnaa? ? ?， 又 1 1a? ， 所以11 1 2 01a ? ? ? ， 所以数列 1 1n
15、a?是以 2 为首项 ，公比为 2 的等比数列 . （ 2）由（ 1）可得11 121 na ? ， 所以 ? ? ? ? ? ?1111 1 1 2 2nnnb n n na? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 1b ? 符合，所以 ? ? ? ?1*12nnb n n N? ? ? ? ? ?. - 8 - 因为数列 ?nb 是单调递增数列 ， 所以 1nnbb? ? ， 即 ? ? ? ? 12 1 2nnnn? ? ? ? ? ? ?， 化为 1n?， 所以 2? . 20.证明： （ 1） 取 AD 中 点 为 O ,BC 中点为 F , 由 侧面 PAD 为正三角形， 且 平
16、面 PAD? 平面 ABCD ，得 PO? 平面 ABCD ,故 FO PO? , 又 FO AD? ,则 FO? 平面 PAD , FO AE? , 又 /CD FO ,则 CD AE? , 又 E 是 PD 中点，则 AE PD? , 由线面垂直的判定定理知 AE? 平面 PCD . 又 AE? 平面 AEC , 故 平面 AEC? 平面 PCD . （ 2） 如图，以 O 为坐标原点，以 ,OAOFOP 所在的直线为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系，则 令 AB a? ， 则 ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 3 , 1, 0 , 0 , 1, , 0P A C a? 由 （ 1）知
17、 33,0,22EA ?为平面 PCE 的法 向量， 令 ? ?,n x y z? 为平面 PAC 的法向量 ， 由于 ? ? ? ?1, 0 , 3 , 2 , , 0P A C A a? ? ? ?， 故 00n PAn CA? ?即 1 3 0,2 0,zay? ? ?解得2,3,3y az? ? ?故 231, ,3n a?， 由212c o s44433E A nE A na? ? ? ?， 解得 3a? . 故四棱锥 P ABCD? 的体积 11 2 3 3 233A B C DV S P O? ? ? ? ? ?. 21.解：（ 1）抛 物线的焦点 ,02pF?， 直线 AB 的
18、方程为 ： 22pyx?- 9 - 联立方程组 2 22 2y pxpyx? ? ?， 消元得 ： 22 204px px? ? ?， 21 2 1 22, 4px x p x x? ? ? ? ? 2 221 2 1 21 2 4 3 4 6A B x x x x p p? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 2p? . 0p? ，抛物线 E 的方程为 ： 2 4yx? . （ 2） 设 ,CD两点坐标分别为 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,x y x y ，则点 P 的坐标为 1 2 1 2,22x x y y?. 由题意可设直线 1l 的方程为 ? ? ?10y k x k? ?
19、?. 由 ? ?2 41yxy k x? ? ?， 得 ? ?2 2 2 22 4 0k x k x k? ? ? ?. ? ?2 4 22 4 4 1 6 1 6 0k k k? ? ? ? ? ? ? 因为直线 1l 与曲线 E 于 ,CD两点，所以 ? ?1 2 1 2 1 22442 , 2x x y y k x xkk? ? ? ? ? ? ? ?. 所以点 P 的坐标为2221,kk?. 由题知，直线 2l 的斜率为 1k?，同理可得点 Q 的坐标为 ? ?21 2 , 2kk?. 当 1k? 时 ， 有 2221 1 2kk? ? ?， 此时直线 PQ 的斜率2222 22 11 1 2PQk kkkkkk
