1、 1 宁波市九校联考高二数学试题 选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 集合 A=x|-1 x3= -1， 3， B=x|x2-3x+2b” 不能推出 “ a 1b” ，故选项 A 不是 “ ab” 的必要条件，不满足题意； “ ab” 能推出 “ a+1b” ，但 “ a+1b” 不能推出 “ ab” ，故满足题意； 2 “ ab” 不能推出 “| a|b|” ，故选项 C不是 “ ab” 的必要条件， 不满足题意； “ ab” 能推出 “
2、a3b3” ，且 “ a3b3” 能推出 “ ab” ，故是充要条件，不满足题意； 本题选择 B选项 . 点睛： 有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项 “ 推 ” 题干，还是题干“ 推 ” 选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论 5. 已知函数 ，则 的图像大致为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由于 ，排除 .由于 ，排除 .由于 ，故函数在 为减函数，排除 .所以选 . 点睛 :本题主 要考查函数图像的判断 .一般采用特殊值的方法利用选项中图像的特殊性，对进行赋值，然后利用相应函数值来排除错误的选项 .本题还可以利用导数来判断，利用导数，可求得
3、原函数的导数为 ，故当 ，函数单调递增，当 时，函数单调递减 . 6. 从 这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据题意，从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9中任取四个数，使其和为偶数需要分 3种情况讨论： 当取出的 4个数都是奇数 ,有 种情 况， 3 当取出的 4个数有 2 个奇数、 2个偶数 ,有 种情况， 当取出的 4个数都是偶数 ,当取出的数字没有奇数有 种情况， 根据分类计数原理总共有 5+60+1=66种取法； 本题选择 D选项 . 7. 已知 的大小关系为（ ） A. B. C.
4、D. 的大小关系不确定，与 的取值有关 【答案】 C 【解析】 1a?10， m=ab?1aa?1n=ba?1，则 mn， 本题选择 C选项 . 8. 已知下列各式： ； ； ； .其中存在函数 对任意的 都成立 的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 f(|x|+1)=x2+1,由 t=|x|+1(t?1),可得 |x|=t?1,则 f(t)=(t?1)2+1， 即有 f(x)=(x?1)2+1对 x R均成立； ， 对 00)，由 y=log2x,y=ax+b在 (0,+) 递增， 可得 f(x)在 (0,+) 递增， 由对任意的 x t,t+2(t0)都有 |f(x
5、)|?1+a， 可得 ?1?a?f(x)?1+a恒成立， 即有 ?1?a?f(x)min=f(t)=log2t+at+b， 1+a?f(x)max=log2(t+2)+a(t+2)+b， 即为 ?1?a?log2(t+2)?a(t+2)?b， + 可得 ?2?2a?log2t+at+b?log2(t+2)?a(t+2)?b， 化为 ，解得 ，解得 ，则 t的最小值为 ， 本题选择 D选项 . 10. 定义在 上的可导函数 满足 ,当 时 实数 满足,则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 令 g(x)=f(x)?x3， 则 g(?x)=f(?x)?x3， 则 g
6、(x)?g(?x)=f(x)?f(?x)?2x3=0,得 g(x)为 R上的偶函数， x2,且 b2时 ,f(x)=ax+2a+1 递减， 可得 2a+11时 ,x?2时 ,f(x)=4?x?2， x2时 ,f(x)=ax+2a+1 递增， 可得 f(x)a2+2a+14， 则 f(x)的值域为 2,+) 成立， a1恒成立。 综上可得 a,1)(1,+). 6 14. 函数 的奇偶性为 _,在 上的增减性为 _(填 “ 单调递增 ” 、 “ 单调递减 ” 或 “ 有增有减 ” ） . 【答案】 (1). 奇 (2). 单调递增 【解析】 函数 f(x)=x3?2x+ex?e?x, 它的定义域
7、为 R,且满足 f(?x)=?x3+x+e?x?ex=?f(x),故函数 f(x)为奇函数。 由于函数的导数 f( x)=3x2?2+(ex+e?x)?3x2?2+2=3x2?0，故函数在 R上单调递增 . 15. 小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制， 5人坐成一排 .若小 明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 _. 【答案】 84 【解析】 根据题意，分 3种情况讨论： 若小明的父母的只有 1人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻 ,有 种情况， 将小明与选出的家长看成一个整体 ,考虑其顺序有 种情况， 当父母不相邻时 ,需要将爷爷奶奶进行
8、全排列 ,将整体与另一个家长安排在空位中 ,有种安排方法， 此时有 2212=48 种不同坐法； 若小明的父母的只有 1人与小明相邻且父母相邻时， 将父母及小明看成一个整体， 小明在一端，有 2种情况，考虑父母之间的顺序，有 2种情况，则这个整体内部有 22=4种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列 ,有 种情况， 此时有 226=24 种不同坐法； 7 小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将 3人看成一个整体 ,考虑父母的顺序 ,有 种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列 ,有 种情况， 此时，共有 26=12 种不同坐法； 则一共有 48+24+12=84 种不同坐法
9、. 16. 已知 的最小值为，则实数 _. 【答案】 【解析】 ， 当且仅当 ，即 x=1 时，上式等号成立。 由 4?2a=,解得 a=. 17. 已知函数 在区间 上有零点 ，则 的最大值是 _. 【答案】 【解析】 由 得 ， （当且仅当 a=-x0-a即 x0=-2a时取等号） ， 令 ，则 ， g（ x0）在（ 0， ） 上单调递增，在（ ， ）上单调递减，在（ ， 1）上单调递增， 又 g（） = ， g（ 1） =-+= ， g（ x0）的最大值为 8 的最大值为 = 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18. 已知 ， . (
10、) 求 ； () 猜想 与 的关系，并用数学归纳法证明 . 【答案】 () ; () 详见解析 . 【解析】 试题分析： () 由题意可求得 ； () 结合 (I)的结论猜想 （ ），然后用数学归纳法进行证明即可 . 试题解析： () ； ( )猜想： （ ） 证明： (1)当 时， ； （ 2）假设当 时， ， 即 ， 则当 时 = = = . 即 时也成立 , 由（ 1）（ 2）可知 ， 成立 19. () 已知 ，其中 .9 （ i）求 ；（ ii）求 . ()20 17年 5月 ,北京召开 “ 一带一路 ” 国际合作高峰论坛 .组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪
11、、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位 . （ i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？ （ ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？ 【答案】 () ,15360； () ,114. 【解析】 试题分析： () 由二项式定理的性质赋值即可求得所求的值； () 结合排列组合的性质结合题意求解不同的方案种数即可 . 试题解析： () （ i）令 则 . (ii)令 得 () （ i） (ii) 20. 已知 ,函数 满足 () 求 的解析式 ,并写出 的定义域； () 若 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围 . 【答案
12、】 () 定义域为 ; () 【解析】 试题分析： () 配凑可得函数的解析式为 定义域为； () 由题意得到关于实数 a的不等式组，求解不等式组可得实数 的取值范围是10 () 试题解析： () 令 则 则 即 定义域为 () 在 上的值域为 等价于 在区间 上的值域为 由图可得 解得 21. 已知函数 . () 证明 : 当 时 , . () 证明 : 当 时 , . 【答案】 (1)详见解析； () 详见解析 . 【解析】 试题分析： () 由不等式的特征构造函数 ,结合函数的单调性求得函数的最大值，据此即可证得题中的结论： . () 结合 (I)的结论构造函数 ,研究该函数的性质即可证得当 时 , . 试题解析： () 证明 : 要证 , 也即证 . 令 , 则 . 令 , 则 . 因此 , 当 时 ,
