1、 - 1 - 2016-2017 学年下期期末联考 高二理科数学试题 本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 ,满分 150分 ,考试时间 120分钟 . 第 I卷 (共 60 分 ) 一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,满分 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ) 1. 对两个变量和进行回归分析 ,得到一组样本数据 : ,? ,则下列说法中不正确的是 ( ) A. 由样本数据得到的回归方程 必过样本中心 B. 残差平方和越小的模型 ,拟合的效果越好 C. 若变量和之间的相关系数为 ,则变量和之间 具有线性相关关系 D. 用相关指
2、数 来刻画回归效果 , 越小 ,说明模型的拟合效果越好 【答案】 D 【解析】逐一分析所给的各个选项： A. 由样本数据得到的回归方程 必过样本中心 B. 残差平方和越小的模型 ,拟合的效果越好 C. 若变量和之间的相关系数为 ,则变量和之间具有线性相关关系 D. 用相关指数 来刻画回归效果 , 越大 ,说明模型的拟合效果越好，该说法错误 . 本题选择 D选项 . 2. 若复数满足 ,则的虚部是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意可得： ， 则： ， 即的虚部是 . 本题选择 B选项 . - 2 - 3. 若 ,则 , ,已知,则 ( ) A. B. C. D. 【答
3、案】 C 【解析】正态分布 关于 y轴对称，且 ，则： . 本题选择 C选项 . 点睛： 关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 熟记 P( X )， P( 2 X 2 )， P( 3 X 3 )的值 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x轴之间面积为 1. 4. 命题 “ 有些有理数是无限循环小数 ,整数是有理数 ,所以整数是无限循环小 数 ” 是假命题 ,推理错误的原因是 ( ) A. 使用了 “ 三段论 ”, 但大前提错误 B. 使用了 “ 三段论 ”, 但小前提错误 C. 使用了归纳推理 D. 使用了类比推理 【答案】 A 【解析】很明显有理数是整数、有限小数或无限循环小数，据此可得：
4、该推理使用了 “ 三段论 ”, 但大前提错误 . 本题选择 A选项 . 5. 被 除所得的余数是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由二项式定理展开得 8 83+6 被 49 除所得的余数是 0. 本题选择 B选项 . 点睛： 用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数 (或与余数密切相关联的数 )与某数- 3 - 的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围， a cr b，其中余数 b60 所以 n11 所以当 n=10时 ,一共有 55个 所以接下去 n=11时 ,是 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 所以第 60项为 7. 12.
5、 已知函数 ,令 ,若 在定义域内有两个不同的极值点 ,则的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意知 ,函数 h(x)的定义 域为 (0,+) ， 方程 f( x)=0在 (0,+) 有两个不同根； 即方程 lnx?ax=0在 (0,+) 有两个不同根； 转化为函数 y=lnx与函数 y=ax的图象在 (0,+) 上有两个不同交点， 如图。 可见，若令过原点且切于函数 y=lnx图象的直线斜率为 k，只须 0ak. 令切点 A(x0,lnx0)， 故 ,又 ， 故 ,解得 ,x0=e， 故 ， 则的取值范围为 . 本题选择 A选项 . - 4 - 第 卷 (共
6、 90 分 ) 本卷包括必考题和选考题两部分 .第 13题 21题为必考题 ,每个试题考生都必须作答 ,第22题 23题为选考题 ,考生根据要求作答 . 二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每小题 5分 ,共 20分 .把答案填在题中横线上 ) 13. 曲线 在 处的切线平行于直线 ,则点 坐标为 _. 【答案】 【解析】设切点横坐标为，函数的导函数为： ， 由切线与导函数的关系可得： ， 而： ， 即点 坐标为 . 14. 已知 ,则 展开式中的系数为 _. 【答案】 【解析】由题意可得： ,则 展开式的通项公式为： ， 令 可得： , 则的系数为： . 15. 甲射击命中目标的概率 是 ,
7、乙射击命中目标的概率是 ,丙射击命中目标的概率是 .现在三人同时射击目标 ,则目标被击中的概率为 _. 【答案】 【解析】由题意可得，目标不被击中的概率为： ， 则目标被击中的概率为 . 点睛： 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算 二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A) 1 P()，即运用逆向思维 (正难则反 )，特别是 “ 至多 ” ， “ 至少 ” 型题目，用间接求法就显得较简便 16. 袋中有 个大小相同的球 ,其中标号为的有 个 ,标号为 的有个 .现从袋中- 5 -
8、 任取一球 ,表示所取球的标号 .若 ,则 的值为 _. 【答案】 【解析】根据题意得出随机变量 的分布列： 0 1 2 3 4 P ， ， ， 即 a=2， ， ， . 故答案为： 11. 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,满分 70分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 ) 17. 已知函数 ,用反证法证明方程 没有负数根 . 【答案】见解析 . 【解析】试题分析：假设命题的结论不成立，即反 面成立，即 f(x)=0，有负实数根，再推出方程两边不可能相等，矛盾。所以假设不成立，原命题成立。 试题解析：证明：设存在 ，满足 f() 0， 则 又 0 1，所以 0 1， 0 解之得：
9、 ， 与 x00(x0 1)假设矛盾 故 f(x) 0没有负实数根 18. 用 这六个数字 ,可以组成多少个满足下列条件的整数？ - 6 - () 可以组成多少个无重复数字的四位数？ () 可以组成多少个恰有两个相同数字的四位数？ 【答案】 () 个； () . 【解析】试题分析： () 由乘法 原理可得可以组成 300个无重复数字的四位数 () 分类讨论，数字 0重复和其他数字重复可得可以组成 600个恰有两个相同数字的四位数 . 试题解析： () 首位不能为 ,有种选法；再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置 , 有 种方法； 由分步乘法计数原理得可以组成的四位数有 个 . () 分
10、两种情况进行讨论； 第一种 :数字重复 : , 第二种 :其它数字重复 : 有时 : 个 , 无时 : 个 , 所以 ,共有 (个 ). 19. (本小题满分 12分 )某公司为了解广告投入对销售收益的影响 ,在若干地区各投入万元广告费用 ,并将各地的销售收益 (单位 :万元 )绘制成如图所示的频率分布直方图 .由于工作人员操作失误 ,横轴的数据丢失 ,但可以确定横轴是从开始计数的 . () 根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度； - 7 - () 该公司按照类似的研究方法 ,测得另外一些数据 ,并整理得到上表 :表中的数据显示与之间存在线性相关关系 ,求关于的回归方程； () 若广告投
11、入万元时 ,实际销售收益为 .万元 ,求残差 . 附 : 【答案】 () ； () ； () . 【解析】试题分析： () 利用面积和为 1可得宽度为 2； () 利用回归分析的方法 可求得回归方程为 ； () 利用 (II)中的结论求得，据此可得残差值为 . 试题解析： () 设各小长方形的宽度为 ,由频率直方图各小长方形的面积总和为 ,可知, 故 . () 由题意 ,可知 , , 根据公式 ,可求得 , 所以关于的回归方程为 . () 当 时 ,销售收益预测值 (万元 ),又实际销售收益为 万元 , 所以残差 . 点睛： 解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系这些数据中，
12、比较明显的有组距、，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系 ：小长方形面积组距 频率，小长方形面积之和等于 1，即频率之和等于 1，就可以解决直方图的有关问题 - 8 - 20. 社会公众人物的言行一定程度上影响着年轻人的人生观、价值观 .某媒体机构为了解大学生对影视、歌星以及著名主持人方面的新闻 (简称 :“ 星闻 ”) 的关注情况 ,随机调查了某大学的 位大学生 ,得到信息如下表 : () 从所抽取的 人内关注 “ 星闻 ” 的大学生中 ,再抽取三人做进一步调查 ,求这三人性别不全相同的概率； () 是否有 以上的把握认为 “ 关注 星闻 与性别有关 ”, 并说
13、明理由； () 把以上 的频率视为概率 ,若从该大学随机抽取位男大学生 ,设这人中关注 “ 星闻 ” 的人数为 ,求的分布列及数学期望 . 附 : . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】 () ； () 见解析； () 见解析 . 【解析】试题分析： () 利用对立事件可得这三人性别不全相同的概率为； () 利用公式求得 ，则有 以上的把握认为 “ 关注 星闻 与性别有关 ”. () 利用题意结合二项分布的公式求得分布列，然后计算可得数学期望为 . - 9 - 试题解析： () 由已知 ,知所求概率 ( )由于 故有 以上的把握认为 “ 关注 星
14、闻 与性别有关 ”. () 由题意 ,可得任意一名男大学生关注 “ 星闻 ” 的概率为 ,不关注 “ 星闻 ” 的概率为 . 所有可能取值为 . ； ； ； . 的分布列为 因为 ,所以 . 21. 已知 . () 求函数 的最小值； () 求证 :对一切 ,都有 成立 . 【答案】 (I) . （ ）见解析 . 【解析】试题分析： () 由导函数与原函数的关系可得函数 的最小值为 . () 利用题意构造新函数 , ,结合新函数的性质证明题中的不等式即可 . 试题解析： (I)函数 的定义域为 , . - 10 - 当 时 , , 为增函数；当 时 , , 为减函数 所以函数 的最小值为 . （ ）问题等价于证明 由 (I)可知 , 的最小值为 ,当且仅当 时取到 . 令 , ,则 , 易知 ,当且仅当 取到 ,所以 . 从而对一切 ,都有 成立 . 点睛： 导数是研究函数的单调性、极值 (最值 )最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向 及命题角度， 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)
