1、 - 1 - 沈阳铁路实验中学 2016 2017学年度下学期期末考试试题 高二数学 (理科 ) 满分 150分，考试时间 120分钟 . 第 卷 (共 60分 ) 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数 在复平面对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】复数 ， 在复平面内对应的点 在第四象限，则 ， 解得 . 实数 a的取值范围是 (?1,4). 故选： C. 2. 已知随机变量服从正态分布 ， ，则 （ ） A. 0.16 B. 0.32 C.
2、0.68 D. 0.84 【答案】 A 【解析】 . 故选 A. 3. 已知 为实数 ,若复数 为纯虚数 ,则 的值为 ( ) A. 1 B. 0 C. D. 【答案】 C - 2 - 【解析】复数 为纯虚数，可得 a=1， ， 故选： C. 4. 若 ，则 的值为 ( ) A. 2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】 C 【解析】令 ，则原式为 ， 令 ，则原式为 ，所以 ，故选择 C。 5. 如图，由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是6. 已知某一随机变量 x的概率分布如下，且 =5.
3、9，则 a的值为（ ） 2 -8 9 p 0.5 b-0.1 b A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】 B - 3 - 【解析】由 0.5+0.2+b=1，得 b=0.3， 由 E(x)=5.9，得 40.5+0.2 a+90.3=5.9 ，解得 a=6. 故选 B. 7. 如图，用 K、 A1、 A2三类不同的元件连成一个系统 .当 K正常工作且 A1、 A2至少有一个正常工作时，系统正常工作 .已知 K、 A1、 A2正常工作的概率依次为 0.9、 0.8、 0.8，则系统正常工作的概率为 ( ) A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 【答案】
4、 B 【解析】试题分析：首先记 K、 A1、 A2正常工作分别为事件 A、 B、 C，易得当 K正常工作与 A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事 件，而 “A 1、 A2至少有一个正常工作 ” 与 “A 1、 A2都不正常工作 ” 为对立事件，易得 A1、 A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案 解：根据题意，记 K、 A1、 A2正常工作分别为事件 A、 B、 C； 则 P（ A） =0.9； A1、 A2至少有一个正常工作的概率为 1 P（ ） P（ ） =1 0.20.2=0.96 ； 则系统正常工作的概率为 0.90.96=0.864 ； 故选 B 点
5、评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系 8. 定义在 R上的可导函数 f(x),f ( x)是其导函数 .则下列结论中 错误的 是 ( ) A. 若 f(x)是偶函数 ,则 f ( x)必是奇函数 B. 若 f(x)是奇函数 ,则 f ( x)必是偶函数 C. 若 f ( x)是偶函数 ,则 f(x)必是奇函数 D. 若 f ( x)是奇函数 ,则 f(x)必是偶函数 【答案】 C 【解析】取 为偶函数，则原函数 为非奇非偶函数，选项 C不合题意 . 本题选择 C选项 . 9. 下列说法： - 4 - 分类变量 与 的随机变量 越
6、大，说明 “ 与 有关系 ” 的可信度越大 . 以模型 去拟合一组数据 时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 的值分别是 和 0.3. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为 中， ，则 . 如果两个变量 与 之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据 不能写出一个线性方程 正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 C 【解析】 分类变量 A与 B的随机变量 越大，说明 “ A与 B有关系 ” 的可信度越大，正确； ， 两边取对数 ,可得 ( ) ， 令 ，可得 ， ， .即 正 确； 根据具有线性相关关系的两个变量的统计
7、数据所得的回归直线方程为 y=a+bx 中， ，则 a=1，正确。 由题意易知 中 x与 z 负相关。 故 正确， 错误， 故选： C. 点睛：利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值 值越大，说明 “ 两个变量有关系 ” 的可能性越大 10. 来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不 同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 - 5 - 【答案】 A 【解析】解
8、：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞 三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排， 不同的安排方案总数有 =2226=48 种 故选 A 11. 设函数 在 上存在导数 ，有 ，在 上 ，若，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】解：构造函数： ，则 ： ， 即函数 是定义域内的减函数， 所求解的不等式即： ， 整理得： ， 即 ，结合函数的单调性有： ， 综上可得：实数 的取值范围是 . 点睛： 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函
9、数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行 解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。 12. 若曲线 和 上分别存在点 ，使得是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点 轴上，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B - 6 - 【解析】 ,由 得 在 上单调递减，所以， 设 ， 因为斜边 的中点在
10、轴上，所以 ，又因为 ，所以 ，可得 设则 ， 实数的取值范围是 ， 故选 B. 【方法点睛】本题主要考查利用导 数求切线斜率、利用导数研究函数的单调性，属于难题 . 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ； (2) 己知斜率 求切点 即解方程 ； (3) 巳知切线过某点 (不是切点 ) 求切点 , 设出切点 利用 求解 . 第 卷 (共 90 分 ) 二、填空题（共 4 小题，每小题 5分，共计 20 分） 13. 函数 在 处的切线方程为 _ 【答案】 y=-4x+3 【解析】函数 ，有 . = . . 在 处的切线方
11、程为 ,整理得： . 14. 已知随 机变量 B（ 36， p），且 E（ ） =12，则 D（ 4 +3） =_. 【答案】 128 【解析】 , ,解得 . . . 点睛：若 , ; - 7 - 若 ，则 . 15. 将 4个不同的小球装入 4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是 _. 【答案】 【解析】将 4个不同的小球装入 4个不同的盒子， 恰好有一个盒子为空的基本事件有： ， 恰好有两个盒子为空的基本事件有： ， 恰好有三个盒子为空的基本事件有： ， 在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是： . 故答案为： . 点睛：有关古典概型的概
12、率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助 “ 树状图 ” 列举 (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用 . 16. 研究问题： “ 已知关于 的不等式 的解集为（ 1， 2），解关于 的不等式” ，有如下解法：由 ，令 ，则 ，所以不等式 的解集为 。类比上述解法，已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为 _. 【答案】 【解析】解析：关于 的不等式 可化为 ， 则由题设中提供的解法可得： ，则关于 的不等式 的解集为，应填答案 。 - 8 - 三、解答题（
13、共 6 题， 17题 10 分， 1822每题 12分，总计 70分） 17. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（ ，简称 ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 大小分为六级， 为优； 为良； 为轻度污染； 为中度污染； 为重度污染；大于300为严重污染环保部门记录了 2017年某月哈尔滨市 10 天的 的茎叶图如下： （ 1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ ）的天数；（按这个月总共 30 天计算） （ 2）现工作人员从这 10天中空气质量为优良的日子里随机抽取 2天进行某项研究，求抽取的 2天中至少有一天空气质量是优的概率； （ 3）将频率视为概率，从本月
14、中随机抽取 3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望 . 【答案】（ 1） 18（ 2） (3)见解析 【解析】试题分析：（ 1）从茎叶图中可知样本中空气质量优良的频率为 ，从而估计该月空气质量优良的天数为 （ 2） “ 至少 ” 可以从对立事件考虑，即一天空气质量优都没有。（ 3）显然是二项分布 试题解析：（ 1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2，空气质量良的天数为 4， 故该样本中空气质量优良的频率为 ，从而估计该月空气质量优良的天数为 (2)由题意可知， 10天中有 6天是优良，其中 2天优，所以 （ 3）由（ 1）估计某天空气质量优良的概率为，的所有可能取值
15、为 0,1,2,3 - 9 - ， ， ， 故的分布列为： 显然 ， . 18. 已知某商品的价格 （元）与需求量 （件）之间的关系有如下一组数据： 14 16 18 20 22 12 10 7 5 3 （ 1）求 , ; （ 2）求出回归直线方程 （ 3）计算相关系数 r的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。 （参考公式： ， ） 参考数据： 当 n-2=3， , 【答案】： (1)18,7.4;(2)y=-1.15x+28.1;(3)r=0.9940.878,拟合好； 【解析】试题分析： （ 1）利用题中数据计算 即可； （ 2）利用参考公式求解即可； （ 3）套用公式判断拟合效果即可 . 试题解析： (1) ;
