1、 1 资阳市 2016 2017 学年度高中二年级第二学期期末质量检测 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知是虚数单位，若复数 满足： ，则复数 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ，选 D 2. 抛物线 的焦点坐标为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ，抛物线的焦点坐标为 ，选 C. 3. 以平面直角坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，则直角坐标为 的点 的极坐标为 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 , ,角 的终边在第二象限，取 ，选 B. 4. 若双曲
2、线 的一条渐近线方程为 ，则离心率 A. B. C. D. 【答案】 A 2 【解析】 根据渐近线方程 可知 ， ， ，选A. 5. 设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示，则的图象最有可能的是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 从 的图象可以看出当 ， ， 在 上为增函数 ；当 时， ， 在 上为减函数；当 时， ， 在 上为增函数，故选 C. 6. 某公司奖励甲，乙，丙三个团队去 三个景点游玩，三个团队各去一个不同景点，征求三个团队意见得到：甲团队不去 ；乙团队不去 ；丙团队只去 或 公司按征求意见安排，则下列说法一定正确的是 A. 丙团队一定去 景点 3 B. 乙团队一定
3、去 景点 C. 甲团队一定去 景点 D. 乙团队一定去 景点 【答案】 C 【解析】 甲队不去 A，则甲可能去 B 或 C；乙队不去 B，则乙队可能 A 或 C；丙队去 A 或 C； 若丙队去 C，则甲队去 B，乙队去 A；符合要求； 若丙队去 A，甲队去 B，乙队去 C； 因此甲队一定去 B 景点，选 C. 7. 曲线 的参数方程为 ( 是参数 )，则曲线 的形状是 A. 线段 B. 直线 C. 射线 D. 圆 【答案】 A . 8. 根据如下样本数据： x 3 4 5 6 7 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 得到的回归方程为 若 ，则估计 的变化时，若 每增加 1 个单位，则
4、就 A. 增加 个单位 B. 减少 个单位 C. 减少 个单位 D. 减少 个单位 【答案】 B 【解 析】 ， ，由于回归直线过样本中心点 ，则 ， ，若 每增加 1 个单位，则 就减少 个单位，选 B . 4 9. 若 的定义域为 ， 恒成立， ，则 解集为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 设 ， ，由已知 知： ， 在 R 上为增函数， ， 则 解集为，选 D. 10. 已知过点 的动直线交抛物线 于 两点，则 的值为 A. 2 B. 0 C. 4 D. 2 【答案】 B 【解析】 设 ， 直线方程为 ， 联立方程组： 代入得： ，则 ， ， ，选 B. 11. 已知抛物
5、线 焦点为 ，点 为其准线与 轴的交点，过点 的直线与抛物线相交于 两点，则 DAB 的面积 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 抛物线 焦点为 , ,过点 的直线 : ,设， 代入整理得： ， ， 则 DAB 的面积 的取值范围为 .选 C. 12. 若对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是 5 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 对 ，不等式 恒成立，可采用数形结合 思想去处理，只需考虑函数在 轴右侧的图象， 的图象为直线， 的图像是把 的图象向下平移 1个单位，不等式恒成立只需 的图象在 的图像下方，临界位置是直线与曲线在 处相切的位置， ，斜率
6、，则 ，所以 ，则 的最大值为 .选 A. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 曲线 在点 处的切线方程为 _ 【答案】 【解析】 , , 切线方程为 ,即 . 14. 直线 （ 为参数）与圆 ( 为参数 )的位置关系是_ 【答案】 相离 【解析】 把直 线化为 ，把圆化为 ，圆心到直线的距离为 ， ，直线与圆相离 . 15. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 _ 【答案】 【解析】 ,则 ，所以 . 16. 直线 分别是函数 图象上点 处的切线， 垂直相交于点 ，且 分别与 轴相交于点 ，则 PAB的面积为 _ 6 【答案】 【解析】 由于 ，则 ，设 ，
7、设 ，可得图象上点 处的切线斜率为 ，由 ，可得，由余弦函数的值域可知 ，即有，则 ， ，即 ；联立得 ，又 ，可得 得面积为 . 三 、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是（ 为参数） （ 1）求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （ 2）求曲线 上的点到直线的距离的最大值 【答案】 （ 1） ；（ 2） 【解析】 试题分析：把参数方程化为普通方程只需削去参数，把极坐标方程化为直角坐标方程需要利用公式 ；求圆上一点到直线的距离的
8、最大值可借助圆的参数方程巧设点，借助三角函数求最值，也可求圆心 到直线的距离减去半径 . 试题解析：（ 1）直线消 得： ，直线的普通方程为 ， 曲线 的极坐标方程化为 ， 化直角坐标方程为 ，即 . （ 2）在曲线 上任取一点 ，可设其坐标为 ， 到直线的距离 ， 当且仅当 时等号成立， 7 曲线 上的点到直线的距离最大值为 . 【点睛】把参数方程化为普通方程只需消去参数，可以使用加减消元法或代 入消元法等，把极坐标方程化为直角坐标方程需要利用 及 ；求圆上一点到直线的距离的最大值可借助圆的参数方程巧设点， 借助三角函数求最值，建议求圆心到直线的距离减去半径，运算更简单一些 . 18. 分别
9、根据下列条件，求对应双曲线的标准方程 （ 1）右焦点为 ，离心率 ； （ 2）实轴长为 4 的等轴双曲线 【答案】 （ 1） ；（ 2）当焦点在 轴上时，所求双曲线的标准方程为： ，当焦点在 轴上时，所求双曲线的标准方程为： 【解析】 试题分析：待定系数法求双曲线方程就是根据题目提供的有关 的关系列方程解方程组求出 的值，当双曲线的焦点位置不明确时，要针对焦点在 轴和焦点在 轴两种情况进行讨论，分别给出解答 . 试题解析：（ 1）因 为右焦点为 ，所以双曲线焦点在 轴上，且 ， 又离心率 ，所以 ， ， 所以所求双曲线的标准方程为： . （ 2）因为实轴长为 4，所以 ，即 ， 所以由等轴双曲
10、线得 ， 当焦点在 轴上时，所求双曲线的标准方程为： ， 当焦点在 轴上时，所求双曲线的标准方程为： 8 19. 已知函数 （ 1） 若 是函数 的一个极值点，求 值和函数 的单调区间； （ 2）当 时，求 在区间 上的最值 【答案】 （ 1）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（ 2） 【解析】 试题分析：根据 是函数 的 一个极值点，则 解得 ，代入原函数利用导数求出函数的单调区间；把 代入函数解析式后，对函数求导，当利用导数研究函数的单调性与极值，求出 和 ，比较后得出最大值 . 试题解析：函数 的定义域为 （ 1）由题有 ， 所以由 是函数 的一个极值点得 ，解得 ， 此时 所
11、以，当 时， ；当 时， ， 即函数 在 单调递增；在 单调递减 所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （ 2）因为 ，所以 ， 所以，当 或 时， ；当 时， 所以函数 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ， 又 ， 所以 在 递减，在 递增， 所以 的最小值 ， 又 ， 及， 所以 的最大值为 . 20. 为做好 2022 年北京冬季奥运会的宣传工作，组委会计划从某大学选取若干大学生志愿9 者，某记者在该大学随机调查了 1000 名大学生，以了解他们是否愿意做志愿者工作，得到的数据如表所示： 愿意做志愿者工作 不愿意做志愿者工作 合计 男大学生 610 女大学生 90 合计
12、 800 （ 1） 根据题意完成表格； （ 2） 是否有 的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关？ 参考公式及数据： ，其中 . 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】 （ 1）填表 如下图；（ 2）没有 的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关 . 试题解析： （ 1）补全联立表得（每空一分）： 愿意做志愿者工作 不愿意做志愿者工作 合计 10 男大学生 500 110 610 女大学生 300 90 390 合计 800 200 1000 （ 2）因为 的观测值 ， 没有 的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关 . 21. 已知函数 （ 1）若函数 在区间 上递增，求实数 的取值范围； （ 2）求证： 【答案】 （ 1） ;（ 2）证明过程见解析 【解析】 试题分析：函数 在区间 上递增，只需 在 上恒成立，只要 在 上恒成立，即 ；借助 时， 成立，令，证明原不等式成立 . 试题解析：函数 的定义域为 由题有 在区间 上恒成立， 所以 ，又 在区间 上递减，所以 ， 即实数 的取值范围为
