1、第十八章第十八章 多元函数微分学基础多元函数微分学基础(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容 1、空间解析几何简介2、矢量的概念，线性运算及坐标表示，两向量的数量积与 向量积。3、平面的点法式与一般式方程，直线的标准式与一般式方 程，曲面与空间曲线，常见的二次曲面。4、多元函数的概念，二元函数的极限与连续。5、偏导数与全微分。6、多元复合函数与隐函数的求导法。7、多元函数的极值、最大值和最小值。二、对学习的建议二、对学习的建议 本章的第二节和第三节是空间解析几何较深入的内容，学时较少的专业
2、可以不学或选学，而对有些专业，如计算机专业，建筑工程专业，应该是必修的内容，为了配合本章内容的学习，特提出如下建议，供读者参考。1、直线、平面方程是用坐标法与向量相结合的方法建立起来的。学习空间解析几何不仅要熟悉以上图形，更应深入理解采用数、形结合及运用向量研究空间图形的基本思想和方法。2、学习空间解析几何部分，应注意对空间图形想像力的培养，这也是学习多元函数微分的需要。球面、柱面、锥面及旋转曲面都比较重要，读者能够根据它们的方程辨认，并画出它们的图形。3、多元函数微分学与一元函数微分学是相对应的，学习这一部分内容，应注意用对比的方法，先回顾一下一元函数的有关内容对理解和掌握多元函数相应的内容
3、是有帮助的。4、偏导数与复合函数的求导法则是本章的重点，读者务必理解偏导数的概念及几何意义，并通过较多的练习，熟练、灵活的掌握连锁法则，确保求导的正确性。5、求解最值问题是多元函数微分学的重要应用，应给予足够的重视。在实际问题求解中，关键是建立函数关系式和约束条件关系式。建立函数关系式的能力，可通过一些习题来加强。若求出驻点是惟一的，而最值又存在，则该驻点的函数值三、本章关键词三、本章关键词就是最值。因此求最值的应用问题，实际上就是求函数的驻点。空间解析几何矢量曲面与曲线偏导数全微分多元复合函数求导多元函数极值(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、求二元函数定义域的方法一、求二元函数
4、定义域的方法0,122012 二元函数定义域的求法与一元函数定义域的求法相同，即考虑分式的分母不能为零；负数不能开偶次方，零与负数无对数，反正弦函数、反余弦函数的自变量部分只能在-1与1之间取值，正切函数的自变量部分不能等于，余切函数的自变量部分不能等于，。考虑到以上这些因素，建立不等式组，求出其解的交集，就是二元函数的定义域。定义域的代数表达式为 kkkk(,)|,满足的条件Dx yx y22ln()1 求函数 的定义域并做出定义域的图形。yzyxxy例例1 1解解yOx122220000,1yxyxyyxyxy 要使函数有意义，只需，1，即，22(,)|01故定义域：，Dx yyyxxy定
5、义域图形如图18-1所示.图18-1 例1函数定义域二、求二元函数偏导数的方法二、求二元函数偏导数的方法 1、利用一元函数求导法，只要记住对一个变量求导时，把另一个变量暂时看作常量就行。arctan 求 的偏导数。xzy例例2 2解解222111，zyxyxyxy22221.1zxxyyxyxy 2、二元复合函数求偏导数可引入中间变量，一般抽象的函数求偏导数也要引入中间变量。22 求 的偏导数。xyzye例例2 2解解22令，uyxy则 zuezxzuzuxx 02euex222xyxyezyzuzuyy 12euey222(12).xyey注：因函数解析式明显给出，也可直接求偏导。2,设，求
6、偏导数。xzfxyy例例4 42设，xuvxyy解解(,)则 zf u vzxzuzvuxv x 1uvffyzyzuzvuyv y 22.uvxfyfy3、求隐函数的导数或偏导数。一般有如下三种方法：(1)公式法22lnarctan()求由方程 所确定隐函数 的导数。yxyyf xx例例5 5解解221(,)ln()arctan2设，yF x yxyx则xF222211xyxyxyx22xyxyyF222111yxxyyx22yxxy.所以 xyFdyxydxFxy(2)全微分法222()(,)求由方程 确定的隐函数 z 的偏导数。其中 可微。xyzf xyzz x yf例例6 6解解因为等
7、号右端为抽象函数，222.故设中间变量 uxyz()则原方程为，xyzf u()()所以，d xyzdf u因此有dxdydz222()()f u d xyz()(222)f uxdxydyzdzxydxdyz dxz dy()()f u d u()222()xyf uxdxydyz z dxz dy12()2()12()2()xxyyzxf uzz f u dxzyf uzz f u dy0所以1 2()1 2()xxf uzzf u 1 2().1 2()yyf uzzf u(3)对隐函数求，可对方程两端 求导。注意 是 的函数，暂时看作常数，若求，方程两端对 求导，注意 是 的函数，暂时
8、看作常数。如例6。zxzxxzyyzyyx1()(22)，xxzf uxzz1 2()1 2()；xxf uzzf u 1()(22)，yyzf uyzz1 2().1 2()yyf uzzf u 求出函数的二阶偏导数.就每一个驻点考察 B2-AC 的正负，判定极值点.若有极值，再根据 A(或 C)的正负判断其为极大还是极小值，进而讨论极值与最值.若是应用问题，需根据题目条件首先写出取极值的目标函数，求出驻点，若驻点惟一，最值又存在，则此点即为所求，不需验证，依题意，指出驻点处为最大或最小值即可.三、求二元函数的极值与最值的方法三、求二元函数的极值与最值的方法1、基本步骤 求出函数的一阶偏导数
9、，解出驻点.33()3 求 的极值。f xxyxy例例7 7解解223333，xyfxyfyx解得驻点(0,0)，(1,1)，636又 ，xxxyyyfxffy 290对于点(0,0)，BAC()在点(0，0)不取极值；f x227060对于点(1,1)，BACA()1.在点(1,1)取得极小值(1,1)f xf 1122121222112212610.42 设有需求函数，其中，分别是对两种商品的需求量，是相应的价格，生产两种商品的总成本函数是，问两种商品生产多少时，可获得最大利润？QPQPQQPPKQQQQ例例8 8解解112226404由需求函数知 ，PQPQ故总利润函数为L1122PQP
10、QK222211221122264042QQQQQQQQ221122122624052QQQQQQ1212212642040 1020解方程组，QQLQQLQQ得驻点(5,3)1112224210而，QQQQQ QLLL 236040.所以 ，且BACA 于是，生产第一种商品5单位，第二种商品3单位时利润最大。(此题在求出驻点后，也可根据步骤，直接得出结果!)2、若是条件极值问题，利用拉格朗日乘数法 其关键在于根据问题写出要求极值的目标函数与条件函数。构造出拉格朗日函数，求出驻点。之后，根据问题的实际性，定出极大值或极小值。221 抛物面 被平面 截得一个椭圆。求原点到这椭圆的最长和最短距离。
11、zxyxyz例例9 9解解(,)设椭圆上任一点 x y z222原点到它的距离为，dxyz2222.取目标函数为dxyz222221 问题即为 在条件，的条件下的极值.xyzzxyxyz22222212121222(,)()(1)220220201拉格朗日函数为 xyzF x y zxyzxyzxyzFxxFyyFzxyzxyz 1212121313221313222323，解方程组得，xxyyzz 显然222max22295 3，dxyz222min11195 3.dxyz(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案001,?、可微二元函数在点处取得极值的必要条件是什么Zf
12、x yxy2、对于条件极值问题，我们解决它的关键是什么?3、“多元函数定义域的求法与一元函数定义域的求法相同”该命题正确吗?4、二元函数在某点处偏导数存在与可微之间有何关系?(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 221 ln .、求由方程所确定的隐函数的导数xxyxyyyf222.，求、yy xzZxd23sin .、，求dzZf uvutvtdt2201ln4 lim.1、求xxyeyxy返返 回回00001 ,0.、是xyfxyfxy返返 回回2、是根据问题写出要求极值的目标函数和条件函数,然后 构造函数求驻点,根据问题的实际性,求出极值.返返 回回3、正确.返返 回回4、偏导数存在且连续是函数可微的充分条件，而偏导数存在 是函数可微的必要条件.返返 回回1、：解22,ln,令 F x yxyxy2212,xFxyxy则 2212;yyFxxx 22222.2xyxy xFyFx xyyy 故 返返 回回2、：解22 2 2，zzxyyxxyxy22 22.dzxyydxxxy dy返返 回回3、：解 cos 2 .zduzdvzzttudtvdtddtvzu返返 回回4、：解000222121lnln1ln22ln2limlim.221110 xxxyyeyxye
