1、第二十五章无第二十五章无 穷穷 级级 数数(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容1、数项级数(1)数项级数的定义12121 设有数列，则称表达式：为数项无穷级数，记作.nnnnuuuuuuu121lim 称 为级数 的部分和，若，则称级数收敛，为级数的和；若 无极限，则级数发散，无和.nnnnnnnSuuuuSSSS(2)无穷级数的基本性质11()收敛，则 也收敛 为常数；nnnnucuc111()收敛于，收敛于，则 收 敛于；nnnnnnnuSvuvS1lim0 若 收敛，则.n
2、nnnuu(3)级数敛散性的判定方法 正项级数的敛散性判定方法：比较审敛法(一、二)；比值审敛法.1111(1)(0)lim0 交错级数敛散性判定方法：交错级数，若满足 a.；b.，则交错级数收敛，且和；nnnnnnnnu uuuuSu2、幂级数(1)幂级数的概念及敛散性000()形如 或 的级数称为幂级数.nnnnnna xaxx0(0)0|必存在数 ，当 时，有 时，幂级数 绝对收敛，当 时，幂级数发散，称 为幂级数的收敛半径.nnnRRRxRa xxRR11lim00设，则 时，；时，nnnaRa0；时，；RR (2)幂级数的运算性质加减性质；分析性质(连续性，微分性，积分性).3、函数
3、的幂级数展开式(1)泰勒级数0()若 在 的某邻域内存在任意阶导数，称级数：f xx()20000000()()()()()()()2!nnfxfxf xfxxxxxxxn00()0为 在 点的泰勒级数.当 时，称其为马克劳林级数.f xxx(2)常用的马克劳林级数21()2!；nxxxexxn 3521sin(1)()3!5!(21)!；nnxxxxxxn 242cos1(1)()2!4!(2)!；nnxxxxxn 211(11)1 .nxxxxx (3)函数幂级数展开法直接展开法；间接展开法.4、傅里叶级数2(1)周期为 的函数的傅里叶级数()2若 是以 为周期的可积函数，则称由公式：f
4、x1()cos0 1 21()sin1 2，nnaf xnxdx nbf xnxdx n作为系数构成的三角级数；01(cossin)()2 为 的傅里叶级数；nnnaanxbnxf x()0(0 1 2)()0(12)当 为奇函数时，此时的傅里叶级数为正弦级数；当 为偶函数时，此时的傅里叶级数为余弦级数；nnf xanf xbn2(2)周期为 的函数的傅里叶级数l(3)傅里叶级数的复数形式01()cossin21()cos0 1 21()sin1 2，nnnlnllnlan xn xf xablln xaf xdxnlln xbf xdxnll()()1()2 n xilnnn xillnlf
5、 xC enCf x edxlZ2()式中，为 的周期数.lf x五、本章关键词五、本章关键词无穷级数正项级数幂级数傅里叶级数二、本章重点二、本章重点1、级数及其敛散性的概念，正项级数的审敛法，2、幂级数的收敛特性及其收敛半径的求法；函数幂级数 的展开法；幂级数的运算性质.23、以 为周期的函数展开成傅里叶级数.三、本章难点三、本章难点1、将函数展开成幂级数；将周期性函数展开成傅里叶级数.2、幂级数展开过程中余项的讨论；近似计算中余项的估计.(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、数项级数敛散性判别法一、数项级数敛散性判别法1对于数项级数，判断其敛散性有以下几步：nnulim0(1)若
6、明显求出，则级数发散，否则，进行下一步；nnu11lim111(2)对于正项级数，可采用比值判定法，设，当 时，级数收敛；当 时，级数发散；当 时，进行下一步；nnnnnuuu11113lim0 (3)采用定理，可寻找一个适当的已知敛散性的正项级数，若 为定数，即当 时，与 为同阶无穷小，则级数 与级数 有相同的敛散性，从而可以判断级数 的敛散性，或者采用第一比较判定法，寻找一个适当的 级数或几何级数进行比较来判断级数的敛散性；nnnnnnnnnnnnnuvnuvvuvup 115|(4)若级数 为交错级数，可用定理 来判断其收敛性，进一步可根据正项级数 的敛散性，来判断原级数是条件收敛或绝对
7、收敛.nnnnuu解解1ln(1)ln 判断级数 的敛散性.nnnn例例1 1limlim ln(1)ln 因 nnnunnn1limln 110，nnn 1ln(1)ln 则原级数 发散.nnnn12!判断级数 的敛散性.nnnnn例例2 2解解此为一正项级数，先考虑用比值审敛法：1limnnnuu112(1)!(1)lim2!nnnnnnnnnlim21nnnn11lim21nnn21,e12!则级数 收敛.nnnnn13!3(1)若将例 2 改为：判断级数 的敛散性.可以断言，该级数发散 因为 .nnnnne111tan 判断级数 的敛散性.nnn例例3 3解解1lim因 nnnuu11
8、tan11lim111tannnnnn2111tan则比值判定法失效.可采用定理3，令，取，nnUVnnn21211tan1limlim11因，且级数 为收敛的，nnnnnunnvnn111tan则原级数 为收敛.nnn111sinln(1)*判断级数 的敛散性.nnn例例4 4解解1容易算出，该题应用比值判定法失效.先采用定理3，11sinln(1)limlim11ln则 nnnnunnvnn221ln1ln 即原级数与级数 有共同的敛散性.为了研究正项级数 的敛散性，这里先介绍一下积分判别法.nnnnnn121()1 2 设正项级数 的各项可以看作是区间 1，+)上正减连续函数 对应于，的
9、各个值.nnnuuuuf xxn12(1)(2)()，nufufuf n11()则该级数 与广义积分 有共同的敛散性.nnuf x dx22211lnlnlnlnln因广义积分 发散，dxdxxxxx 21111sinlnln(1)则级数 也发散，即原级数 发散.nnnnnn22111211|()若级数 及 均收敛，证明级数：，都收敛.nnnnnnnnnnnnaba baabn例例5 5证证2(|)0因，nnab221|()2则 nnnna bab由已知条件、级数的性质、正项级数比较原理知：1|级数 收敛.nnna b222()2又因 nnnnnnabaa bb由已知条件和上问以及级数的性质易
10、知：21()级数 收敛.nnnab21|0又因，nan22|112则.nnaann由已知条件、级数、级数的性质及正项级数比较原理知：p1|级数 收敛.nnan2111sinsin(1)2 判断下列级数的敛散性，若收敛，问是绝对收敛还是条件收敛.(1)；(2).nnnnn例例6 6解解11111sin(1)221(1)为一交错级数，且满足nnnnnn1111limlim0212121，nnnnnuuunnn11sin2则原级数 是收敛的，nnn1111sin221考虑级数 是发散的，nnnnn111121(lim0)12 因 且级数 发散，则原级数为条件收敛；nnnnn1sin(1)sin()(
11、2)由，nn 2121121sin(1)(1)sin(1)(1)sin1原级数可以写成 为一交错级数，且满足nnnnnnnnnn122sinsin1(1)(1)1 nnuunnnn2limlimsin01 nnnunn21sin(1)则原级数 是收敛的，nn2211|sin(1)|sin1考虑级数 .nnnnn22111sin111 由定理3知，级数 与级数 有共同的敛散性，而后者与级数 有共同的敛散性，是发散的.nnnnnnnn即原级数为条件收敛.二、幂级数的收敛半径、收敛域的求法二、幂级数的收敛半径、收敛域的求法1lim(1)(00)先求出极限 允许，这时极限不存在，根据 的取值情况确定收
12、敛半径，时，时，从而得到收敛区间，区间端点处的敛散性另行讨论，从而得到收敛域.nnnaaRRRR 2111(00)(21)求下列幂级数的收敛半径和收敛域.(1)，；(2).nnnnnnxabnxab例例7 7解解(1)假定，ab111111limlimlim1因 nnnnnnnnnnnnnaababaabab1limnnnbababa1则收敛半径，Ra1，a()limlim0在端点 处，因，即在两端点处的数项级数均发散，nnnnnnaxauab 1()即幂级数 当 时收敛域为，；nnnnxabaaab()同理，当 时，收敛域为，babb()当 时，收敛域为，；abaa(2)这是不标准形式的幂级
13、数，它缺少 的偶次幂，不能直接应用定理来确定收敛半径，解决该类问题的方法为x212121(21)limlim(21)考虑，nnnnnnunxxuxx2211211111(1 1)1(21)(1)(21)(21)(1 1)由定理 4 知，当 时，原级数收敛，当 时，原级数发散.由此可知原级数的收敛半径，收敛区间为，.在两端点 处，级数，均发散，所以原级数 的收敛域为，.nnnnxxRxnnnx 三、求幂级数的和函数三、求幂级数的和函数 求幂级数的和函数的方法是：利用幂函数的逐项微分或逐项积分，运算后希望能得到某一个已知和函数的级数，最后进行逆运算，便可求得和函数，下面举例说明.1111 求幂级数
14、 的和函数.nnxn例例8 8解解 由于幂级数的系数分母和幂指数相同，根据求导经验，该题必须采用“先微后积”的方法.112limlim111因 ，nnnnanan 1(1 1)则幂级数的收敛半径，即收敛区间为，.R(1 1)()当，时，设该级数收敛于和函数为，即xf x 123111111()1231nnnf xxxxxnn2()|11则 ，nxfxxxxxx00()1ln(1)11故 xxxxf xdxdxxxxx 111ln(1)1即 nnxxxn 11xx 该级数在左端点 处是收敛的，在右端点 处是发散的，所以其收敛域为-1,1).211(1)(2)将例8 改为：求幂级数 的和函数.nn
15、xnn()容易看出，该题必须采用“先微后积”的方法.且它的收敛区间为(-1,1).当(-1,1)时，设该级数收敛于和函数为，即xS x213421()(1)(2)1112 33 4(1)(2)，nnnS xxnnxxxnn231111()231得 (1,-1)，nS xxxxxn()()ln(1)(由例8 的结果知)，S xf xxx 201()ln(1)(1)ln(1)2，xS xxx dxxxxx 22111(1)ln(1)(1)(2)2即 .nnxxxxxnn 1该级数在两端点 处均为收敛，所以其收敛域为-1,1.x 11(1)lim()21(1)()2 注意：无定义，但 存在.补充定义
16、，令，则和函数 在收敛域-1,1 上为连续.xSS xSS x20(21)求幂级数 的和函数.nnnx例例9 9解解 由于幂级数的系数是幂指数加 1，根据积分经验，该题应采用“先积后微”的方法.123limlim121因 ，nnnnanan()该级数的收敛区间为(-1,1).当(-1,1)时，设该级数收敛于和函数.xS x22420()(21)1 35(21)即 .nnnS xnxxxnx 352120()|11，xnxS x dxxxxxxx22221()1(1)xxS xxx222201(21)|1(1)即 ，nnxnxxx20(22)(21)将例9 改为：求幂级数 的和函数.nnnnx(
17、)容易看出，该题必须采用“先积后微”的方法，且该级数的收敛区间为(-1,1).当(-1,1)时.设该级数收敛于和函数为.xS x242()2 14 36 5(22)(21)即 nS xxxnnx 35210()246(22)|1，xnS x dxxxxnxx224622200()|11，xxnxS x dx dxxxxxxx 22222223121 3()1211(1)(1)故 xxxS xxxxx 222301 3(22)(21)2|1(1)即 ，.nnxnnxxx四、将函数展开成幂级数的方法四、将函数展开成幂级数的方法 一般来讲，将函数 展开成幂级数有两种方法：一种是展开法，即泰勒级数，因
18、为其涉及函数的各阶导数，几个特殊函数可用直接展开法，一般函数不适应，于是直接展开法在这里不再重复；这里只谈间接展开法，间接展开法主要由以下两步组成：()f x()(1)对函数 进行恒等变形，选择适当的已知初等函数的幂级数展开式；f x()(2)利用幂级数的性质及运算，与函数 建立某种关系，便可得到所求函数的展开式.f x下面举例说明.2()arctan 将函数 展开成关于 的幂级数.f xxx例例1010解解5914342()2(1)|11因，nnxfxxxxxxx 26104210()()2(1)261042则，nxnxxxxf xfx dxn 61042221arctan(1)|13521
19、即 ，.nnxxxxxxn 1注：上面级数在端点 处是收敛的.x 1取，则有x 11111(1)43521.nn 2()ln(12)将函数 展开成关于 的幂级数.f xxxx例例1111解解2ln(12)ln(1)(12)ln(1)ln(12)因，xxxxxx12()112则 fxxx22(1)21 241(1)(2)|2，.nnnxxxxxxx 2310231()()231422(1)31故 nxnnnxxxf xfx dxxnxxxxn 121(1)21ln(12)nnnnxxxn1122收敛域为，.ln(1)ln(12)ln(1)注：，的展式，可根据 的展式直接写出结果.xxx21()(
20、4)32 将函数 展开成关于 的幂级数.f xxxx例例1212解解2111132(1)(2)12因 ，xxxxxx0111114413(4)33313而，nnxxxx 71其收敛域为 ；x 0111114422(4)22212，nnxxxx 62其收敛域为.x 21()32f xxx0014143322nnnnxx 11011(4)23.nnnnx62该展开式的收敛域为 .x(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、无穷级数有哪些基本性质？2、判定正项级数的敛散性常用什么方法？114 0?、当满足什么条件时，级数收敛PnPPn3、将函数展开成幂级数时，间接展开法的步骤是
21、什么？(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案211 .2、判断级数的敛散性nnn12 1 1、求幂级数的收敛区间.nnnxn 1 .23、将函数展开成的幂级数f xxx21sin4 .、证明级数绝对收敛nnn返返 回回111 (1).、收敛，则也收敛为常数nnnnUcUc111(2).收敛于，收敛于，则收敛于nnnnnnnUsVUVs1(3)lim0.若收敛，则nnnnUU1(4)若收敛，则去掉或增加有限项所得级数仍旧收敛.nnU返返 回回2、比较审敛法和比值审敛法.返返 回回 (1).3、对进行恒等变形并选择适当的已知初等函数的幂级数展开式f x(2).利用幂级
22、数的性质及运算与建立关系，得到所求函数的展开式f x返返 回回1 0 .14、1 时，收敛pnPpn返返 回回1、：解22212211112 limlimlim1.2222则nnnnnnnnnnnUnUnUn .由比值审敛法可知，该级数收敛返返 回回2、：解1 1 .1nnan 11111 limlim1 1.11，即nnnnnaPRan.故收敛区间为:-1,1返返 回回3、：解 111 2212f xxx 231 1 11，又nxxxxxx 23231 1 2.22222，nnxxxxf xx 返返 回回4、：解2221sin1 1 又收敛nnnnn21sin .也收敛nnn21sin .由级数绝对收敛与级数收敛的关系可知绝对收敛nnn
