1、第十九章第十九章 多元函数积分学基础多元函数积分学基础(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结一、主要内容一、主要内容1、二重积分的概念与性质。2、二重积分在直角坐标系下与在极坐标系下的计算方法。3、二重积分的应用。*4、曲线积分的概念、性质，对弧长曲线积分与对坐标曲线 积分的计算方法、格林公式。二、本章的重点二、本章的重点二重积分的计算。三、对学习的建议三、对学习的建议1、二重积分是本章的重点内容。曲线积分可根据学时数及 专业的要求选学。关于本章的概念，应理解二重积分、曲线积分都与定积分一样，都属于特殊的和式极限问题。2、重
2、积分的几何意义(,)0(,)(,)当 时，二重积分 表示以平面区域 为底，以曲面 为顶的曲顶柱体的体积。Df x yf x y dDzf x y(,)1当 时，就等于平面区域 的面积。Df x ydD3、在直角坐标系下化二重积分为二次积分关键在于选择积分次序和确定积分限，注意选择适当的积分次序使积分易于计算。cossin(cos,sin)4、在极坐标系下计算二重积分的要点是(1)根据变换式 ，把积分区域 的边界曲线用极坐 标表示；并把被积表达式写成；(2)用不等式表示积分区域，根据区域的特点选用相应计 算公式把二重积分化成关于，的二重积分，一般总是 先对 积分后对 积分。xryrDf rrrd
3、rdrr5、在计算二重积分时，当积分区域关于坐标轴具有对称性，且函数具有奇、偶性时，应先简化再计算。6、对弧长的曲线积分与积分路线的方向无关，对坐标曲线积 分与积分路线的方向有关，如果积分路线反向，则积分值反号。7、在计算沿封闭曲线的对坐标的曲线积分时，应先考查在包 含积分曲线C的单连通区域内，被积函数是否满足积分与路 径无关的条件，如果满足则积分为零；如果不满足，再选 择适当的计算方法计算。四、本章关键词四、本章关键词二重积分曲线积分(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、在直角坐标系下的二重积分计算一、在直角坐标系下的二重积分计算计算步骤如下。画出积分区域 D 的图。根据 D 的形
4、状确定积分次序。21()()(,)(,)若 属于如图19-1所示类型，则先对 积分，后对 积分，即.bxaxDDyxf x y df x y dy dx ,其中积分限的确定方法为，将 投影到 轴上，得到投影闭区间，就是对 积分的下限和上限.然后在Dxa babx图19-1 积分区域 Dabxy2()yx1()yxO12(,)()()内任取一点，过点 作平行于 轴的直线自下而上交 的下边界和上边界于两点，其纵坐标分别为，这就是对 积分的下限和上限.(若交点的纵坐标表达形式与点 的位置有关，则 需分割).a bxxyDxxyxD21()()(,)(,)若 属于如图19-2所示类型，则先对 积分后对
5、 积分，即.dycyDDxyf x y df x y dx dy ,(,)其中积分限的确定方法为，将 投影到 轴上，得到投影闭区间，就是对 积分的下限和上限.然后在 内任Dyc dcdyc dcdxy1()xy2()xyO图19-2 积分区域 D 从内到外依次计算两个定积分。12()()取一点，过点 作平行于 轴的直线自左至右交 的左边界和右边界于两点，其横坐标分别为，这就是对 积分的下限和上限.(若交点的横坐标表达形式与点 的位置有关，则 需分割).yyxDyyxyD 积分次序的确定和积分区域 D 的形状有关，但实际应用时也需考察两次定积分的难易(甚至按某种次序积不出)而定.2221 计算二
6、重积分.其中 是由，及双曲线 围成的区域。DxIdDxyxyyx例例1 1画出 如图19-3所示.D解解法法一一1,2(1,2)1 将 投影到 轴上，得到投影闭区间，任取，过点 作和 轴平行的直线交 的下边界和上边界于两点，其纵坐标为，.DxxxyDxx222321119()4；xxxIdxdyxx dxy解解法法二二11,2,2221121212 将 投影到 轴上，得，任取，过点 作平行于 轴的直线，当 时，从左至右交 的边界于两点，横坐标为 和 .当 时，从左至DyyyxyDyyxy12O图19-3 例1积分区域 D12121yxyx1221右交 的边界于两点横坐标为 和.表达形式不一样，
7、则需分割，用直线 将 分为上下两部分：，.DyDyDDDI122222DDxxdxdydxdyyy222212221112yyxxdydxdydxyy 212251128883333ydydyyyy94.2(,)11ln 计算二重积分 。其中 是由曲线，所围成。DIf x y dxdyDyxyyx 例例2 2解解画出 的图形如图19-4所示.D 观察积分区域，若先对 积分后对 积分，需将 分成左右两部分.DyxD0,1(0,1)选择先对 积分，后对 积分.将 向 轴投影，得到投影闭区间，任取，过点 作平行于 轴的直线，从左至右交 的边界于两点，横坐标为 1，.yxyDyyyxDye101(,)
8、.yeyIdyf x y dx xyO图19-4 例2积分区域 Dlnyx21yx 112sin 计算，其中 由 及 所围成。DxIdDyxyxx例例3 3解解画出 的如图19-5所示.D10sinsin 单从 的图形看，先积 还是先积，工作量都一样，但结合被积函数，很容易看到若先积，后积，不易求出结果，因为 的原函数不是初等函数.yyDxyxyxIdydxxxx 改为先对 积分，后对 积分.yxxyO图19-5 例3积分区域 D2yxyxI210sinxxxdxdyx 120sin()xxxdxx10(sinsin)xxx dx1 sin1.二、改换二重积分的积分次序二、改换二重积分的积分次
9、序若已知以某种次序积分的二重积分，改变积分次序步骤如下。根据已给累次积分的上限、下限列出不等式，据此，画 出积分区域 D 的图形.将 D 投影到某个坐标轴，使之将来的二次积分次序与已 知的不同.将二重积分化为另一种次序的二次积分.1220010(,)(,)改变二重积分 的积分次序。xxdxf x y dydxf x y dy 例例4 4解解xyO图19-6 例4积分区域 Dyx2yx120112002由已知得，xxyxyx画出 如图19-6所示.D0,1(0,1)2 将 投影到 轴得到投影闭区间，任取，过点 平行于 轴的直线自左至右交 的边界于两点，其横坐标为 和 .DyyyxDyy120(,
10、)于是 积分次序得到改变.yyIdyf x y dx 2111(,)改变二重积分 的积分次序。xxxIdxf x y dy例例5 5解解2111由已知得 xxxyx 画出 如图19-7所示.D121,241,24 将 投影到 轴，得到投影闭区间.任取，过点 作平行于 轴的直线与 的边界的交点横坐标表达形式随 点的位置不同而不同，因此需将 分割，显然应取 轴为分割线，将 分为上下两部分：，DyyyxDyDxDDD xO图19-7 例5积分区域 D1y12141yx2yxx11 422110102(,)对于，；yyDyIdyf x y dx 11 4022211 414210(,)4对于，.yyD
11、yIdyf x y dx 12 积分次序得到改变.III三、在极坐标系下的二重积分计三、在极坐标系下的二重积分计算算22 一般来说，当积分区域为圆域或圆域的一部分，被积函数中含有 或.采用极坐标来计算二重积分较为简便。yxyx21()()(,)(cos,sin)一般是先对 积分，后对 积分。形式为，其上积分限和rrDrf x y ddf rrrdr下积分限的确定具体方法如下。1212(),)(),)()()从极点出发作一条射线穿过积分区域，设其与极轴的夹角为。它与 的边界交于两点，穿入点与穿出点的坐标分别为，那么，就是对 积分的下限和上限(若上限和下限的表达形式随 的变化而不同，则 需要分割。
12、DDrrrrrD 射线扫过整个积分区域，则 随之而变动。这时若有。那么，就是对 积分的下限和上限。D0()特别地，当积分区域 的边界线包围极点时，对 的积分下限和上限分别为，。Dr22222222(00)(0)24 计算二重积分，其中 为曲线，和，所围成。DIxy dDaaxyaxyxyy例例6 6解解画出 如图19-8所示，D222将 化为极坐标：，xyara22224cos 将 化为极坐标：，aaxyra 从极点任作射线穿过，D02 显然，(cos,)(,)aa 穿入点、穿出点的坐标分别为，.xyO图19-8 例6积分区域 D222xyaa22224aayx所以 I220cosaadr d
13、r23301(1 cos)3ad312323.a若积分区域如图19-9所示，应怎样做？图19-9 例6积分区域 DxyO222xyaa22224aayx22a222222201(0)4()计算 。aaaxxIdxdyaxyaxy 例例7 7解解22()此题在直角坐标系下计算较为困难.鉴于被积函数形为，因此可考虑用极坐标系计算.f xy220由已知得 xaxyaax 画出，如图19-10所示.D222 sin将 化为极坐标：yaaxra xyO图19-10 例7积分区域 Dyx 22yaax 从极点任作射线穿过.D002 sin4显然，.ra 所以I02 sin22044ardrdrar2 si
14、n004arcsin2arda04()d232.(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、在直角坐标系下将二重积分化为二次积分的关键是什么？2、两类曲线积分的最显著的区别是什么？3、极坐标系下计算二重积分的公式是怎样得来的？4、更换累次积分次序的一般步骤是什么？(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案21,21、更换累次积分的积分次序.xdxf x y dy 1 2、计算二重积分其中是由，轴，轴DxdDy=xxy2220224 .3、将积分化为极坐标形式xdxf xdyy224 11、计算其中是圆的边界且取周顺cydxCxy 所围的区域.时针方
15、向返返 回回1、是选择恰当的积分次序,确定积分区间.返返 回回2、对弧长的曲线积分与积分路径的方向无关,对坐标曲线积 分则与积分路径的方向相关.返返 回回3 cossin ,cos,sin.、是利用代换，后得到的.即DDxryrdrdrdf x y df rrrdrd返返 回回4 、首先根据原累次积分写出积分区域的不等式进而画出的草图，然后根据的草图写出更换次序后的不等式，最后写出更换次序后的累次积分.DDD返返 回回1、：解12 2原累次积分区域：更换积分次序后,xDxy21112 ,.1：更换累次积分后为yyDdyf x y dxxy返返 回回2、：解1111000021xDxddxxdyxx dxxxdx1130021.236xx返返 回回3、：解202 04原二次积分的：xDyx02 02写出极坐标形式为：rD22002.故原二次积分的极坐标形式为：df rrdr返返 回回4、：解22 11，所围整由格林公式可知个区域：，就是.CDQpydxdDxyxy 0 1.故得：CDDydxdd
