1、第五章 定 积 分 的 应 用(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容 利用“微元法”推导了平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长的公式以及利用“微元法”解决了变力做功、引力、质量和液体压力等物理方面的问题。二、重点和难点二、重点和难点“微元法”的思想及其应用是本章重点也是本章的难点。三、对学习的建议三、对学习的建议 在本章所有讨论的问题中，积分式的建立都依赖于“微元法”这种数学思想，对于非均匀变化问题，这是求整体量的普遍方法。在几何方面的应用，已经利用“微元法”推导出一些公式，只需正确地使用公
2、式即可，不需要再从“微元法”做起。要注意的是这类题目一定要先画出正确的草图，以便确定积分变量取 还是取，或是图形是否需要进行分割。xy 对于物理问题的应用，就必须从“微元法”做起。问题是多种多样的，但一般步骤都是相同的。(1)画出正确的草图，建立适当的坐标系以确定积分变量。,(2)确定积分变量变化区间，在其中任取一子区间 。a bx xdx,()(3)应用“以直代曲”、“以不变代变”的思想求出对应于 子区间的待求整体量的微元。x xdxf x dx()(4)写出积分式，解之。baf x dx四、本章关键词四、本章关键词微元法(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、求平面图形面积的方法一
3、、求平面图形面积的方法 到目前为止，已经利用定积分的几何意义和定积分的微元法求得如下面积公式。1、在直角坐标系下()0()(1)连续曲线，及 轴所围图形面积为yf xxaxb abx()baAf x dx (17-1)2121()()()()()(2)由上、下两条连续曲线，及，所围成的图形的面积为yfxyf xfxf xxaxb ab21()()baAfxf x dx (17-2)1221()()()()()(3)由左、右两条连续曲线，及，所围成的图形面积为xg yxgygyg yycyd cd21()()dcAgyg y dy (17-3)()()(4)一般而言，当曲边梯形的曲边由参数方程
4、xx tyy t()()Ay t x t dt给出时，则梯形的面积为 (17-4)()0()().其中，与 分别是由曲边左端点和右端点所对应的参数值。即 y txx2、在极坐标系下()()若曲线方程由极坐标给出：，则由曲线，半直线，半直线 所围成的曲边扇形面积为rrrr21()2Ard (17-5)在具体面积的求解中，可直接利用以上公式，而没有必要再重复“微元法”的过程，这样可以简化求解过程。24(0)2400 求由抛物线，与直线 及 所围成的平面图形的面积。yxyxyy例例1 1 解解22124240(1,2)0,2()44()2yxxyyyyxg yyxgy如图17-1所示，求曲线 与直线
5、 的交点为，取 为积分变量较简便，利用公式(17-3)可得所求面积为2210()()Agyg y dy220424yydy22302412yyy7.3y422O240 xy(1,2)24yxx图 17-1 例 1 示意22(0,4)求抛物线 与其过点 的切线所围成的平面 图形的面积。yxxA例例2 2 解解00000(0,4)22(,)(22)()(0,4)(2,8)(2,0)6424 2,2AyxxyyyxxxABCABACyxyxxx 如图17-2所示，先求出过点与抛物线相切的切线方程。由于，所以过抛物线上的点的切线方程为，因该切线过点，代入该方程可求得两个交点，。这时切线与的方程分别为
6、与。根据题意，取 为积分变量较为简便，。OCBAxy图17-2 例 2 示意12若记所求的面积为 的话，则，利用公式(17-2)，因此可得AAAA2211 2,0()2()64在区间上，取上曲线，下曲线，所对应的面积记为。yfxxxyf xxA 22120,2()2()24在区间上，取上曲线，下曲线，所对应的面积记为。yfxxxyf xxA12AAA022220(2)(64)(2)(24)xxxdxxxxdx 022220(44)(44)xxdxxxdx0232322011242433xxxxxx16.3二、求旋转体的体积的方法二、求旋转体的体积的方法 在第十七章，已经利用微元法建立了求旋转体
7、体积的公式如下：()()1、由曲线，直线，及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为yf xxaxb abxx22()(5-6)bbaaVy dxfx dx()()2、由曲线，直线，与 轴所围成曲边梯形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为xyycyd cdyy22()(5-7)ddccVx dyy dy在具体计算时，可直接利用以上公式求解旋转体的体积。22221 求椭圆 绕 轴旋转所得的旋转体的体积。xyxab例例3 3 解解设所求体积为，xV22221由方程，xyab22221解得 ，xyba2222241.3于是有 aaxaaxVy dxbdxaba22222413(类似可
8、求椭圆绕 轴旋转所得的旋转体的体积，)bbybbyyVx dyadya bbyabOx图 17-3 例 3 示意xba22222211()()xybayxybayyayayy 显然，此环状体的体积等于由右半圆周和左半圆周分别与直线，及 轴所成的曲边梯形绕 轴旋转所产生的旋转体之差(见图17-4)，因此所求的环状体(0)()求圆心在，半径为 的圆绕 轴旋转而成 的环状体的体积。ba bay例例4 4 解解圆的方程为222()xbyaOaa(,0)bxy图17-4 例4示意的体积2221()()aaaaVy dyy dy222222()()aabaybaydy2208abay dy222.a b2
9、2201.4注：由几何意义知其值为aay dya在求一般旋转体的体积时，应注意掌握以下规律和求解方法：22()().(1)明确旋转轴是 轴或是 轴，若是 轴，则被积表达式为；若是 轴，则被积表达式为 xyxfx dxyy dy.(2)画出草图，以帮助明确积分区间.(3)在求解时，注意利用对称性，以简化求解过程三、求平面曲线弧长的方法三、求平面曲线弧长的方法(),前面已经利用“微元法”求得平面光滑曲线 在相应区间上的弧长为yf xa b221()1()bbaalydxfxdx (17-8)()()若平面光滑曲线是由参数方程 ，给出，xttyt 22()()lttdt则所求的弧长为 (17-9)1
10、2()()若平面光滑曲线是由极坐标，给出，rr2122()()lrrd则所求弧长为 (17-10)322(0)3 求曲线 上相应从 到 的一段弧长。yxabab例例5 5 解解12取 为积分变量，并且，利用公式(17-8)，xyx 则所求平面曲线弧长为21()balydx1baxdx322(1)3bax33222(1)(1)3ba(1 cos)求心形线 的周长。ra例例6 6 解解()sinra 取 为积分变量，且，利用公式(17-10)及对称性(见图17-5)所求周长为Oxy2a图17-5 例 6 示意2202()()lrrd2202(1 cos)(sin)ad 0222cosad 022
11、cos2ad022cos2ad08sin2a8.a一般讲，求平面曲线弧长应注意以下两点：由曲线方程的形式，确定积分变量、积分区间及相应的求弧长公式。注意利用对称性以简化求解过程。四、求变力做功的方法四、求变力做功的方法 例例7 7 一条长 50m，质量为30kg的均匀链条悬挂于一建筑物 顶部，问把这链条全部拉上建筑物顶端，需做多少功？解解 用定积分的微元法来计算.0,50.x(1)选变量，定区间 如图17-6所示，取链条向上拉动的距离 为积分变量，它的变化区间是,().(2)取近似，定微元 任取一微小区间，与之对应的一小段链条的质量为5.88，而将该小段拉上建筑物顶所做的功，即功微元为 5.8
12、8x xdxdxNdWxdx5050200(3)求积分，算整量 所做的功为5.88 5.887350.4().2WxdxxWOxxdxx图17-6 例7示意五、求液体的侧压力的方法五、求液体的侧压力的方法 一个边长为 的正三角形薄板垂直地沉没在水中，它的一个边与水面平齐，求薄板一侧所受的压力(水的相对密度为)。a例例8 8 解解用定积分的微元法.Oxxy0,2aAxdx3,02Ba图17-7 例 8 示意32330,2ABayxxa(1)选变量，定区间 建立如图17-7所示的直角坐标系，并画出草图，写出的直线方程，取 为积分变量，为积分区间；230,2,2 323(2)取近似，定微元 在 的变
13、化区间内任取一微小的区间，将竖直放置的细条(见图17-7中阴影部分)近似看作水平放置，即得到压力微元为 ；xax xdxdFxdAxydxaxxdx33222332002 312 313298(3)求积分，算整量 所求的压力为 (压力单位).aaFaxxdxaxxa六、引力的求法六、引力的求法 设有一长度为、线密度为 的均匀细杆，在杆的中垂线上，并且距杆 个单位长度处有一个质量为 的质点。求细杆对质点的引力。lamM例例9 9 解解用定积分的微元法.,2 2yyll(1)取变量，定区间 取杆的中心为原点，杆位于 轴上，建立如图17-8所示的坐标系，取 为积分变量，积分区间为；Oxyy2l2ly
14、dyMar图17-8 例 9 示意2222,2 2,(2)取近似，定微元 在 的变化区间内，视任一小区间对应的一小段细杆为一个质点，其质量为，与相距，因此可求出这一小段细杆对质点的引力的大小为 llyy ydydyMrayMFm dyFkay3222()于是在水平方向的分力的近似值，即微小细杆对质点的引力在水平方向的分力微元为 xxFFMam dydFkay 2322222224()(3)求积分，算整量 求积分得引力在水平方向的分力为 llxam dykm lFkaalay 0.另外，由对称性知道，引力在铅直方向的分力为yF(三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、定积分的
15、几何应用有哪些？3、求旋转体体积时，应注意及掌握哪些规律及方法？4、请简要说明利用定积分微元法解决物理问题的步骤.21212?、在直角坐标系下由上，下两条连续曲线，及，所围成的图形的面积的计算公式是什么yfxyfxfxfxxaxbabA(四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 2 1 4 06 .、设一物体作直线运动，求物体从开始运动到任一时刻所经过的路以度程速ttV ttt2 ln1 .、求由曲线，所围曲边梯形的面积yxxxeS233 1 .、求曲，轴及所围图形绕旋转一周得到的旋转体的体积yxyxyxxV24 1 .、写出求平面光滑曲线在相应区间 0,1 上的弧长的
16、公式yxxL返返 回回1、求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线弧长等.返返 回回 212.、baAfxfxdx返返 回回3 、首先应先明确是绕轴还是轴旋转从而选择不同的计算旋转体体积公式；其次画出草图帮助明确积分区间；最后在应用积分求解时若能用对称性化简方程,注意利用.xy返返 回回4、第一步是选变量，定出积分区间.第二步是取近似，写出积分微元.第三步是求积分，算出要求的整量.返返 回回1、：解 322.342S tv t dtttdtCtt返返 回回2、：解1111lnln1.eeeSxdxxxxdxx返返 回回3、：解1122234600Vxxdxxxdx1157002.5735xx返返 回回4、：解1122001121.Ly dxxdx
