1、 - 1 - 驻马店市 2017-2018 学年度第二学期期终考试 高二数学（理科）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 21i? （ i 为虚数单位）的共轭复数是 ( ) A 1i? B 1i? C 1i?D 1i? 2.若变量 y 与 x 之间的相关系数 0.9832r? ，则变量 y 与 x 之间 ( ) A不具有线性相关关系 B具有线性相关关系 C它们的线性相关关系还需要进一步确定 D不确定 3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学 员各跳伞一次，设命题 p 是
2、“甲降落在指定的范围内” q是“乙降落在指定的范围内”，则命题“甲乙两位学员中至少有一位学员没有降落在指定的范围内”可以表示为 ( ) A ? ? ? ?pq? ? ? B ? ?pq? C ? ? ? ?pq? ? ? D pq? 4.已知等比数列 ?na 中， 2341aaa ? ， 6 7 8 64aaa ? ，则 5a? ( ) A 2? B 2? C.2 D 4 5.若曲线 ln( 1)y ax x? ? ?在点 (0,0) 处的切线方程为 20xy?，则 a? ( ) A -1 B 12? C.12 D 1 6.若实数 ,xy满足 32xxyyx?，则 2xy? 的取值范围为 (
3、) A.? ?1,9 B.? ?5,9 C.? ?3,9 D.? ?3,5 7.已知 a,b 为实数 ,则“ 2ab b? ”是“ a b 0?”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不 充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.某小区的 6 个停车位连成一排 ,现有 3 辆车随机停放在车位上 ,则任何两辆车都不相邻的停放方式有 ()种 . A.24 B.72C.120D.144 - 2 - 9.若抛物线 2y 4x? ,过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点 ,则 2AF BF? 的最小值为 ( ) A. 6 B. 3 2 2? C. 9 D. 3 2 2? 10
4、.在 ABC 中 , ,BC为锐角 , sin sina b B c C?,则 ABC? 的形状为 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直 角三角形 D.以上都不对 11.设双曲线 2222: 1 ( 0 , 0 )yxC a bab? ? ? ?的一个焦点为 F ,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线 ,垂足为 A ,且与另一条渐近线交于点 B ,若 32OF OB OA?,则双曲线 C 的离心率为( ) A. 2 B.2C. 233 D. 143 12.已知函数3( ) 3 lnxef x k x kxx? ? ?,若 3x? 是函数 ?fx唯一的极值点 ,则实数 k 的取
5、 值范围为 ( ) A. 3,27e? ?B. 327e?C. 30,27e? ?D. 30,27e?第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.定积分 1 2( 1 )e x x dx?的值为 _. 14.若 5(2 )ax x? 的展开式中各项 系数之和为 0,则展开式中含 3x 的项为 _. 15.驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩 (单位 :分 )X 服从正态分布? ?2110,10N ,记 ? ?90,110X? 为事件 ? ?, 80,100AX? 为事件 B ,则? ?|PB A _.(结果用分数示 ) 附： ? ?
6、0 .6 8PX? ? ? ? ? ? ? ?； ? ?2 2 0 .9 5PX? ? ? ? ? ? ? ?； ? ?3 3 0 .9 9PX? ? ? ? ? ? ? ?. - 3 - 16.已知函数 ? ?y f x? , 0,2x ?, 1()62f ? ? ,且 ( ) tan ( )f x x f x? ，则不等式? ? sinf x x? 的解 集为 _. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.在 ABC 中 ,角 ,ABC 的对边分别为 ,abc, 60B?且 ,abc成等比数列 , ABC 的面 积为 43.等差
7、数列 ?na 的首项 1 4a? ,公差为 b . (1)求数列 ?na 的通项公式； (2)若数列 ?nc 满足116nnnc aa?,设 nT 为数列 ?na 的前 n 项和 ,求 nT . 18.如图 ,四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 ,底面 ABCD 是等腰梯形 , 60DAB? ? ? , 22AB CD?,M 是线段 AB 的中点 , 1CD? 平面 ABCD . (1)求证 :AC? 平面 1ADM ； (2)若 1 3CD? ,求平面 11CDM 和平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值 . 19.现从某高中随机抽取部分高二学生 ,调査其到校所需的时间 (
8、单位 :分钟 ),并将所得数据绘制 成频率分布直方图 (如图 ),其中到校所需时间的范围是 0100， ,样本数据分组为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 2 0 , 2 0 , 4 0 , 4 0 , 6 0 , 6 0 , 8 0 , 8 0 , 1 0 0. (1)求直方图中 x 的值； (2)如果学生到校所需时间不少于 1 小时 ,则可申请在学校住宿 .若该校录取 1200 名新生 ,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿； (3)以直方图中的频率作为概率 ,现从该学校的高二新生中任选 4名学生 ,用 X 表示所选 4名学生中“到校所需时间少于 40 分钟”的人数 ,求 X 的
9、分布列和数学期望 - 4 - 20.已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 22 ， 23,22M ?是椭圆上一点 . (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆交于 ,AB两点， P 是直线 2x? 上任意一点 .证明：直线,PAPF PB 的斜率成等差数列 . 21.已知函数 ? ? 1( )xf x e ax a R? ? ? ?.若 0x? 是 ?fx的极值点 . (1)求 ?fx在 2,1? 上的最小值； (2)若不等式 ? ?1xkf x xe?对任意 0x? 都成立 ,其中 k 为整数 , ?fx为 ?fx的函数 ,求k 的最
10、大值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中 ,以原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,已知曲线 2: s in 2 c o s ( 0 )C a a? ? ?;过点 ( 2, 4)P? 的直线 l 的参数方程为222242xtyt? ? ? ? ?(t 为参数 ),直线 l 与曲线 C 分别交于 MN、 两点 . (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若 ,PM MN PN成等比数列 ,求 a 的值 . 23.选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 ( )
11、 | 2 | | 2 1 |f x x a x? ? ? ?， 65() 21xgx x? ? . (1)当 3a? 时 ,解不等式 ? ? 6fx? ； (2)若对任意1 51, 2x?,存在 2xR? ,使得 ? ? ? ?12g x f x? 成立 ,求实数 a 的取值范围 . - 5 - 驻马店市 2017-2018 学年度第二学期期中考试 高二数学（理科）试题答案 一、选择题 1-5:ABACB 6-10:CBABA 11、 12： CA 二、填空题 13.124? 14. 3160x? 15.2795 16.(0, 6? 三、解答题 17.【解析】（ 1）由 ,abc成等比数列得
12、2b ac? ， 又因为 14 3 s i n , 6 02ABCS a c B B? ? ? ?， 所以 4b? ， 所以 ?na 是以 4 为首项， 4 为公差的等差数列， 所以 4nan? . (2)由 (1)可得 1 1 1( 1) 1nc n n n n? ? ?， 所以 1 1 1 1 1 1112 2 3 1 1nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 18.(1)证明方法一 :连接 MC ，因为底面 ABCD 是等腰梯形 且 2AB CD? 所以， /AB CD ，又因为 M 是 AB 的中点 因此， /
13、CD AM 且 CD AM? 所以， /AD CM 且 AD CM? 又因为 11/ / AD AD 且 11 AD AD? 所以 11/AM CD 因为， 1CD? 平面 ABCD - 6 - 所以 1AM? 平面 ABCD 所以，平面 1ADM? 平面 ABCD 在平行四边形 AMCD 中，因为 60DAM?, 所以平行四边形 AMCD 是菱形， 因此 AC DM? 所以 AC? 平面 1ADM ； 解法二：底面 ABCD 是等腰梯形， 60DAB?, 22AB CD?, 所以， 2 2 , 3A B B C A C? ? ? 因此 CA CB? 以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系 C
14、xyz? ，则31( 3 , 0 , 0 ) , ( , , 0 )22AD ?, 131( , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 )22MD 由 11DA DA? 得1 31( , , 3)22A所以 ( 3,0,0)CA? , (0,1,0)DM ? , ? ?0,0 3MA? , 1 (0,0, 3)MA ? 因此 0CADM? ，且 1 0CAMA ? 所以 CA DM? 且 1CA MA? 所以， AC? 平面 1ADM (2)底面 ABCD 是等腰梯形， 60DAB?, 22AB CD?, 所以， 2 2 , 3A B B C A C? ? ? 因此 CA CB? 以 C 为坐标
15、原点建立空间直角坐标系 C xyz? ，则? ?3,0,0A , ? ?0,1,0b , 31, ,022M?, ? ?1 0,0, 3D - 7 - 所以，1 31, , 322MD? ? ?,11 31, , 022D C M B? ? ?设平面 11CDM 的一个法向量 ( , , )n x y z? 由 111303 2 3 0n D C x yn M D x y z? ? ? ? ? ? ? ? ?得 ? ?1, 3,1n? 由 1 (0,0, 3)CD ? 是平面 ABCD 的法向量 因此1 5cos , 5n CD ?平面 11CDM 和平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值是
16、55 . 19.解析： (1)由直方图可得 ? ?2 0 2 0 . 0 0 5 0 . 0 1 7 5 0 . 0 2 2 5 1x? ? ? ? ? 0.0025x? (2)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为 : ? ?2 0 0 .0 0 5 0 .0 0 2 5 0 .1 5? ? ? 1200 0.15 180? 估计 1200 名新生中有 180 名学生可以申请住 (3) X 的可能取值为 01,2,3, 4， , 有直方图可知，每位学生上学所需时间少于 40 分钟的概率为 25 - 8 - ? ? 43 8 10 5 6 2 5PX ? ? ? 314 2 3 2 1 6(
17、 1 ) 5 5 6 2 5p x c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2224 2 3 2 1 6( 2 ) 5 5 6 2 5p x C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?334 2 3 9 6( 3 ) 5 5 6 2 5P X C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?42 1 6( 4 )5 6 2 5PX ? ? ?则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81625 216625 216625 96625 16625 X 的数学期望 8 1 2 1 6 2 1 6 9 6 1 6 80 1 2 3 46 2 5 6 2 5 6 2 5 6
18、2 5 6 2 5 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20.解析：（ 1） 12 22 ?yx ； (2)因为右焦点 )0,1(F , 当直线 AB 的斜率不存在时其方程为 1?x ， 因此，设 )y,1(),2( AtP ，则 ),1( yB ? 所以 tytytKKPBPA 21212 ?且 ttKPF ? 12 0所以， PFPBPA KKK 2? 因此，直线 PFPA, 和 PB 的斜率是成等差数列 . 当直线 AB 的斜率存在时其方程设为 ),(),(),1( 2211 yxByxAxky ? 由? ? ? 12)1(22 yxxky 得， 0224)21 2222
19、 ? kxkxk（ - 9 - 所以22212221 21 22,21 4 kkxxkkxx ? ?因此， )22()2 12 1(22 2211212211 xyxyxxtxytxytKK PBPA ?2)1(2 )1(42122214242144)(24)(422222222212121 ?kkkkkkkkxxxxxx? )2 122 12()2 12 1(22 221122112211 xxxxkxxxxkxyxy ? ? ? ? 0)22 12 1( 21 ? xxk 所以， tKK PBPA 2? 又因为 ttKPF ? 12 0所以有 PFPBPA KKK 2? , 因此，直线 PFPA, 和 PB 的斜率是成等差数列 综上可知直线 PFPA, 和 PB 的
