1、第 三 章 任 意 角 的 三 角 函 数(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)任意角的概念，弧度制及角度制的换算关系。(2)任意角的三角函数。二、本章重点、难点二、本章重点、难点(3)同角三角函数关系，诱导公式及应用。(4)三角函数的图像和性质。任意角的概念，三角函数的基本关系，诱导公式的应用，三角函数的图像及性质是重点；弧度制及与角度制的换算，三角函数的各种公式的应用是难点。三、对学习的建议三、对学习的建议180157.357 18(1)角度与弧度的换算公式：弧度.(2)
2、弧长公式：其中 为角的弧度数，为角 所对的圆弧长，为半径.lrlr22(,)sincostancotseccsc(3)任意角的三角函数公式.设角 终边上任一点 的坐标为，它与原点的距离.则角 的正弦，角 的余弦，角 的正切，角 的余切，角 的正割，角 的余割.Px yrxyyxrryxxyrrxy(4)三角函数在各象限的符号(图3-1).sincscxyOcossectancot图3-1 三角函数在各象限的符号(5)特殊角的三角函数值(表3-1).角函数sincostancot0001不存在不存在不存在不存在010232000011xyOxyO(6)同角三角函数的基本关系式.sincsc1co
3、ssec1tancot1倒数关系：sincostancotcossin商的关系：222222sincos11tansec1 cotcsc平方关系：(7)诱导公式.sin()sincos()costan()tancot()cot 的三角函数 sin()sincos()costan()tancot()cot 的三角函数 sin()sincos()costan()tancot()cot 的三角函数 2sin(2)sincos(2)costan(2)tancot(2)cot 的三角函数 2sin(2)sincos(2)costan(2)tancot(2)cot 的三角函数 kkkkk2sin()cos
4、cos()sin22tan()cotcot()tan22 的三角函数 2sin()coscos()sin22tan()cotcot()tan22 的三角函数 3233sin()coscos()sin2233tan()cotcot()tan22 的三角函数 3233sin()coscos()sin2233tan()cotcot()tan22 的三角函数 四、本章关键词四、本章关键词上述公式概括为一句话，“奇变偶不变，符号看象限”.(8)利用三角函数的诱导公式，可将任意角的三角函数化为锐角三角函数，其一般步骤为：终边相同的角弧度制 诱导公式 五点法 三角函数的曲线 把负角的三角函数化为正角的三角函
5、数.202 把大于 的角的三角函数化为 到 之间的角 的三角函数.02 把 到 之间的角的三角函数，运用适当的简化 公式化为锐角的三角函数.求锐角三角函数的值.(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、三角函数的求值问题一、三角函数的求值问题1、已知角 终边上一点的坐标，求角 的各三角函数值方法：利用三角函数的定义去求解.(2,3)已知角 的终边上一点，求角 的各三角函 数值.P例例1 1解解23 因为,xy 2222(2)313所以.rxy所以33 13sin1313，yr22 13cos1313xr 33tan22，yx 22cot33xy 1313sec22，rx 13csc3ry
6、2、已知角 的一个三角函数值，求角 的其他三角函数值法一：利用三角函数的基本关系式去求解.3sin53 已知，且,2，求角 的其他三角2 函数值.例例2 2解解33sin252 因为，且(,)，2234cos1 sin155所以.所以3sin35tan4cos45，114cot3tan34 115sec4cos45，115csc3sin35 说明说明 在利用三角函数的基本关系式求解的过程中，尽量避免应用平方关系式，若必须使用平方关系式，要特别注意根号前正、负号的判断.3cot4 已知，求角 的其他三角函数值.例例3 3解解304因为 cot，所以 为第 或第 象限的角.当 为第 象限的角时，有
7、114tan3cot34，2235csc1 cot144 114sin5csc54，433cossincot545，115sec3cos35 当 为第 象限的角时，有114tan3cot34，2235csc1 cot144 114sin5csc54，115sec3cos35433cossincot545，说明说明在求解过程中，应注意角 所处的象限，若无法确定角 所处的象限，要分情况进行讨论.法二：利用直角三角形去求解12coscsc13 已知，角 处于第象限，求 的值.例例4 412135图 3-2 例4示意解解一画：画角 邻边为12，斜边为13的直角三角形，如图3-2所示.二用：利用勾股定理
8、求出角 的对边为 5.13csc5三求：利用锐角三角函数的定义求出 的绝对值为.3,csc213csc5四定：根据已知条件 确定出 的符号，即.利用直角三角形求三角函数值的基本步骤可概括为“一画、二用、三求、四定”.先求出角 的其他三角函数值的绝对值，再根据角 所处的象限确定其符号.其中要用到勾股定理求第三边，所以熟练掌握一些常见的勾股数，这有助于我们提高解题的速度和准确性.说明说明3、已知条件为三角等式，求另一三角函数式的值.方法：根据已知条件，先求出某一三角函数的表达式，然后代入所要求值的三角函数式，化简后即得结果.224sinsin13coscos2sin1 已知，求 的 值.例例5 5
9、解解2sinsin1因为，22sin1 sincos所以.243coscos2sin1所以 2223cossin2cos122cossin12.二、三角函数诱导公式的应用问题二、三角函数诱导公式的应用问题1、求任意角的三角函数值 法一：利用三角函数诱导公式，可将任意角的三角函数的求值问题转化为锐角三角函数的求值问题，其一般步骤如下：把负角的三角函数化为正角的三角函数.202 把大于 的角的三角函数化为 到 之间的角 的三角函数.02 把 到 之间的角的三角函数化为锐角的三角函 数.求锐角三角函数的值.19cos(870)tan4 求下列各三角函数的值.(1)；(2).例例6 6解解cos(87
10、0)(1)cos870cos(2 360150)cos150cos(18030)cos30 32；19tan4(2)19tan4 3tan 44 3tan4 tan4 tan41.()2 法二：三角函数诱导公式可概括为一句话：“奇变偶不变，符号看象限”，即将角统一记作 .当 为奇数时，函数名称变为它的余函数名称；当 为偶数时，函数名称保持不变，然后在得到的三角函数前加上把角 看作锐角时原三角函数值的符号.kkkkZ5sin(480)cot4 求下列各三角函数的值.(1)；(2).例例7 7解解sin(480)(1)sin(6 9060)sin60 32；5cot4(2)cot324 tan4
11、1.2、三角函数式的化简与求值3sin()seccos()cot223tan()cscsin22 化简 例例8 8解解原式sin(2)sec 3cos()cot222tan(2)csc 3sin222(sin)csc()cos()tan()tan(sec)cos(sin)(csc)costantan(sec)coscos.三角函数诱导公式对于正割或余割函数也同样适用.说明说明32logsin855log tan(480)求 的值.例例9 9解解原式32logsin(9 9045)log tan(6 9060)32logcos45log tan60322loglog3211122.3、三角恒等式
12、的证明sin()cos(2)sec()csc2sec3tan()sin(2)tan2 证明：例例1010证明证明左边sin()cos(2)sec()csc23tan()sin(2)tan2sincossec()csc2 tan()sin(2)(cot)sincos(sec)(sec)tan(sin)(cot)sec右边.sin160 cos110sin250 cos340tan110 tan3400 证明：.例例1111证明证明左边sin(9070)cos(9020)sin(2 9070)cos(3 9070)tan(9020)tan(3 9070)cos70(sin20)(sin70)sin
13、70(cot20)(cot70)sin20(sin20)(cos20)(cos20)cot20 tan20 22(sin 20cos 20)1 1 10 右边.4、已知角 的三角函数值，求角 1sin022 已知，求 到 之间 的角.例例1212解解1sin02因为，所以角 在第 或第象限.11sin30302由，得到一个解.1sin(18030)sin302又由，218030150得到另一个解为 .三、三角函数的最值问题三、三角函数的最值问题 对于一些简单的三角函数，可以直接由基本三角函数的值域得到其最值.对于那些较复杂的三角函数，一般转化为代数函数求其最值，下面介绍几种常用的求解三角函数最
14、值的方法.(1)直接分析法 根据基本三角函数的值域直接分析出给定函数的最值点，求出最值.34sin2 求函数 的最值.yx例例1313解解1sin21因为，x 34sin2函数 有最大值yxsin21当 时，x 34sin2函数 有最小值yxmin341.y sin21所以当 时，x max34(1)7.y 4cos*2cos3 求函数 的最值.xyx例例1414解解原函数变形为：(2cos3)4cosyxx43cos21即 yxy1cos1因为 ，x 431121所以.yy 解不等式得：355，ymaxmin355所以，.yy (2)不等式法 先对给定函数变形，表示出三角函数，然后利用基本三
15、角函数的值域，列出不等式，最后解不等式得到给定函数的最值.(3)配方法 先把给定函数配成完全平方的形式，再利用基本三角数的值域，分析得到给定函数的最值.232cos2sin2 求函数 的最值.yxx 例例1515解解232cos2sin2因为 yxx 232(1 sin)2sin2xx 212sin2sin2xx212 sinsin14xx212 sin12xmax7sin12所以 当 时，有；xymin1sin12当 时，有.xy 说明说明sinsin 利用配方法求三角函数的最值时，应特别注意最值点位置的找取.本例中当 取最大值时，给定函数也取到最大值，然而当 取最小值时，给定函数却取不到最
16、小值.xx四、三角函数最小正周期的求法四、三角函数最小正周期的求法三角函数的最小正周期，一般不外乎以下几种情况.sincosseccsc2tancot 对于基本三角函数、，其最 小正周期为；对于函数、，其最 小正周期为.xxxxTxxT2sin()|对于三角函数，其最小正周期为 (余弦、正割、余割函数类同).AxT12sin3sec232 求下列三角函数的最小正周期.(1)；(2).yxyx 例例1616解解222|(1)；T22|2|(2).Ttan()|对于三角函数，其最小正周期为 (余切函数类同).AxT11tan2cot2223 求下列函数的最小正周期.(1)；(2).xyyx 例例1
17、717解解21|2(1)；T1|(2).T 若三角函数取绝对值，则对于第类情况，其最小正周期 减半，对于第类情况，其最小正周期不变.|sin|2 cos|2 tan(2)|33 求下列函数的最小正周期.(1)；(2)；(3).xyxyyx 例例1818解解122|(1)T122；122|(2)T13123；|(3)T|2|2.sin|函数 不是周期函数.yx 若给定函数中含有多个不同的三角函数，可以利用下一章的 知识化为一个单一的三角函数，然后再求其最小正周期(略).注意注意()()()利用周期函数的定义求：若，则函数 的周期为.f xTf xf xT()|sin|cos|求函数 的最小正周期
18、.f xxx例例1919解解2因为 fxsincos22xx|cos|sin|xx|cos|sin|()xxf x2所以 T(三三)思考题思考题 1、角度制与弧度制的换算紧抓哪个等式?三角函数各象限 符号如何记忆？两大类诱导公式如何记忆？2、求任意三角函数值的步骤是什么？3 、为锐角,2各是第几象限角?常用的求解三角函数最值的方法有几种.4、求三角函数的最小正周期有几种类型?答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1 ,、已知是终边上一点-4,3求角的正切,余割?P2 cos0 tan0.、根据且确定是第几象限?13 2sin?26、利用定义和公式求的周
19、期y=x4 cos31 、求的最值.yx(四四)课堂练习题课堂练习题1 3 2、应紧抓 180弧度等式展开学习换算；三角函数各象限符只背正号情况即可，第一象限全正；第二象限正弦，余割为正；第三象限正切，余切为正；第四象限余弦，正割为正，其余情况均为负号：两大诱导公式-,，2为同名函数；，为不同名函数.2返返 回回 2 02 02 .2、先将负角变正角三角函数，再把大于的三角函数化为间三角函数，第三步将间化成锐角三角函数，再求之返返 回回3 .、分别为第三，二象限角.2分别为第一，四象限角；常见的求最值方法是：直接分析法，不等式法，配方法返返 回回 4 (1).(2)sin cos sec csc 2 tan cot .2 (3)、有三种方法：定义法：，周期为 基本三角函数，周期为，周期为利用公式，前者用于正弦，余弦，正割，余割，后者用于正切，余切.fX+Tf xTxxxxxxTT返返 回回返返 回回221 35、-4,3,-4；x=y=r=35tan,csc.43 返返 回回2 cos0 tan0 、由知为第二，三象限角；知为二，四象限角；因同时成立.为第二象限角.返返 回回11 2sin22sin226261 2sin4.263、定义法 yxxx 4.周期为12 4.122公式法：，T返返 回回4 1cos312 0.最大值最小值、，；xyy
