1、 - 1 - 桂梧高中 2017 2018 年度第二学期期考 高二数学试题理科卷 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间 120分钟。 第 I卷 一、 选择题 1 复数 z= 2+2i，则 的虚部为 ( ) A 2i B 2i C 2 D 2 2 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4种蔬菜中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法共有 （ ） A 24种 B 18种 C 12种 D 6种 3 x2dx的值为 ( ) A B 1 C D 4已知 0ab?，则下列不等关系式中正确的是 ( ) A sin sinab? B 22l
2、og logab? C 1122ab? D 1133ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5已知函数 )( 11ln)( Rax axf ? ?.命题 p： )(, xfRa? 是奇函数 ； 命题 q： )(, xfRa? 在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ） A p? B qp? C ? ? qp? D ? ?qp ? 6 当 ? ?2,0?x 时，函数 3)1(4)( 2 ? xaaxxf 在 2?x 时取得最大值，则 a 的取值范围是 ( ) A. 1 , )2? ? B. ? ?,0 C. ? ?,1 D. 2 , )3? 7 函数 f（ x） =x3 3x的单调递减
3、区间为 ( ) A（ 0， + ） B（ ， 0） C（ 1， 1） D（ 1， + ） 8某考察团对全国 10大城市进行职工人均平均工资 x 与居民人均消费 y 进行统计调查 , y 与x 具有相关关系 ,回归方程 562.166.0? ? xy (单位 :千元 ),若某城市居民消费水平为7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（ ） - 2 - A 66% B 72.3% C.67.3% D.83% 9设随机变量 X N（ 2， 4），则 D（ 21 X）的值等于 ( ) A 1 B 2 C.21 D.4 10二项式 3032a a?的展开式的常数项为第（ ）项 A 17 B
4、18 C 19 D 20 11 用数学归纳法证明 1+ + +?+ n（ n N*， n 1）时，第一步应验证不等式 ( ) A B C D 12 定义在 R 上的奇函数 )(xfy? 满足 0)3( ?f ，且不等式 )()( xfxxf ? 在 ),0( ? 上恒成立，则函数 )(xg = 1lg)( ? xxxf 的零点的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 第卷 二、填空题 13某种植物的种子发芽率是 0.7，则 3颗种子中恰好有 2颗发芽的概率是 14在（ 1+x） n（ n N*）的二项展开式中，若只有 x5系数最大，则 n= 15曲线 2yx? 与直线 yx? 所围成的
5、封闭图形的面积为 16在 ABC中， D为 BC的中点，则 = （ + ）将命题类比到空间：在三棱锥 A BCD中， G为 BCD的重心，则 = 三、解答题 17等比数列 ?na 中， 1 5 314a a a?， （ 1）求 ?na 的通项公式； （ 2）记 nS 为 ?na 的前 n 项和若 63mS ? ，求 m 18某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产- 3 - 方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位： min
6、）绘制了如下茎叶图： （ 1）根据茎 叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （ 2）求 40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （ 3）根据（ 2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?， ? ?2P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19 在平面直角坐标系中 xOy，已知椭圆
7、 E： =1（ a b 0）过点 ，且椭圆 E的离心率为 （ 1）求椭圆 E的方程； （ 2）是否存在以 A（ 0， b）为直角 顶点且内接于椭圆 E的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由 20一个盒子中装有 5 张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是 1、 2、 3、 4、 5，现从盒子中随机抽取卡片 (1) 若从盒子中有放回的取 3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率； (2) 若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数 X的分布列和期望 21 如图 ， 在 AB
8、C中 ， ABC 60， BAC 90， AD是 BC边上的高沿 AD把 ABD折- 4 - 起 ， 得如图 所示的三棱锥 ， 其中 BDC 90 . (1)证明：平面 ABD 平面 BDC； (2)设 E为 BC的中点 ，求 AE与 DB夹角的余弦值 22设函数 f（ x） =x2+aln（ x+1） （ 1）若 a= 12，写出函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 f（ x）在 2， + ）上单调递增，求实数 a的取值范围； （ 3）若在区间 0， 1上，函数 f（ x）在 x=0处取得最大值，求实数 a的取值范围 - 5 - 桂梧高中 2017-2018学年度第二学期期末考试试题
9、 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A D D D C D A C B C 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、 0.441 14、 10 15、 16、 = （ + + ） 三、解答题（共 70分） 17.（本小题满分 10分） 解： （ 1）设 na 的公比为 q ，由题设得 1nnaq? . 由已知得 424qq? ，解得 0q? （舍去）， 2q? 或 2q? . 故 1( 2)nna ? 或 12nna ? . （ 2）若 1( 2)nna ? ， 则 1
10、 ( 2)3 nnS ?.由 63mS ? 得 ( 2) 188m? ? ，此方程没有正整数解 . 若 12nna ? ，则 21nnS ?.由 63mS ? 得 2 64m? ，解得 6m? . 综上， 6m? . 18.解：（ 1）第二种生产方式的效率更高 . 理由如下： （ i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79分钟 .因此第二种生产方式的效率更高 . （ ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5分钟，用第二种生产方
11、式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟 .因此第二种生产方式 的效率更高 . （ iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80分钟，因此第二种生产方式的效率更高 . （ iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多， 关于茎 7 大致呈 对称分布 ， 又用两种生产方式的工人 完成 生产 任务所- 6 - 需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方
12、式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成 生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高 .以上给出了 4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 . （ 2）由茎叶图知 79 81 802m ?. 列联表如下： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 （ 3）由于 22 4 0 (1 5 1 5 5 5 ) 1 0 6 . 6 3 52 0 2 0 2 0 2 0K ? ? ? ? ?，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 . 19. 解：（ 1）由 得 ， 又 故椭圆 E方程为 x2+4y2=a2， 椭圆 E经过点 ，则
13、所以 a2=4， b2=1， 所以椭圆 E的标准方程为 （ 2）结论：存在 3个满足条件的直角三角形 理由如下： 假设存在这样的等腰直角三角形 BAC，明显直线 AB 的斜率存在， 因为 A点的坐标为 A（ 0， 1），设直线 AB 的方程 AB： y=kx 1（ k 0）， 则直线 AC的方程为 由 得：（ 1+4k2） x2 8kx=0， 所以 x=0，或 ， 所以 B点的 纵坐标为 ， - 7 - 所以 同理 ， 因为 BAC是等腰直角三角形， 所以 |AB|=|AC|，即 ， 即 ， 所以 k3+4k=1+4k2，即 k3 4k2+4k 1=0， 所以（ k3 1） 4k（ k 1）
14、=0， 即（ k 1）（ k2 3k+1） =0， 所以 k=1，或 k2 3k+1=0， 所以 k=1，或 所以这样的直角三角形有三个 20.解：（ ）由题意知本题是独立重复试验， 设 A表示事件 “ 有放回地抽取 3次卡片， 每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数 ” ， 由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为 ， 则 （ ）依题意， X的可能取值为 1， 2， 3， 4 ， ， ， ， 所以 X的分布列 - 8 - 21. 证明：因为折起前 AD是 BC边上的高 ， 所以当 ABD折起后 ， AD DC， AD DB. 又因为 DB DC D， 所以 AD 平面 BDC. 因为
15、 AD?平面 ABD， 所以平面 ABD 平面 BDC. (2)解：由 BDC 90 及 (1)， 知 DA， DB， DC两两垂直不妨设 |DB| 1， 以 D为坐标原点 ，以 DB， DC， DA所在直线分 别为 x轴、 y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 易得 D(0，0， 0)， B(1， 0， 0)， C(0， 3， 0)， A(0， 0， 3) 因为 E为 BC 中点 ， 所以 E? ?12， 32， 0 . 所以 AE ? ?12， 32， 3 ， DB (1， 0， 0) 所以 cos(AE， DB) AE DB|AE|DB|12224 1 2222 . 故 AE与 DB夹角的余弦值是 2222 . 22. 解：（ 1）当 a= 12， f（ x） =x2 12ln（ x+1）（ x 1）， f
