1、 1 2017 年春学期期考高二 数学（文）试卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2,0,2?A ， 02| 2 ? xxxB ，则 ?BA? ( ) A ? B 2 C 0 D 2? 2. ?ii131 （ ） A i21? B i21? C i21? D i21? 3.已知双曲线 )0(13222 ? ayax 的离心率为 2，则 ?a （ ） A 2 B 26 C 25 D 1 4.若 31tan ? ，则 ?2cos （ ） A 54? B 51?
2、 C. 51 D 54 5.设 FED , 分别为 ABC? 三边 ABCABC , 的中点，则 ?FCEB （ ） A AD B AD21 C BC21 D BC 6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ?20 B ?24 C. ?28 D ?32 7.设 3lo g,2lo g,2lo g 253 ? cba ，则 （ ） 2 A bca ? B acb ? C. abc ? D bac ? 8.函数 )sin( ? ? xAy 的部分图象如图所示，则 （ ） A )62sin(2 ? xy B )32sin(2 ? xy C )62sin(2 ?
3、xy D )32sin(2 ? xy 9.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A ?12 B ?332 C. ?8 D ?4 10.已知 na 是公差为 1 的等差数列， nS 为 na 的前 n 项和，则， ?10a （ ） A 217 B 219 C. 10 D 12 11.执行如图的程序框图，如果输入的 x ， t 均为 2，则输出的 ?S （ ） A 4 B 5 C.6 D 7 3 12.已知直三棱柱 111 CBAABC ? 中， 0120?ABC ， 2?AB ， 11 ?CCBC ，则异面直线 1AB 与 1BC 所成角的余弦值为 （ ） A 23
4、 B 515 C. 510 D 33 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. yx, 满足约束条件?02201202yxyxyx ，则yxz ?3 的最大值为 14. 甲、乙两名运动员各自等可能地 从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 . 15.已知向量 )1,(),2,1( mba ? .若向量 ba? 与 a 垂直，则 ?m 16.已知双曲线过点 )3,4( ，且渐近线方程为 xy 21? ，则该双曲线的标准方程为 三 、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明
5、过程或演算步骤 .） 17.已知等差数列 na 的公差不为零， 251?a ，且 13111 , aaa 成等比数列 . （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）求 23741 ? naaaa ? . 18.如图，在三棱锥 ABCP? 中， ABPA? ， BCPA? ， BCAB? ， 2? BCABPA ，D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点 . （ 1）求证：平面 ?BDE 平面 PAC ； 4 （ 2）当 /PA 平面 BDE 时，求三棱锥 BCDE? 的体积 . 19.某公司为了解用户对其产品的满意度，从 BA, 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满
6、意度 评分， 得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的 频数分布表 . A 地区用户 满意度评分的频率分布直方图 B 地区用户满意度评分的 频数分布表 满意度评分分组 )60,50 )70,60 )80,70 )90,80 100,90 频数 2 8 14 10 6 （ 1）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方 图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （ 2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 5 估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 . 20.已知椭圆 C
7、 ： )0(12222 ? babyax 的离心率为 22 ，点 )2,2( 在 C 上 . （ 1）求 C 分方程； （ 2）直线 l 不过原点 O 且不平行于 坐标轴， l 与 C 有两个交点 BA, ，线段 AB 的中点为 M ，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 . 21.已知函数 )1(ln)( xaxxf ? . （ 1）讨论 )(xf 的单调性； （ 2）当 )(xf 有最大值，且最大值大于 22?a 时，求 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 x
8、Oy 中，圆 C 的方程为 25)6( 22 ? yx . （ 1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （ 2）直线 l 的参数方程是? ? ?sincosty tx（ t 为参数）， l 与 C 交于 BA, 两点， 10| ?AB ，求 l 的斜率 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 0|,|2|1|)( ? aaxxxf （ 1）当 1?a 时，求不等式 1)( ?xf 的解集； （ 2）若 )(xf 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6， 求 a 的取值范围 . 6 试卷答案 一、选择题 1-5： BBDDA 6-10： CDAA
9、B 11、 12： DC 二、填空题 13 4 14 31 15 14 22 ?yx 16 7 三、解答题 17.（ 1） 设 数列 na 的公差为 d ，由已知得： 131211 aaa ? ，即 )1225(25)1025( 2 dd ?解得 0?d （舍去）； 2?d ， 272 ? nan . （ 2） 23741 ? nn aaaaS ?，由（ 1）得 31623 ? na n ，所以 23?na 是首项是 25，公差为 6? 的等差数列，所以 nnnnaanSnn 283)566(2)(2 2231 ? ?. 18、解： (1)证明： 由已知得 ?PA 平面 ABC ， ?PA 平
10、面 PAC ， 平面 ?PAC 平面 ABC ，平面 ?PAC 平面 ACABC? ， ?BD 平面 ABC ， ACBD? ， ?BD 平面 PAC ， ?BD平面 BDE ， 平面 ?BDE 平面 PAC . (2) /PA 平面 BDE ，又 平面 ?PAC 平面 DEBDE? ， ?PA 平面 PAC ， DEPA/ ，D 是 AC 中点， E 为 PC 的中点， 1?DE ， 122212121 ? ? ABCB D E SS ，311131131 ? DEV B C DE . 19、解：（ 1） 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出， B 地区用户满意度评分的平均值高于
11、 A 地区用户满意度评分的平均值， B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散 . （ 2） A 地区用户满 意度等级为不满意的概率大 . 记 AC 表示事件： “ A 地区用户满意度等级为不满意 ” ；记 BC 表示事件： “ B 地区用户满7 意度等级为不满意 ” .由直方图得 )( ACP 的估计值为 6.010)03.002.001.0( ? ， )( BCP 的估计值为 25.010)02.0005.0( ? ， 所以 A 地区用户满意度等级为不满意的概率大 . 20、解：（ 1） 由题意有 124,222222 ? baa ba ，解得 4,8 22 ? b
12、a ，所以 C 的方程为 148 22 ?yx . （ 2）设直线 l ： )0,0( ? bkbkxy ， ),(),(),( 2211 MM yxMyxByxA ，将 bkxy ?代入 148 22 ?yx 得 0824)12( 222 ? bk b xxk ，故 12 22221 ? k kbxxxM，12 2 ? k bbkxy MM ，于是直线 OM 的斜率 kxyk MMOM 21? ，即 21?kkOM ，所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 . 21、 （ 1） )(xf 的定义域为 ),0( ? ， axxf ? 1)( ，若 0?a ，则 0)( ?xf ，
13、所以 )(xf 在),0( ? 单调递增；若 0?a 时，则当 )1,0( ax? 时， 0)( ?xf ，当 ),1( ? ax 时， 0)( ?xf ，所以 )(xf 在 )1,0( a 单调递增，在 ),1( ?a 单调递减 . （ 2）由（ 1）知，当 0?a 时， )(xf 在 ),0( ? 无最大值；当 0?a 时， )(xf 在 ax 1? 取得最大值，最大值为 1ln)11()1ln ()1( ? aaaaaaf ，因此 22)1( ? aaf 等价于01ln ?aa ， 令 1ln)( ? aaag ，则 )(ag 在 ),0( ? 单调递增， 0)1( ?g ，于是，当 1
14、0 ?a 时，0)( ?ag ；当 1?a 时， 0)( ?ag ，因此， a 的取值范围是 )1,0( . 8 22、（ 1）解：由 ? sin,cos ? yx ，可得 C 的极坐标方程 011cos122 ? ? . （ 2）在（ 1）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 )( R? ? ，由 BA, 所对应的极径分别为 21,? ，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 011cos122 ? ? ，于是 11,c o s12 2121 ? ? ，44c o s1444)(| 22122121 ? ?AB ， 由 10| ?AB 得 83cos2 ? ， 315tan ?
15、 ，所以 l 的斜率为 315 或 315? . 23、解：（ 1）当 1?a 时， 1)( ?xf 化为 01|1|2|1| ? xx ， 当 1?x 时，不等式化为 04?x ，无解； 当 11 ? x 时，不等式化为 023 ?x ， 解得 132 ?x ； 当 1?x 时，不等式化为 02?x ，解得 21 ?x ； 所以 1)( ?xf 的解集为 232| ?xx . （ 2）由题设可得，?axaxaxaxxaxxf,211,2131,21)( ，所以函数 )(xf 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 )1,(),0,12(),0,3 12( ? aaCaBaA ， ABC? 的面积为 2)1(32 ?a ，由题设得 6)1(32 2 ?a ，故 2?a ，所以 a 的取值范围为 ),2( ? .
