1、学习目标1.会画二次函数会画二次函数y=ax2+k的图象的图象.重点重点2.掌握二次函数掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用的性质并会应用.难点难点3.理解理解y=ax与与 y=ax+k之间的联系之间的联系.重点重点这个函数的图象是如何画出来的？情境引入xy21840yx 导入新课导入新课二次函数y=ax2+k的图象和性质(a0)一做一做：画出二次函数 y=2x,y=2x2+1，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点上下、函数最值、函数增减性.11-1313讲授新课讲授新课 22246448y=2x2+1y=2x2y=2x2-1观察上述图象，说说它有哪些特征.探
2、究归纳解：先列表：例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象212yx2112yx212yx2112yx921122120122923321323112xy-4-3-2-1o1234123456212yx2112yx描点、连线，画出这两个函数的图象观察与思考 抛物线 ，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？212yx2112yx212yx2112yx二次函数开口方向顶点坐标 对称轴向上向上0,00,1y轴y轴想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a0)的性质是什么？y-2-2422-4231xy23121xy23122xyx0二次函数y=ax2+k的图象和性质(a0)二做一做在同一坐标
3、系内画出以下二次函数的图象：根据图象答复以下问题:(1)图象的形状都是 .(2)三条抛物线的开口方向_;(3)对称轴都是_(4)从上而下顶点坐标分别是 _抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最大值分别为_、_(6)函数的增减性都相同：_高大大y=0y=-2y=2对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小二次函数y=ax2+ka 0的性质知识要点例2：二次函数yax2+c,当x取x1，x2x1x2时，函数值相等，那么当xx1+x2时，其函数值为_.解析：由二次函数yax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x
4、20.把x0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c【方法总结】二次函数yax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两局部折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表-1213x2x22x2-1(x,)(x,)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移三2x2+142224648102y=2x21y=2x21 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.下y=2x2+1上从
5、形的角度探究从形的角度探究二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当k 0 时,向上平移k个单位长度得到.当k 20=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标0，-3.导入新课导入新课情境引入 我校九年级学生姚小鸣同学怀着冲动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.xyxyxy1y=ax22y=ax2+k3y=a(x-h)2+k4y=ax2+bx+cOOO导入新课导入新课问题引入 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的
6、一局部，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化你能想出方法来吗？讲授新课讲授新课利用二次函数解决实物抛物线形问题一建立函数模型建立函数模型这是什么样的函数呢？这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二线，所以应当是个二次函数次函数你能想出方法来吗？你能想出方法来吗？合作探究怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为2ya x-2-421-2-1A如何
7、确定a是多少？水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A2，-2在抛物线上，由此得出因此，其中 x是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化212yx 222a g12a 解得由于拱桥的跨度为米，因此自变量x的取值范围是：水面宽3m时 从而因此拱顶离水面高32x21391.125228y2.452.45x现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？我们来比较一下我们来比较一下0，04，02，2-2，-22，-20，0-2，02，00，2-4，00，0-2，2谁最谁最适宜适宜yyyyooooxxxx知识要点建立二次函数模型解决实际问
8、题的根本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？典例精析解：建立如下图的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).数学化B(1,2.25)(0,1.25)CDoAxy 根据对称性，如果不计其它因素
9、，那么水池的半径至少要，才能使喷出的水流不致落到池外.当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理，点 D的坐标为(-2.5,0).设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=(x-1)2+2.25.B(1,2.25)(0,1.25)DoAxyC 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m如下图的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；OACDByx20 mh解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.该抛物线过(10,-4),-4=100a，ayx2.练一练利用二次函数解决运动中抛物线型问题二例2：如图，一名运发动
10、在距离篮球圈中心4m水平距离远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球到达最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运发动出手时的高度是多少米？解：如图，建立直角坐标系.那么点A的坐标是1.5，3.05，篮球在最大高度时的位置为B0，3.5.以点C表示运发动投篮球的出手处.xyO解得 a=0.2，k=3.5，设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5.当 x=2.5时，y=2.25.故该运发动出手时的
11、高度为2.25m.2.25a+k=3.05，k=3.5，xyO1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，那么球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米关于水平距离x(米的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.2113822yxxxyO2当堂练习当堂练习3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m如图，那么这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 C4.某工
12、厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一局部组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m1在如下图的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式 解：1设抛物线的表达式为y=ax2.点B6，5.6在抛物线的图象上，5.6=36a，抛物线的表达式为745 a.2745 yx.2现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？2设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为k，t，窗户高1.6m，t=5.61.6=4 ，解得k=，CD=5.07210.14m设最多可安装n扇窗户，1.5n+0.8n1+0.8210.14，解得n4.06那么最大的正整数为4答：最多可安装4扇窗户.27445 k6 3575悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)假设以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如下图，求这条抛物线对应的函数表达式；yxO-450450
