1、 1 2016-2017 学年度下学期高二期末考试 理科数学试题 一选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分） 1设集合1 | 2 1, R xM x x? ? ?， 2 | log 1, R N x x x? ?，则MN?等于（ ） A.3,4) B.(2,3 C.(1,2) D.(0,1) 2在复平面内，复数 z满足? ?1 1 3z i i? ? ?，则 z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3命题p：“,0 Rx?使020?x”，命题q：“2a?且b是4ab?成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（ ） A
2、. pq?B. ?C. ?D. ?4“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、 亥十二个符号叫地支 .把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表” .2016 年是“干支纪年法”中的丙申年，那么 2017 年是“干支纪年法”中的（ ） A. 丁酉年 B. 戊未年 C. 乙未年 D. 丁未年 5下列求导运算正确的是（ ） A. ? ? 12 2xxx ?B. ? ?3 3ee?C. 2 2112xx? ? ?D. ? ?2cos si ncos cosx x
3、 x xx x?6从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为12， 3， 6，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ） A. 536B. C. 12D. 127已知两个随机变量,XY满足 24?，且 X)2,1( 2N，则? ? ? ?,E Y D Y依次是（ ） A3,22B1,12C,12D1,228设? ? 7 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 712 x a a x a x a x a x a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ?，则代数式 1
4、 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7a a a a a a a? ? ? ? ?的值为（ ） A. -14 B. -7 C. 7 D. 14 2 9如图，圆被其内接三角形分为 4 块，现 有 5种颜色准备用来涂这 4 块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 360 种 B. 320 种 C. 108 种 D. 96 种 10已知直线20ax by? ? ?与曲线3yx?在点? ?1,1P处的切线互相垂直，则ab的值为（ ） A. 13B. 2C. 23?D. 111已知函数( ) ln ln( 2 )f x x x? ? ?，则 ( ) A. )
5、(xfy?的图像关于点（ 1,0）对称 B. ()fx在（ 0,2）单调递减 C. ?()fx的图像关于直线1x对称 D. 在（ 0,2）单调递增 12设函数? ? 21ln 2f x x ax bx? ? ?，若1?是?的极大值点，则a的取值范围是（ ） A. ? ?1,0?B. ? ?1,? ?C. ? ?D. ? ?1,?二填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13如下图，由函数xxxf ? 2)(的图象与x轴、直线2?x围成的阴影部分的面积为 _. 14已知函数? ? lnf x x?，则函数? ? ? ? ? ?g x f x f x?在区间? ?2,e上的最大值为 _ 15已知(
6、) xf x xe?，2( ) ( 1)g x x a? ? ? ?，若12, R?，使得21( ) ( )g x?成立，则实数a的取值范围是 _ 16已知函数? ? ? ?21xf x e x ax a? ? ? ?，其中a?，若存在唯一的整数0x，使得? ?0fx?，则 的取值范围是 .(e为自然对数的底数 ) 三解答题（ 17 题 10 分， 18-22 题每题 12 分，共 70 分） 3 17选修 4-5： 不等式选讲 已知|12|2|)( ? xxxf， M为不等式0)( ?xf的解集 . （ 1）求 M； （ 2）求证：当Myx ?,时， 15| ? xyyx. 18选修 4-4
7、：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 ，过点(2, 1)P ?的直线l的倾斜角为45?，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin 4 cos? ? ?，直线l与曲线C的交点为A，B （ 1）求曲线 的直角坐标方程； （ 2）求| PBPA?及|AB的值 . 19如图 ，在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为矩形， PCD?为等边三角形， 2BC AB?，点 M为 中点，平面PCD?平面 . （ 1）求异面直线 PD和 AM所成角的余弦值； （ 2）求二面角 AM D?的大小 . 4 20从某市的高一学生中随机抽取 400 名同学的体重进行统计，得到如图
8、所示频率分布直方图 . （）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率； （）假设该市高一学生的体重 X服从正态分布? ?257,Na. （）利用（）的结论估计该高一某个 学生体重介于54 57kg之间的概率； （）从该市高一学生中随机抽取 3 人，记体重介于之间的人数为 Y，利用（）的结论，求 Y的分布列及)(YE. 21已知函数? ? ? ?ln xaf x a Rx?. （ 1）若曲线? ?y f x?在点? ?1, 1f处的切线与直线10xy? ? ?平行，求a的值； （ 2）在（ 1）条件下，求函数?fx的单调区间和极值 . 22已知函数? ? ? ? ? ?323 ,
9、 3 6 1 3xf x x x m g x e m x? ? ? ? ? ? ?（,m Re?为自然对数的底数） （）试讨论函数?的零点个数； （）证明：当0m?且x时，总有? ? ? ?g x f x?. 5 参考答案 1-12 DABABCCABDCB 13 1;1411e?;151 , )e? ?;163,12?17 试题解析：（ 1）解：?21,3212,132,3)(xxxxxxxf当2?x时，由03?x得3?，舍去； 当212 ? x时，由013 ?x得31?x，即2131 ? x； 当21?x时，由03?x得3?x，即3?x； 综上，)3,31(?M. （ 2）证明：My?,，
10、3| ?x，|， 153333| ? yxyxxyyxxyyxxyyx. 18试题解析： （ 1）2sin 4 cos? ? ?，22si n 4 cos? ? ? ?， cos?，sin y， 曲线C的直角坐标方程为2 4yx? （ 2）直线l过点(2, 1)P ?，且倾斜角为45?， l的参数方程为22,2212xtyt? ? ? ?（t为参数）， 代入2 4?，得2 6 2 14 0tt? ? ?， 设点A，B对应的参数分别为1t，2， 12 14tt?，,62 ?t| | | |PA PB?, 2122121 4)(| ttttttAB ? 28)14(4)26( 2 ?. 19试题解
11、析： 6 取CD的中点O，连接OP， PCD?为等边三角形， ?P CD?，又平面PCD?平面ABCD， P AB CD? 平 面以 为原点，过点 垂直CD的直线为x轴， OC为y轴， OP为 z轴建立如图所示的 空间直角坐标系-xyz. 2BC AB?，不妨设2 2 2AB BC?则,依题意可得： ? ? ? ? ? ?2 1 , 0 0 1 0 0 0 3 ( 2 1 , 0A D P M?， ， ， ， ， ， ， ， ， ）（ 1）? ?0 1 3 ) 2 2 0PD AM? ? ? ? ?（ ， ， ， ， ，, 从而 2PD AM? ?,26PD AM，?26c os 626PD
12、AMPD AMPD AM? ? ? ?，于是异面直线 PD和 AM所成角的余弦值为66. （ 2）因为OP AB CD? 平 面，所以0 0 3OP?（ ， ， ）是平面 ADM的法向量， 设平面 PAM的法向量为? ?n x y z? ， ，又? ?2 2 1 3PA ? ? ?， ， 由?nP?即2 2 3 02 2 0x y zxy? ? ? ? ? ?，令1y?得? ?21 3n ? ， ，于是? ? 2 222 0 1 0 3 3 2os 22 1 ( 3 ) 3n O Pn O P n O P? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，从而二面角 P AM D?的大小为45. 20.试
13、题解析： （）这 400 名学生中，体重超过60kg的频率为? ? 10.04 0.01 5 4? ? ?， 由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率为14. （）（）? ?257,XN ?， 1( 60) 4PX?，1( 54) 4， 11(54 60) 1 2 42? ? ? ? ? ?，1 1 1(54 57 ) 2 2 4? ? ? ?. （）因为该市高一学生总体很大， 所以从该市高一学生中随机抽取 3 人，可以视为独立重复实7 验， 其中体重介于54 57kg之间的人数13,4YB?， ? ? 33 1344iiiP Y i C ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、 ? ?， 0,1,2,3i?. 所以 Y的分布列为 01 2 3P27642764964164133 44EY ? ? ?. 21试题解析：（ 1）函数? ? ? ?0,f x x x的 定 义 域 为所以? ? 21 ln .xafx x?又曲线? ? ? ? ?1, 1y f x f? 在 点处的切线与直线10xy? ? ?平行，所以? ?1 1 1, 0.f a a? ? ? ? 即（ 2）令? ? 0,x x e? ?得当 x 变化时， ? ? ? ?,f x f x?的变化情况如下表： + 0 极大值 由表可知： ?fx的单调递增区间是?0,e，单调递减区间是? ?,?所以? ?f
15、 x x e?在处取得极大值， ? ? ? ? ln .ef x f e e?极 大 值1e?22 试题解析：（） ? ? 323f x x x m? ? ?零点个数即为方程323x x m?的根的个数 . 记? ? 3h x x x m? ? ?，则? ? 3 2h x x?，令? ?0hx?得0?或2. 当x变化时， ? ? ?,x h x的变化情况如下表： ? ?,0?0? ?0,22 ? ?2,?8 ?hx? 0? 0? ?单调递增 极大值 单调递减 极小值 4? 单调递增 故可画出?的草图如图所示： 由图象知：当4m?或0?时，函数?fx有一个零 点； 当?或?时，函数?有两个零点；
16、 当40m? ? ?时，函数 有三个零点 . （）? ? 2 3 6f x x x?，设函数? ? ? ? ? ? 23 3 6 3 ( 0)xu x g x f x e x m x x? ? ? ? ? ?， 则? ? ? ? 3 2 2xu x e x m? ? ?， 记? ? 22v x e x m? ? ?，则? ?2xv e?， 当x变化时， ? ? ?,x v x的变化情况如下表： ?0,ln2ln2 ? ?ln2,?vx? 0? ?单调递减 极小值 单调递增 由上表可知? ? ? ?ln2v x v?，而? ? ? ?l n 2l n 2 2l n 2 2 2 l n 2 2 2 l n 2 1v e m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由0m?知， ln2 1?. 所以? ?ln2 0?，所以? ? 0vx?，即?0ux，所以?在区间?0,?上为增函数， 所以当x时， ? ? ?00u x u?. 即当0?且 时， ? g f x?.
