1、l第一节 简单随机样本l第二节 参数估计l第三节 假设检验 从本节开始介绍数理统计知识,数理统计的任务 是以概率论为基础,根据试验所得的数据,对研究对象的客观规律作出合理的估计和推断.本节介绍总体,样本,统计量及几个常用统计量的分布等数理统计的基本知识.一、总体与样本数理统计是从局部观测资料的统计特性,推断随机现象整体统计的一门科学,其方法是:从所有研究的全体对象中,抽取一小部分试验,然后进行分析和研究,根据这一小部分所显示的统计特性,来推断总体的统计特性.例如,研究某工厂生产的电视机显像管的平均寿命,由于检测显像管寿命具有破坏性,因此只能从所有产品中抽取一部分进行寿命测试,然后再根据这部分显
2、像管的寿命数据,对所有显像管的平均寿命进行推断.在数理统计中把研究对旬的全体称为总体,把组成总体的每一单元称为个体,例如上述工厂生产的所有显像管就组成一个总体,其中每个显像管就是一个个体.,XX在实际中,往往关心 的不是研究对象的全部情况,而是它的某一个或几个指标,如对显像管,主要关心的是它的寿命,这可用一个随机变量 来描述 为了方便起见 今后就把总体与随机变量 等同起来,因此,总体就是某个随机变量取值的全体.1212121212,.,(,),(,)(,),.nnnnnXnXXXnXnXXXXnXXXXXXx xx 在一个总体 中 抽取 个个体这 个个体称为总体的一个样本 样本所含个体的数目
3、称为样本容量由于是从总体 中随机抽取出来的可能结果 可以看作 个随机变量 记为在一次抽取后就有了一组确定的值,相应记为称为样观测简称样本值本值X 新总体和样本的关系而言,样本是局部,总体是整体,为了保证样本能较好地代表总体,要求抽取的方法要统一,即应使总体中每个个体被抽到的机会均等,同时要求每次抽取是独立的.即每次抽取结果不影响其他各次抽取的结果,也不受其他各次抽取结果的影响,这样的抽取方法叫作简单随机抽样,用简单随机抽样得到的样本叫作简单随机样本,今后凡是提到的抽样及样本都有是批简单随机抽样和简单随机样本,因此,对来自总体 的一12(,).nXXXX样本是一组相互独立且与总体 具有相同分布的
4、随机变量二、统计量在数理统计中,并不是直接利用抽样样本进行估计,推断,而需要对样本进行一番提炼和加工,即针对不同的问题构造出样本的各种函数.1212(,),nnXXXXXXX设为总体 的一样本 随机变量的函数称为样本函数 若样本函灵敏中不含参数并且连续 这样函数称为统计量.12121212,(,)(,)(,)(,).nnnnx xxXXXg x xxg XXX显然 统计量是一个随机变量 如果为的一组观测值,则称为的一个统计值12(,),nXXXX设是总体 的一个样本 则称统计量11niiXXn,为样本均值 统计量2211()1niiSXXn212;,nSSx xx为样本方差 称的算术平方根 为
5、样本标准差.它们观测值用相应的小写字母表示,即对于一组样本值样本值11niixxn,表示数据集中的位置 样本方差2211()1niisxxn22,xss刻画了数据对均值 的离散程度越大,数据越分散,波动越大越小,数据越集中,波动越小.三、统计量的分布1212(,)(,),nng XXXnXXX 统计量是 个随机变量的函数 它也是随机变量.统计量的概率分布又称抽样分布,由于许多随机现象服从正态分布,本书的数理统计部分重点研究正态总体的推断问题,所以仅介绍正态总体统计推断中起重要作用的几个由正态总体样本构成的统计量的分布./XUn统计1.量212(,),(,),nXNXXXX 设总体是 的一样本
6、可以证明2(,)XNn将其标准分的随机变量记作/XUn(0,1).UN这时/XTSn统计2.量2122(,),(,),nXNXXXXXS 设总体是 的一样本 样本均值样本方差为经过较复杂的数学推导 可以证明 统计量/XTSn1,(1).()nTTT n服从于自由由度为的 分布 记作这里提到的自由度是指特殊的参数.2,TTTXnnTT 分布是对称分布,分布曲线形态很像标准正态分布.分布的密度函数与总体 的均值 及方差无关 只与样本容量 有关 当较大时,分布近似于标准正态分布.图10-1给出几个不同的自由度的 分布曲线,供参考.101 T图 分布曲线012120.20.4t()f T10n 1n
7、222(1)nS统计的分布3.量2122222(,),(,),(1),nXNXXXXnSS 设总体是 的一样本 样本方差为可以证明 统计量2221,(1)nn服从自由度为的分布 记作22,102,Tn 分布与标准正记分布分布有明显不同 它是一种不对称分布,是惟一参数 图给出几个不同自由度的分布曲线 供参考.2102 x图 分布曲线1 3579 11 13 15 170.10.20.30.40.501n 4n 10n y()f y2122SFS统计的分布4.量2122111222221222212(,)(,),(,)(,),nnXXXXNY YYNXYSS 如果是取自正态总体的样本是取自正态总体
8、Y的样本且 与 相互独立 样本方差分别为和那么的条件下 结过较复杂的数学推导可以证明,统计量2122SFS1212121,1(1,1)11.nnFFF nnnn服从自由度为的 分布,记作式中称为第一自由度;称为第二自由度103 F图 分布O2120nn 212520nn 211020nn 思考题?1.常用的统计量有哪些答案 2.统计量的概率分布称为抽样分布,请列举几种常见的抽样分布.答案3.统计量与统计值的区别是什么?答案课堂练习题23232323,),11112 1.设总体 服从上的均匀分布,已知,未知,是来自总体 的一个样本,则下列选项中是统计量的是哪个?并说明原因.1A)B)4C min
9、 D)Xa,babXXXXXXXabXXXbXb XXbXa答案2112222.1,2,1,2,.设是来自总体的一个样本是来自总体的样本且两总体是相互独立的 请写出服从的分布iiXinNY imNXY 答案12,(),.nxxxX数量统计研究的主要内容是统计推断,本节将研究统计推断中的重要内容之-参数估计.所谓的参数估计就是根据样本观测值估计总体 分布的未知参数或数字特征.数理统计之所以与一般的统计不同,就在于它不仅能估计款知参数值,而且还能由给定的可靠程度 置信度 确定估计的精度 本节仅介绍参数的点估计与区间估计一、参数的点估计121212(,),(,)(,),.nnnXXXx xxx xx
10、点估计的基本思想是:先用一定的方法构造出一个估计量然后依据样本值计算出估计量的观察值并以此值 作为所要估计的总体参数 的数值1.样本数字特征法,由于样本不同程度地反映总体的信息 所以人们自然想到用样本数字特征作为总体相应的数字特征的点估计量,这种方法称之为数,它是求点估计量常用的方法.它并不需要知道总体分布形式.字特征法X以样本均值 作为总体均值 的点估计量,即11niiXXn11,.niixxn而为 的点估计值22,S以样本方差作为总体方差的点估计量 即22211()1niiSXXn222211().1niiSXXn而为的点估计值2.估计量的评选标准,.由于总体参数 的值未知 无法知其 的真
11、值自然人们希望估计量 的观察值与 的真值的近似程度越高越好,这样的估计效果比较理想,这就需要确定评选估计量的好坏标准.下面介绍两种常用的评选标准.(1)无偏性 由于估计量是样本的函数,是随机变量,它对于每一个样本观测值都会得到不同的估计值,自然希望这些不同值能以不同值以参数真值为中心左右摆动,也就是希望一个好的估计量的均值等于未知参数的真值,个有这种特性的估计量,称为无偏估计量.,()0,.E义 设 为未知参数 的估计量 若成立 则称 为 的无偏估计量定1,X 设总体 的均值与方差存在由于例11111()nniiiiE XEXEXnn1111()()niiE Xnnnn222211:()(),
12、1niiE SEXXX Sn 2同样可证所以分别是,的无偏估计量.211()1niiXXn而估计量的均值211()1niiEXXn2111()1niinEXXnn22.S这说明该统计量不是总体方差的无偏估计量.这就是为什么通常取样本方差作为总体方差的估计量的原因(2)有效性 有时个一未知参数的无偏估计量不只一个,那么如何比较它们的好坏呢?为使估计的效果更好,当然希望估计值更接近于参数 的真值,也就是希望估计量 与 的真值偏差越小越好,这种偏差大小可用2()()ED()E因为来衡量,故有下述定义.1212122,()().DD 定义 设是 的两个无偏估计量,若则称较有效123,.nnXXX 取容
13、量为的样本证明均值 的三个无偏估计量例2 123123()()(),EEE 显然说明都是 的无偏估计量.但由于3123123123111111,.3236iiXXXXXX较有效32211131()()393iiDD XDX22212311111114()236493636DDXXX231()()DD X123123()()(),.DDD则有这就证明了较有效证二、区间估计1.置信区间的概念,在点估计中,未知参数 的估计虽然具有无偏性或有效性 但是一随机变量 的观察值只是 的一个近似值,在实际问题中,往往还希望根据样本给出一个被估计参数的范围,使它能以较大的概率包含被估参数的真值,这个范围通常用区
14、间形式表示,所以称为参数的区间估计.下面引入置信区间的概念 1212,(),(01),义 设 为总体分布的一个未知参数,由样本确定出两个统计量对于给定的值能满足条件定3121P 1212,1()则区间称为 的1-置信区间,分别称为置信下限与置信上限称为置信度 又置信水平.12121212(,)(,),(,)95%.nnnXXXXXXXXX当取置信度过1-=0.95时,参数 的0.95置信区间的意思是:由样本所确定的一个置信区间中含 真值的可能性为122,(,).nXXXNn 本节仅研究总体均值与方差1-置信区间的求法,并设为自正态总体的容量为 的样本2.正态总体均值的置信区间(1),X 22总
15、体方差已知 求 的1-置信区间.由于已知 含有及估计量 的统计量(0,1)/XUNn于是对给定的置信度1-,由标准正态分布有|1P U 12,.(,.)UU查标准正态分布表 确定这时 称之为临界值 对于分布的临界值 的求法:=查表即可求得1,/XXPnn 因为由解出1P XXnn 所以可得 的1-置信区间为,XXnn(:mm).X 某厂生产滚珠,从长期实践知道滚珠直径 可认为服从正态分布,从某天的产品里随机抽取6个,量得直径如下 单位例314.6 15.1 14.9 .14.8 15.4 15.2(1-0.95)如果知道该天产品直径方差是0.05,试求:平均直径的置信区间1(14.6+15.1
16、+14.9+14.8+15.4+15.2)15.0.6x|10.95,P U 由查标准正态分布表,可得=1.960.051.960.186n所以,0.9515,-0.18,15+0.18,14.82,15.18.,因此 滚珠平均值径置信度为的置信区间为即换句话讲 滚珠直径的均值在14.8215.18mm之间的可能性约为95%.置信度1-可以先不同的值,因而确定不同的临界值,从而得到不同的置信区间,通常先取1-=0.90,0.95,0.99等.,nn置信区间的长度越小,估计越精确,置信度过1-越大,估计越可靠.自然希望估计范围要小,而可靠性要大,但对于固定的样本容量 来说 这是办不到的.如果不降
17、低可靠性,而要缩小估计范围,那么必须适当加在样本容量.解2(2),S总体方差未知 用样本均方差 代替它 其统计量为(1)/XTT nSn|1P T 对于给定的置信度1-,由2,1.(:(1),.)nTTTn 如图10-4所示 查自由式度为的 分布表确定临界值对于分布的临界值 的求法查表即可求得t图10-4 分布临界值t()f t1,./XXPSnSn 由于由解出 故1SSP XXnn 得置信区间为,SSXXnn3.正态总体方差的置信区间222(1)(1),nSn因统计量对于给定的置信度1-为了方便 取22122PP22121,122PP 得2122212105,1,.,2nPP 如图查自由度为
18、的分布表 确定临界值和由于得1052图 分布临界值Oy()f y22122121P 所以2122(1)1nSP 即22221(1)(1)1nSnSP 得置信区间为2221(1)(1),nSnS(:cm)随机地从一批钉子抽取16枚,测得其长度 单位为例42.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10,2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11,:设钉长服从正态分布 试求2(1)0.90;(2)0.90总体 的置信度为的置信区间总体的置信度为的置信区间.由给定的样本值,经计算可得222.15.0.01713xs(1),1.753.
19、0.90T由1-=0.90,查自由度为15的 分布表 可得所以的置信水平为的置信区间为2.125-0.0075,2.15+0.0075,2.1175,2.1325;即解122(2),7.26,25.00.902由1-=0.90,查自由度为15的分布表 可得得出置信水平为的置信区间为,0.00018,0.0006125.07.262215 0.0171315 0.01713即2.,上述置信区间均为双侧置信限,但对于许多实际问题,只需要确定置信上限或下限之一即可.如对某种材料的强度,用户只要求材料的平均强度不得低于一个值,否则就不能使用.这就需要估计材料强度均值的置信下限,而置信上限取为+下面仅介
20、绍正态总体未知 均值 的单侧置信下限的求法.已知统计量(1)/XT nSn1,/XTPSn 于是对于给定的置信度1-,由 分布有成立可得单侧置信区间为,SXn2222(,),1160kgf/cm,99.75kgf/cm,(1kgf/cm=98.067kPa).XNxs 设某种材料的强度现进行5次测试,得样本强度均值样本均方差试求材料强度均值 的0.99置信下限例55,10.99,nT依题意由 分布表 查得自由度为4的=3.7469,得99.753.7469167.25sn20.991160 167.2992.5(kg/cm)sxn所以 的置信下限为992.8,+,2这时 的单侧置信区间为这就是
21、说明这批材料的强度有99%的可能超过992.8kgf/cm解思考题1.?评价估计量的优劣的常见标准是什么答案2.1,2,总体 与个体具有相同的概率分布 这一命题是否正确?iXXin答案222111?13.与都可以作的无偏估计-1量吗 为什么nniiiiXXXXnn答案课堂练习题21.,.求正态总体均值的置信区间时,如果总体方差已知 试写出应选取合适的统计量 并写出该统计量答案222.,设总体已知问样本容量 取多大时才能使 的95%的置信区间的长度不大于?XNn 答案,在实际问题中 不仅需要依据样本估计总体未知参数,还需要依据样本检验未知参数是否等于某个数.如在生产工艺改变后,检验新工艺对产品的
22、某个指标是否有影响时,就需要抽样检验总体的某个参数(如均值,方差等)是否等于改变前的参数值,这样的问题就属于设检验.与参数估计一样,假设检验也是推断的主要内容之一.假1.假设检验的基本原理先从一个例子谈起.2(4.55,0.108).,XN 已知某炼铁厂的铁水含碳量 在某种工艺条件下服从正态分现改变了工艺条件 又测了5炉铁水,其含碳量分别为例14.28 4.40 4.42 4.35 4.37若方差没有变化,问总体均值有无变化?,由样本观测值 可求出样本均值的观测值1(4.284.404.424.354.37)4.3645x,4.3644.55().x从数据看与之间有差异 或误差 这个误差可能包
23、含了两种不同性质误差.解(1)由于生产过程受偶然因素的影响所造成的,即随机误差,这种误差即使在同一种工艺条件下,也是不可避免的.(2),由于工艺条件的改变所造成的误差 即条件误差.显然,如何正确地判断条件误差是否存在是问题的关键.但上述两种误差经常纠缠在一起,除了明显的情况外,一般是难判断的那么,如何区分这两种误差呢?具体做法如下.2,(4.55,0.108).xN假设不存在条件误差,也就是说,与 的误差纯粹是随机误差 或者说 样本仍可看作是由原来总体中抽取的在假设=4.55的前提下,有4.55(0,1)0.108/5XUN|1.960.95.P U 查标准正态分布表,可知0.05.,U其中是
24、根据需要选定的,1.96是在 选定之后由表上查得的.一般要求 不能过大,使得在原假设条件成立的条件下,|1.96是个小概率事件.根据已知的样本值实际计算可得4.554.3644.553.90.108/50.108/5xU|3.9|1.960.05 1.961.96UP U得与中比较,显然3.9,()xx可见 在原假设 即 和 的误差纯粹是随机误差 成立的前提下,小概率事件居然在一次抽样中发生了,这就不能不怀疑原假设的正确性,从而否定原假设,认为 和 的误差是条件误差起主要作用即工艺条件的改变使总体均值有了显著的变化.U 如果根据已知的样本值计算出|1.96,则不能否定原假设,或者说假设是相容的
25、,常采用接受的假设的态度.概括地讲,假设检验的推断原理是小概率事件原理.小概率事件原理:通常概率很小的随机事件,在一次试验或观察中是几乎不发生的,若发生了,则该事件可能不是小概率事件.1.96U 上述例子中,|是假设的小概率事件,在一次抽样中居然发生了,因而拒绝假设.二、假设检验的步骤0(1),.H提出原假设即明确所要检验的对象00022(2).:,HHHU TFUTF 建立检验所用的统计量对检验统计量有以下两个要求它与原假设有关 在成立的前提下,不带有任何总体的未知参数;在成立的条件下的分布已知.正态分布总体常用的检验统计量为并称相应的检验为检验法检验法检验法检验法11111(3):(,0.
26、05),(,)(,),0.05,0.01,.PPA2222222222 确定拒绝域 在给定的 下 此时 称为检验水平或显著性水平 如上例中查分布表得统计量的临界值由事件为小概率事件 称为拒绝域通常取等其中又分别称上临界值与下临界值(4)根据样本观测值计算出统计量 的观测值,并作出判断.00,AHH如果事件 发生则拒绝否则接受原假设并作出实际问题的解释.现在将例1解答如下.0(1):4.55;H原假设24.55(2)0.108,/0.108/5(0,1);XXUnN2由于总体方差已知,统计量20.025222(3)0.05,|0.05,1.96(1.96,1.96),(,1.96)(1.96,)
27、;P UUUUUU 对于给定的由查正态分布表,可得这时为上临界值为下临界值即拒绝域为04.454.3644.45(4)4.364,3.9|3.90.108/50.108/51.96,XxUUH 由得且所以拒绝原假设即工艺的改变使总体均值有了显著变化.三、一个正态总体的期望和方差的检验0,H假设检验的关键是提出原假设并选用合适的统计量 检验步骤完全相信 正态总体的有关检验问题及方法见表10-1.表10-1 正态总体的有关检验问题及方法0H原假设00()为常数22020()为常数条件2已知2未知未知检验法UT2选用统计量0/XUn0/XTSn22020(1)nS统计量分布(0,1)N(1)T n
28、2(1)n0,H在显著水平 下的拒绝域22(,)(,)UU 22(,(1)(1),)TnT n 221122(0,(1)(1),)nn2(,),6,(:MPa).XN 根据长期经验和资料分析,某瓷砖厂生产的瓷砖的搞断强度现从该厂的产品中随机抽取 块 测得抗断强度 单位如下例23.256,2.966,3.164,3.000,3.187,3.103,2,MPa(=0.05)?假定未知 检验这批瓷砖的平均抗断强度为3.25是否成立 取00(1):3.250;H原假设20(2),(1)/XTT nSn由于未知 选取统计量(3)3.113,6,0.1203,XnS由于故03.1133.250|2.79/
29、0.1203/6XTSn解0.05,T对查 分布表可得临界值20.025(1)(5)2.57TnT(,2.57)(2.57,);因而拒绝域为0(4)|2.792.57,TH因为故拒绝即不能认为这批瓷砖的平均抗断强度是3.250四、两个正态总体方差相等的假设检验12,F 下面仅介绍两个正态总体均值都未知 用 分布检验它们的方差是否相等.221122221212122212(,),(,),.XNYNX YX Yn nSSF 设总体且相互独立 从中分别抽取容量为的样本 样本方差分别为在未知的条件下 利用 分布检验方差的程序如下22012(1):;H提出待检假设212122(2),(1,1)SFFF
30、nnS选用统计量并确定其分布12(3),22P FP F对于给定的检验水平由12,.F如图10-6所示,查 分布表 确定临界值 和120120(4),;,FFFHFH由给定的样本值 计算 的值 若或则否定若则接受F图10-6 分布临界值2xy212,.F在这里 需要指明 分布表的用法如下,F本书附有 分布表 对于给定的概率已给出了满足等式1P F1212,22P FP F的临界值.但是,临界值 和必须满足等式21212111,1,122,.PP FnnFF 即直接查自由度为的 分布表 可得但求 却要费点周折由于212122(1,1)SFF nnS2121221(1,1)SF nnFS故2111
31、11,1,nnF从而查自由度为的 分布表 可得再取倒数 得到1212211,(1,1)(1,1)F nnF nn综合上述情况可得 某一橡胶配方中,原用氧化锌5g,现将氧化锌减为1g.分时别对两种配方作抽样试验,结果测得橡胶的伸长率如下.例3原配方 540.533,525,520,545,531,541,529,534,;新配方 565,577,575,580,575,556,542,560,570,561.()(=0.10)?问两种配方的橡胶伸长率 设它们服从正态分布 的总体方差有无显著差异22012(1):;H提出待检假设2122(2),(8,9)SFFFS选用统计量并确定其分布12(3)0
32、.10,0.052P FP F对于检验水平由解211112219,1813.39,0.295;18,3.3919,3.23;nnFnnF 查第一自由度为第二自由度的 分布表,得1从而临界查第一自由度为第二自由度为的 的分布表 得2221122263.86(4),63.86,236.8,0.270236.8SSSFS由样本值个体计算 得100.2700.295,.0.10,FH由于即所以否定即在检验水平下可认为两种配方的橡胶伸长率的总体方差有显著差异.思考题1.什么是显著性水平?通常取什么值?答案2.假设检验所使用的概率原理是什么?答案3.利用假设检验解题的一般步骤是什么?答案课堂练习题2219
33、.5,1.25,0.051.某厂对废水进行处理,要求有害物质的浓度不超过19mg/L,现抽样得到10个数据,得问在时能认为处理后符合标准吗?XS答案2,3057,1409002.任取12袋面粉进行检测得重量 单位是克得求该面粉重量的方差的置信度为0.95的置信区间.XS答案21.,.XSS有样本均值样本方差样本标准差 等返回22.,t,.xF有 分布 分布分布分布等返回3.1,2,1,2,.,.iiXinXXin统计量是这样的函数:设为总体 的一个样本 称的函数为样本函数 它不含任何参数且是连续的而统计值是数值 两者有本质区别返回1.解:D是统计量.因为只有D不含有未知参数,这是由统计量定义可
34、知的.返回2.解:12,.E XE YXY且 与 相互独立 2212,D XD Ynm221212,.X YNnm所以-返回1.无偏性、有效性.返回2.是正确的.返回22122122221123.,1,.niiniinniiiiEXXnXXnnEXXXXnnn1 不可以.因为所以只有-11可以作为的无偏估计量 而-111所以不能作为的无偏估计量返回1.解:0,1.XUNn选取的统计量为返回2.解:2,0.05n 置信区间长度为是的标准正态分布的临界值.22221.96:215.37.nn据题意有得返回1.,0.10,0.05,0.01.给定的值0 1 称做显著性水平 通常取等返回2.假设检验的
35、推断原理是小概率事件原理返回03.1,2.H一般步骤为 提出原假设建立检验所用的统计量301,.W在给定的显著性水平下 确定拒绝域04,.HH0根据样本观测值计算统计量的观测值看是否落入拒绝域 若落入则拒绝否则接受返回1.解:0:19,:H即处理后符合标准对2=0.10查t 9 得1.833,临界值01.833XSn拒绝域为019.5 191.4141.833,101.25 10XS但 即未落入拒绝域.所以认为处理后的废水符合标准.返回2.解:n=0.05,-1=11.2220.050.05122113.82,1121.9;xx1查表211549900nS2方差的95%的置信区间为:22211,70700,405000.nSnS1返回
