1、 - 1 - 2016-2017 学 年度第二学期期末考试 高 二数学 (理科 )试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.在 复平面内复数 131 iz i+= +对应 的点在 ( ) A第 一象限 B第 二象限 C第 三象限 D第 四象限 2.对 具有线性相关关系的两个变量 x 和 y ， 测得一组数据如下表所示： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 m 根据 表格，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为 10.5 1.5yx=+， 则 m= ( ) A 85
2、.5 B 80 C 85 D 90 3.数学 归纳法证明不等式 ( )*1 1 11 , 22 3 2 1n n n N n+ + + + ，则不等式 ( ) ( ) ( )22 0 1 7 2 0 1 7 9 3 0x f x f+ + - - 的 解集为 ( ) A ( ), 2020-? B ( ), 2014-? C.( )2014,0- D ( )2020,0- 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） - 3 - 13.36的 所有约数之和可以按以下 方法 得到 ： 因为 2236 2 3=? ， 所以 36的 所有正约数之和为( ) (
3、 ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 3 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 2 2 1 3 3 9 1+ + + + ? ? + ? ? + + + + =， 参照上述方法，可求得 200的 所有正约数之和为 14.四 根绳子上共挂有 10只 气球，绳子上的球数依次为 1， 2， 3， 4， 每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是 15.若 1ba且 3log 6 log 11abba+=， 则 3 21a b+ -的 最小值为 16.已 知函数 ( ) 1 lnxf x xx-=+， 则 ()fx在
4、1,22轾犏犏臌上 的最大值等于 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已 知函数 ( ) ( )3 20f x ax bx a= - + . (1)在 1x= 时 有极值 0， 试求函数 ()fx解析 式； (2)求 ()fx在 2x= 处 的切线方程 . 18.某 校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验，甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在 60,100 区 间内 (满分 100分 )，并绘制频率分布直方图如图所示，两个班人数 均 为 60 人 ，成绩 80 分
5、 及以上为优良 . (1)根据以上信息填好 22 联 表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？ (2)以班级分层抽样，抽取成绩优良的 5人 参加座谈， 现从 5人 中随机选 3人 来作书面 发 言，- 4 - 求 发 言人至少有 2人 来自甲班的概率 . (以下临界值及公式仅供参考 ) ( )2 0P k k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.0722.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ( )( ) ( ) ( ) ( )22 n a d b cK a b c d a c b d-= + +
6、+ +， n a c d= + + + . 19.已 知函数 ( ) 2 1 2f x x x= + - -， 不等式 ( ) 2fx 的 解集为 M . (1)求 M ； (2)记集合 M 的 最大元素为 m ， 若正数 ,abc满足 2232a b c m2+ + = ， 求 2ab bc+ 的 最大值 . 20.在 平面直角坐标系 xOy 中 ，曲线 1c 的 参数方程是 1 3cos3sinxy aa =+=(a 为 参数 )，以原点 O 为极点， x 轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2c 的 极坐标方程为 1r= . (1)分别写出 1c 的 极坐标方程和 2c 的 直角 坐
7、标 方程； (2)若射线 l 的 极坐标方程 ( )03pqr=?，且 l 分别 交曲线 1c 、 2c 于 A 、 B 两点， 求 AB . 21.为弘扬民族 古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正 10分， 否则记负 10分 ，根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为 23； 现记 “ 该选手在回答完 n 个 问题后的总得分为nS ”. (1)求 6 20S= 且 ( )0 1,2,3iSi? 的 概率； (2)记 5XS= ， 求 X 的 分布列，并计算数学期望 ( )EX. 22.已 知函数 ( ) (
8、) 2ln 2f x a x a x x= - + +. (1)求函数 ()fx的 单调区间； (2)若对于任意 4,10a ， 12, 1,2xx ， 恒有 ( ) ( )121 2 1 2f x f xx x x xl- - 成立 ，试求 l 的 取值范围 . - 5 - 南充 高中 2016-2017学 年度第二学期期末考试 高 二数学 (理科 )试题 参考 答案 一、选择题 1-5:ABCDD 6-10:BACDC 11、 12： AA 二、填空题 13.465 14.12600 15.22 1+ 16.1ln2- 三、解答题 17.解 ： (1) ( ) 23f x ax b=-，
9、因为在 1x= 时 有极值 0， 所 以 2030abab - + = -=， 解得 13ab = =. 所 以 ( ) 3 32f x x x= - +. (2) ( ) 2 3 3f x x=-， 在 2x= 处 切线的斜率： ( ) 2 9kf=， ( ) 32 2 3 2 2 4f = - ? =. 切 线的方程： ( )4 9 2yx- = - 即 9 14yx=- . 18.(1) 是否 优良 班级 优良 (人数 ) 非 优良 (人数 ) 合计 甲 30 30 60 乙 20 40 60 合计 50 70 120 ( ) 22 1 2 0 3 0 4 0 3 0 2 0 24 3
10、.4 3 2 .7 0 66 0 6 0 5 0 7 0 7K 创 -?= = 创 ? ， 则 有 90% 的 把握认为学生成绩优良与班级有关 . - 6 - (2) 3 2 13 3 235 710C C CP C+=. 19.解 ： (1)由 ( ) 2 1 2 2f x x x= + - - ?， 当 12x 时 不等式无解， 故 51x- ， 所 以集合 51M x x=- . (2)集 合 M 中 最大元素为 1m= ， 所以 2 2 23 2 1a b c+ + = . 2 2 2ab bc ab b c+ = + ?， 而 2 2 2 2 2 2 22 2 3 2 1222 2
11、2 2a b b c a b ca b b c + + + + 祝 + = =. 所 以 2ab bc+ 的 最大值为 12. 20.解 ： (1)将 1c 的 参数方程化为普通方程为 ( )2 213xy- + = ， 即 222 2 0x y x+ - - =， 所 以 1c 的 极坐标方程为 2 2 cos 2 0r r q- - =， 将 2c 的 极坐标方程化为直角坐标方程为 221xy+=. (2)将3pq=代 入 21 : 2 cos 2 0c r r q- - =整理 得 2 20rr- - = ， 解 得 1 2r = ， 即 1 2OA r=. 因为 曲线 2c 是 圆 心
12、在原点，半径为 1 的 圆， 所 以射线 ( )03pqr=?与 2c 相 交，即 2 1r = ， 即 2 1OB r=. 故 12 2 1 1AB rr= - = - =. 21.解 ： (1)当 6 20S= 时，即 回答 6个 问题后，正确 4个 ，错误 2个 ，又 ( )0 1,2,3iSi? 前 三个问题回答正确，则其余三 个问题可任意回答正确 1个 . 故 所求概率为： 2132 2 2 2 1 1 63 3 3 3 3 8 1PC 骣琪= 创创 ? 琪桫. - 7 - (2)由 5XS= 可 知 X 的 取值为 10， 30， 50， ( ) 2 3 3 223552 1 2
13、1 4 010 3 3 3 3 8 1P X C C骣 骣 骣 骣琪 琪 琪 琪= = + =琪 琪 琪 琪桫 桫 桫 桫， ( ) 4 1 1 441552 1 2 1 3 030 3 3 3 3 8 1P X C C骣 骣 骣 骣琪 琪 琪 琪= = + =琪 琪 琪 琪桫 桫 桫 桫， ( ) 5550552 1 1 150 3 3 8 1P X C C骣骣琪琪= = + =桫桫. 故 X 的 分布列为： X 10 30 50 P 408130811181( ) 4 0 3 0 1 1 1 8 5 01 0 3 0 5 08 0 8 0 8 0 8 1EX = ? ? ?. 22.解 ：
14、 (1)函数的定义域为 ( )0,+? ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 1 2 2 x a x a x a xaf x a xx x x- + + - -= - + + = =， 当 0a 时 ， 函数在 ( )0,1 上 单调递减，在 ( )1,+? 上 单调递增， 当 02a 时， 函数在 ( )0,1 ， ,2a骣琪 +?琪桫上 单调递增，在 1,2a骣琪琪桫上 单调递减 . (2) ( ) ( )121 2 1 2f x f xx x x xl- - 恒 成立，即 ( ) ( )121211f x f x xxl-?恒 成立， 不妨 设 21xx ， 因为当 4
15、,10a 时， ()fx在 1,2 上 单调递减， 则 ( ) ( )12 1211f x f x xxl骣琪-? 琪桫， 可得 ( ) ( )1212f x f xxxll-?， 设 ( ) ( ) ( ) 2ln 2g x f x a x a x xll= - = - + + -， 所 以对于任意的 4,10a ， 12, 1,2xx ， 21xx ， ( ) ( )12g x g x 恒 成立， 所 以 ( ) ( )g x f xxl=-在 1,2 上 单调递增， - 8 - ( ) ( ) ( ) ( )32222 1 2 20x a x x a x a xgx x x x ll-
16、- - + + += + = ?在 1,2x 上 恒成立， 所 以 ( )322 2 0x a x ax l- + + + ?在 1,2x 上 恒成立， 即 ( )2 3 22 2 0a x x x x l- + + - + ?在 1,2x 上 恒成立， 因为 当 1,2x 时， 2 0xx- + ? ， 所 以只需 ( )2 3 21 0 2 2 0x x x x l- + + - + ?在 1,x 上 恒成立， 即 322 12 10 0x x x l- + + ?在 1,2x 上 恒成立， 设 ( ) 322 12 10h x x x x l= - + +， 则 ( )2 12 0h l= - + ?， 所 以 12l ， 故实数 l 的 取值范围为 )12,+? .
