1、 1 玉溪一中 2017 2018 学年下学期高二年级期末考 理科数学卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 A=x | 1?x ， B=x | 0322 ? xx ，则 A B = A x | 1?x 或 1?x B x | 31 ?x C x | 3?x D x
2、 | 1?x 2.复数 ii?12= A i?1 B i?1 C i?1 D i?1 3.设等差数列 na 的前 n 项 和为 nS ，若 1064 ?aa ，则 9S = A 20 B 35 C 45 D 90 4.设 Rx? ，则 “4143?x” 是 “ 13?x ” 的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5.在 ABC? 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB = A ACAB 4143 ? B ACAB 4341 ? C ACAB 4143 ? D ACAB 4341 ? 6.图 1是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视
3、图，则该几何体的表面积为 A 20? B 24? C 28? D 32? 7. 5)1)(1( xx ? 展开式中 2x 项的系数是 A 4 B 5 C 8 D 12 8. ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知 cb? ， )sin1(2 22 Aba ? ，则 A = A 43? B 3? C 4? D 6?9.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不图 1 2 区分站的位置，则不同的站法总数是 A 210 B 336 C 84 D 343 10. 九章算术 中，将底面为 长方形且有一条侧棱与底面垂直的
4、四棱锥称之为阳马； 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 ABCP? 为鳖臑， PA 平面 ABC , 2?ABPA ， 22?AC , 三棱锥 ABCP? 的四个顶点都在球 O 的 球面上 , 则球 O 的表面积为 A ?12 B ?16 C. ?20 D ?24 11.已知椭圆 12222 ?byax )0( ?ba 的左右焦点分别为 1F ， 2F ，以 O 为圆心， 21FF 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点 P ，且直线 OP 的斜率为 3 ，则椭圆的离心率为 A 22 B 213? C 23 D 13?12.已知函数 aaxxexf x ? )13()( （ 1?a
5、），若有且仅有两个整数 ix )21( ，?i ，使得0)( ?ixf ，则 a 的取值范围为 A 12，e? ） B 1372，e） C e20， ） D ee 2372，） 二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5分，共 20分。 13.在区间 53，? 上随机取一个 实 数 x ，则事件 “ 4)21(1 ? x ” 发生的概率为 14.已知 ?Ryx， ，且 14 ?yx ，则yx 11?的最小值是 15.若实 数 xy， 满足 条件 12 3 0xxyyx? ? ?， 则 xyz 1? 的 最 大 值为 16.函数 3c o s322s in)( 2 ? xxxf ，函数 32)6
6、2c o s ()( ? mxmxg ? )0( ?m ，若对所有的 ? 4,02 ?x 总存在 ? 4,01 ?x ，使得 )()( 21 xgxf ? 成立， 则实数 m 的取值范围是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22， 23题为选考题，考生根据要求作答。 3 （一）必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12分 )在 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 )s in( s in)s in) ( s in( BCcBAba ? （ 1）求 A （ 2）若
7、 4?a ，求 ABC? 面积 S 的最大值 18.(本小题满分 12 分 )已知某厂生产的电子产品的使用寿命 X （单位：小时）服从正态分布 )1000( 2?，N ，且 1.0)800( ?XP ， 02.0)1300( ?XP （ 1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在 ? ?13001200， 的概率； （ 2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在 ? ?1200800， 的 件 数为 Y ，求 Y 的分布列和数学期望 )(YE 19 (本小题满分 12 分 )如图 2，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD ， CF DE ， CFDE
8、3? ， BE 与平面 ABCD 所成的角为 045 （ 1）求证：平面 ACE 平面 BDE ； （ 2）求二面角 DBEF ? 的余弦值 20 (本小题满分 12 分 )已知椭圆 C : 12222 ?byax )0( ?ba 的离心率为 23 ，且 C 过点)231(， （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 l 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点（点 P ， Q 均在第一象限），且直线 OP ， l ， OQ的斜率成等比数列，证明：直线 l 的斜率为定值 21.（本小题满分 12分） 已知函数 xaxxf ln)( ? ， ）（ Ra? . （ 1） 当 2?a 时，求曲线 )(
9、xfy? 在点 )1(1( f， 处 的切线方程 ； （ 2）设 xaxg 1)( ? ，若不等式 )()( xgxf ? 对任意 ? ?e1，?x 恒成立，求 a 的取值范围 . 图 2 4 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22， 23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10分） 在直角坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 )02(， ，半径为 2 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的参数方程为：? ? ty tx 1（ t 为参数） （ 1）求圆 C 和直线 l 的极坐标 方程； （ 2）点 P 的极坐标为 )21
10、( ?， ，直线 l 与圆 C 相交于 A ， B ，求 PBPA? 的值 23 （本小题满分 10分） 已知 32)( 2 ? axaxxf （ 1）证明： 2)( ?xf ； （ 2） 若 3)23( ?f ，求实数 a 的取值范围 玉溪一中 2017 2018 学年下学期高二年级期末考 理科数学 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C B A C B C B A D D 二、填空题： 13. 41 14. 9 15. 1 16. ? 341，三、解答题： 17.解：（ 1）根据正弦定理 可知： )()( bccbaba ? ，
11、即 bcca ? 222 ， 则 212 222 ? bc acb ，即 21cos ?A ， ? ?A0 ， ? 3?A ? 6分 （ 2）根据余弦定理 可知： bccbbccba ? 22222 3c o s2 ?， ? bccb 222 ? 且 4?a ， ? bcbcbc ? 216 ，即 16?bc . ? ABC? 面积 34433s in21 ? bcbcS ? ，当且仅当 4?cb 时等号成立 5 故 ABC? 面积 S 的最大值为 34 ? 12分 18.解：（ 1） ?X 正态分布 )1000( 2?，N ， 1.0)800( ?XP ， 02.0)1300( ?XP 1.
12、0)800()1200()1300()13001200( ? XPXPXPXP ? 08.002.01.0)13001200( ? XP 即从该厂随机抽取一件产品，其使用寿命在 ? ?13001200， 的概率为 08.0 ? 6分 （ 2） ? 548.01.021)800(21)1200800( ? XPXP ?Y )543(，B 故 kkkCkYP ? 33 )51()54(）（， ）（ 3,2,1,0?k 1251)51(0 3 ? ）（ YP ， 12512)51(541 213 ? CYP ）（ ， 12548)51()54(2 223 ? CYP ）（ ， 12564)543 3
13、 ? ）（ YP 则 Y 分布列 为 ： Y 0 1 2 3 )(YP 1251 12512 12548 12564 512543)( ?YE ? 12 分 19.（ 1）证明： ?DE 平面 ABCD， AC?平面 ABCD ?DE AC 又底面 ABCD是正方形， ?AC BD， 又 BD DE=D， ?AC 平面 BDE， 又 AC?平面 ACE， ?平面 ACE 平面 BDE ? 4分 （ 2）以 D为坐标原点， DA、 DC、 DE所在直线分别为 x ， y ， z 轴 建立空间直角坐标系 xyzD? ， ?BE与平面 ABCD 所成的角为 45 ， 即 EBD=45 ， ?DE=B
14、D= 2 AD= 23 ， CF= DE= 2 ?A（ 3， 0， 0）， B（ 3， 3， 0）， C（ 0， 3， 0）， E（ 0， 0， 23 ）， F（ 0， 3， 2 ）， 6 ? =（ 3， 0， 2 ）， =（ 0， 3， 22? ）， 设平面 BEF的一个法向量为 =（ x ， y ， z ）， 则 ，即?0223023zyzx ，令 z = 23 ，则 =（ 2， 4， 23 ） 又 AC 平面 BDE， ? =（ 3， 3， 0）为平面 BDE的一个法向量 ? 10分 ?cos = 23386? = 1919 二面角 F BE D的余弦值为 1919 ? 12分 20.解
15、：（ 1）由题意可得?22222 143123cbabaac，解得 2?a , 1?b , 3?c ， 故椭圆 C 的方程为 14 22 ?yx . ? 5分 证明：（ 2）设 )( 11 yxP ， ， )( 22 yxQ ， 由题意可设直线 l 的方程为： tkxy ? )0(?t 联立?14 22 yxtkxy 化为 044841 222 ? tk txxk ）（ 0)41)(44(464 2222 ? kttk ，化为 2241 tk ? ?221 41 8 kktxx ?，2221 41 44 ktxx ? ?， ? 2212122121 )()( txxktxxktkxtkxyy
16、? ， ? 8分 ?直线 OP ， l ， OQ的斜率成等比数列， ? 22211 kxyxy ? ， 7 即 212221212 )( xxktxxktxxk ? ， ? 0418 2222 ? tktk ， ? 0?t ， ? 14 2?k ，结合图形可知 21?k . ?直线 l 的斜率为定值为 21? ? 12分 21.解：（ 1） 当 2?a 时， xxxf ln2)( ? ， 1)1( ?f ，切点为 )1,1( ， xxf 21)( ? 121)1( ? fk ， ?曲线 )(xfy? 在点? ?,处 的切线方程为： )1(1 ? xy ，即 20xy? ? ? . ? ? 4分 （ 2）设 ( ) ( ) ( )h x f x g x? ? ?1 ln ( 0)ax a x xx? ? ?， 21( ) 1 aahx xx? ? ? ?222(1 ) ( 1 ) (1 ) x a x a x x axx? ? ? ? ? ?， ? 6分 不等式 ( ) ( )f x g x? 对任意 1, xe? 恒成立， 即函数 1( ) lnah x x a xx? ? ?在 1,e 上的最小值大于零 . 当 1 ae?，即 1ae?时， ()hx 在 1,e 上单调递减， ? ()h
