1、本章题头第第3 3节节 能量守恒定律能量守恒定律一、机械能：一、机械能：动能、重力势能和弹性势能动能、重力势能和弹性势能统称统称二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律3、适用条件：、适用条件：只有重力只有重力 做功做功2、表达式：、表达式：EK2+EP2=EK1+EP1(E2E1)只受重力只受重力其他力不做功其他力不做功4 4、时刻守恒，可任选初末状态、时刻守恒，可任选初末状态5 5、机械能守恒的另一表述：、机械能守恒的另一表述：E P EK(不要取零势面不要取零势面)重力势能的减少量（或增加量）等于动能的增加量（或减少量）重力势能的减少量（或增加量）等于动能的增加量（或减少量）、物体在只有弹力
2、做功的情况下，只发生动能和弹性势能之间的相、物体在只有弹力做功的情况下，只发生动能和弹性势能之间的相互转化，物体的机械能也守恒互转化，物体的机械能也守恒（要取零势面）（要取零势面）(弹力弹力)(弹性弹性)(弹力弹力)三、解题步骤：三、解题步骤：比牛二优越：只涉及初末状态，不考虑中间过程比牛二优越：只涉及初末状态，不考虑中间过程,适用曲线运动适用曲线运动1 1、内容：在只有重力、内容：在只有重力 做功的情况下，物体的动能和重力做功的情况下，物体的动能和重力 势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变机械能：动能、重力势能、弹性势能机械能：动能、重力势能、弹性
3、势能与物体的机械运动有关的能称之机械能与物体的机械运动有关的能称之机械能机械能可以相互转化机械能可以相互转化机械能在转化过程中遵循机械能在转化过程中遵循什么规律什么规律呢？呢？机械能的总量保持不变？机械能的总量保持不变？机械能守恒定律实验探究机械能守恒定律实验探究直接方法直接方法测出物体在各个时测出物体在各个时刻的速率和高度刻的速率和高度更简单的实验更简单的实验利用速率为零的那些利用速率为零的那些时刻比较高度时刻比较高度2mm2mm实验实验Ghv11A hv22BWG重力势能重力势能动能动能=mgh机械能守恒定律理论推导机械能守恒定律理论推导做自由落体运动的小球经过做自由落体运动的小球经过A
4、A、B B两两点，在点，在ABAB过程中，重力做的功为过程中，重力做的功为2122G2121vmvmW 21GhgmhgmW 2121222121hgmhgmvmvm 2112222121vmhgmvmhgm 1k1p2k2pEEEE 所以所以动能定理动能定理:W合=EK重力做功和重力重力做功和重力势能的关系：势能的关系：WG=-EP只受重力只受重力还受其它力还受其它力,其他力不做功其他力不做功适用条件适用条件:只有重力做功只有重力做功不受阻力不受阻力v0v0v0下列运动满足机械能守恒的是：下列运动满足机械能守恒的是：1、手榴弹抛出后的运动、手榴弹抛出后的运动(不计阻力不计阻力)2、被匀速吊起
5、的集装箱、被匀速吊起的集装箱3、雨滴雨滴(降落伞降落伞)在空中匀速下落在空中匀速下落4 4、物体沿斜面匀速下滑、物体沿斜面匀速下滑5、圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动6、子弹射穿木块子弹射穿木块判断判断:除重力做功外，其他力做的功之除重力做功外，其他力做的功之和为零，物体的机械能守恒吗和为零，物体的机械能守恒吗?平衡状态平衡状态F F合合=0=0W W合合=0=0机械能一定守恒机械能一定守恒?F Ff fWF化学能化学能Wf机械能机械能内能内能机械能恒定机械能恒定在只有弹力做功的情形下，物体系（物体和弹簧）在只有弹力做功的情形下，物体系（物体和弹簧）的机械能也守
6、恒的机械能也守恒只有重力和弹力做功只有重力和弹力做功,物体的机械能守恒物体的机械能守恒判断判断:在光滑水平面上运动的小球，在光滑水平面上运动的小球，碰到弹簧上，把弹簧压缩后又被弹簧碰到弹簧上，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来，小球的机械能守恒弹回来，小球的机械能守恒小球和弹簧组成的系统小球和弹簧组成的系统进一步认识机械能守恒定律进一步认识机械能守恒定律应用机械能守恒定律解题的一般步骤：应用机械能守恒定律解题的一般步骤：1 1、明确研究对象和运动过程、明确研究对象和运动过程2 2、受力分析、受力分析、做功做功分析，分析，判断判断机械能守恒机械能守恒3 3、确定初末状态，选定、确定初末状态，选定零势能面
7、零势能面，确定初末状态的机械能，确定初末状态的机械能4 4、根据机械能守恒定律列方程求解、根据机械能守恒定律列方程求解例例1 1、一个物体从光滑的斜面顶端由静止开始滑下（如图），斜面高、一个物体从光滑的斜面顶端由静止开始滑下（如图），斜面高1m1m，长，长2m2m。不计空气阻力，物体滑到斜面底端的速度是多大？。不计空气阻力，物体滑到斜面底端的速度是多大？E1=mgh机械能守恒机械能守恒E E1 1=E=E2 2ABhE2=mvmv2 21 12 2mgh=mgh=mvmv2 21 12 2V=2ghV=2gh 例例2 2：如图所示，在竖直平面内有一段四分之：如图所示，在竖直平面内有一段四分之一
8、圆弧轨道半径一圆弧轨道半径OAOA在水平方向，一个小球在水平方向，一个小球从顶端从顶端A A点由静止开始下滑，已知轨道半点由静止开始下滑，已知轨道半径径R R10cm10cm，不计摩擦，求小球刚离开轨，不计摩擦，求小球刚离开轨道底端道底端B B点时的速度大小？点时的速度大小？光滑曲面光滑曲面E1=mgR机械能守恒机械能守恒E E1 1=E=E2 2E2=mvmv2 21 12 2mgR=mgR=mvmv2 21 12 2V=2gRV=2gR 解：小球运动过程中，不计摩擦阻力，机械能守恒解：小球运动过程中，不计摩擦阻力，机械能守恒以小球运动最低点为参考面，确定初末状态机械能以小球运动最低点为参考
9、面，确定初末状态机械能例：如图，一质量为例：如图，一质量为m m的小球从光滑斜面上高为的小球从光滑斜面上高为h=4Rh=4R处由处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径为静止滑下，斜面底端紧接着一个半径为R R的光滑圆环，求：的光滑圆环，求：小球滑至圆环顶点时的速度各多大？小球滑至圆环顶点时的速度各多大？hR2R初位置末位置E1=mgh=4mgR机械能守恒机械能守恒E1=E2光滑曲面光滑曲面解：小球在光滑面运动解：小球在光滑面运动机械能守恒，取最低点机械能守恒，取最低点的水平面为零势能面的水平面为零势能面E2=mg2R+mvmv2 21 12 2得：得：v2=2 gR 例例1 1将一物体从将一物体
10、从15m15m高的楼顶以高的楼顶以10m/s10m/s的速度抛出，的速度抛出，不计阻力，则小球落到地面的速度大小？不计阻力，则小球落到地面的速度大小？h h抛体运动抛体运动v0v0v0v0h解：小球在运动中不计解：小球在运动中不计阻力机械能守恒，取地阻力机械能守恒，取地面零势能面面零势能面E1=mghmvmv2 21 12 2机械能守恒机械能守恒E1=E2得：得：vt=2gh+v02 E2=mvmvt t2 21 12 2mgh+=mvmv2 21 12 2mvmvt t2 21 12 2例题1、把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆。摆长为l，最大偏角为。小球运动到最底位置时的速度是多大？摆
11、摆解：解：摆动过程中小球的受力如图所示，摆动过程中小球的受力如图所示，但拉力不做功但拉力不做功 只有重力做功，故机械能守恒，只有重力做功，故机械能守恒，取小球在最低位置时所在的水平面为参考平面取小球在最低位置时所在的水平面为参考平面 初位置初位置E E1 1=mgh=mgh 末位置末位置E E2 2=根据机械能守恒定律根据机械能守恒定律E1=E2得：得：mgh=-(1)mgh=-(1)h=h=l(1-cos)(1-cos)-(2)解（解（1 1）（）（2 2）得）得hllGT初位初位置置末位置末位置mvmv2 21 12 2mvmv2 21 12 2v=2gl(1cos)1 1如图所示，桌面高
12、度为如图所示，桌面高度为h h，质量为，质量为m m的小球，的小球，从离桌面高从离桌面高H H处自由落下，不计空气阻力，假设处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为（的机械能应为（）Amgh BmgH Cmg（H+h）Dmg（H-h）B竖直面运动竖直面运动【例例2 2】在地面上以在地面上以10m/s 10m/s 的初速度竖直上抛质量为的初速度竖直上抛质量为1k g 1k g 的小球，不计空气阻力，求的小球，不计空气阻力，求:（1 1）此球所能达到最大高度）此球所能达到最大高度 ;（2 2）多高处）多高处,E,
13、Ek k=nE=nEp p?(g=10m/s?(g=10m/s2 2)Ghv=0v1最大高度时的机械能为最大高度时的机械能为 根据机械能守恒定律有根据机械能守恒定律有 解解:（1）取抛出点为零势能面。取抛出点为零势能面。20121vmE hgmE 22021vmhgm gvh220 m/s9.4=m/s8.928.9=2 抛出点的机械能为抛出点的机械能为例例3 3一物体从距地面一物体从距地面h=40mh=40m的高处落下的高处落下,经过几秒后经过几秒后,该物体的动能与重力势能相等该物体的动能与重力势能相等?不计阻力不计阻力竖直面运动竖直面运动1.下图是一条高架滑车的轨道示意图下图是一条高架滑车
14、的轨道示意图,各处的高度已标在图各处的高度已标在图上。一列车厢以上。一列车厢以 1m/s 的速度从的速度从 A 点出发点出发,最终抵达最终抵达G 点点,运运动过程中所受阻力可以忽略。试问动过程中所受阻力可以忽略。试问:(1)车厢在何处重力势能最大车厢在何处重力势能最大?在何处动能最大在何处动能最大?在哪一段在哪一段路程中动能几乎不变路程中动能几乎不变?(2)车厢的最大速度是多少车厢的最大速度是多少?60m考虑全过程考虑全过程H Hh hV1V1V2V2求求v1:v2=?v1:v2=?考虑全过程考虑全过程4 4、如图所示，物体、如图所示，物体A A和和B B系在跨过定滑轮的细绳两端，物系在跨过定
15、滑轮的细绳两端，物体体A A的质量的质量m mA A1.5kg1.5kg，物体，物体B B的质量的质量m mB B=1kg=1kg。开始时把。开始时把A A托起，使托起，使B B刚好与地面接触，此时物体刚好与地面接触，此时物体A A离地高度为离地高度为1m1m。放手让放手让A A从静止开始下落，求：（从静止开始下落，求：（1 1）当）当A A着地时，着地时，B B的速的速度多大？（度多大？（2 2）物体）物体A A落地后，落地后，B B还能升高几米？还能升高几米？AB小结：小结：A、B组成的系统内力对组成的系统内力对AB做功的代数和为零，不改变总做功的代数和为零，不改变总机械能。所以机械能守恒
16、。机械能。所以机械能守恒。2，0.2系统（多个物体）的机械能守恒系统（多个物体）的机械能守恒例例5 如图，两个质量分别为如图，两个质量分别为m、2m 被轻杆固结，轻杆可绕被轻杆固结，轻杆可绕轴轴O在竖直平面内自由转动，先使轻杆位于水平位置，然后在竖直平面内自由转动，先使轻杆位于水平位置，然后无初速地释放，在轻杆绕轴无初速地释放，在轻杆绕轴O转至竖直位置的过程中：转至竖直位置的过程中：A、A、B两球的总机械能守恒；两球的总机械能守恒；B、A、B两球的总机械能不守恒；两球的总机械能不守恒；C、A球机械能增加，球机械能增加，B球机械能减少；球机械能减少；D、A球机械能减少，球机械能减少，B球机械能增
17、加。球机械能增加。Om2m系统（多个物体）的机械能守恒系统（多个物体）的机械能守恒例例5：如图所示，一长为：如图所示，一长为L的铁链挂在高为的铁链挂在高为H的光滑的小滑轮上，的光滑的小滑轮上，开始下端平齐，处于静止状态。由于微小的一个挠动，从右边开始下端平齐，处于静止状态。由于微小的一个挠动，从右边滑下，当其下端刚好触地时，速度为多少？滑下，当其下端刚好触地时，速度为多少？H解：解：铁链下滑时机械能守恒，取地面铁链下滑时机械能守恒，取地面为参考平面为参考平面，有：，有：)43(2:2120)4(2LHgVmVLmgLHmg得小结：小结：1、用、用“E1=E2”式的表达式，一定要选参考面。式的表
18、达式，一定要选参考面。2、物体若不是质点，高度取重心的高度。、物体若不是质点，高度取重心的高度。五五 对物体系应用范例：对物体系应用范例：1 1 如图所示，两小球如图所示，两小球m mA Am mB B通过绳绕过固定的半径为通过绳绕过固定的半径为R R的光的光滑圆柱，现将滑圆柱，现将A A球由静止释放，若球由静止释放，若A A球能到达圆柱体的最高球能到达圆柱体的最高点，求此时的速度大小。点，求此时的速度大小。解:B球下落得高度为R+2R/4，A球上升得高度为2R由AB根据能量转化守恒定律 E减=E增得 mBg（R+2R/4）=mAg2R+（mA+mB）V2/2则V可解得。2 2 如图所示，半径
19、为如图所示，半径为r r 质量不计的圆盘竖直放置，圆心质量不计的圆盘竖直放置，圆心O O处是处是一光滑的水平固定轴。在圆盘的最右端固定一个质量为一光滑的水平固定轴。在圆盘的最右端固定一个质量为m m的小的小球球A,A,在在O O点的正下方离点的正下方离O O点点r/2r/2处固定一个质量为处固定一个质量为m m的小球的小球B B。放。放开圆盘让其自由转动则开圆盘让其自由转动则（1 1）求）求A A球在最底点球在最底点C C速度大小速度大小（2 2）小球）小球A A瞬时静止的位置在瞬时静止的位置在 A EA E点点 B DB D点点 C DCC DC之间之间 D ACD AC之间之间解（1）:由
20、A运动到C过程根据能量转化守恒定律得 E减=E增 mAgR=mBgR/2+mAVA2/2+mBVB2/2又因A=B则 VA=2VB 连立可求解VA （2）应选C3 3 如图所示，两质量为如图所示，两质量为m m的环通过长的环通过长L L的绳与另一等的绳与另一等质量的小球相连，现使两环相距质量的小球相连，现使两环相距L L由静止释放，求由静止释放，求两环运动后的最大速度大小。两环运动后的最大速度大小。解:根据能量转化守恒定律 E减=E增得 mg（L-Lsin600）=2mV2/2 V=232）（gL4 4 如图所示，已知两质量分别为如图所示，已知两质量分别为m m1 1m m2 2线径不计的小物
21、块至于线径不计的小物块至于小定滑轮两端，光滑轨道半径为小定滑轮两端，光滑轨道半径为R R。现将。现将m m2 2由轨道边缘由轨道边缘A A点点释放，求其到达最底点释放，求其到达最底点B B时的速度大小时的速度大小.解:m2下落得高度为R，m1上升得高度为 ，设此时速度分别为V1V2。由AB根据能量转化守恒定律 E减=E增得 m2gR=m1g +m1V12/2+m2V22/2又根据运动合成规律 V1=V2COS450联立可求解V1V2 。R2R2 5 5 在倾角为在倾角为的斜面体上由质量分别为的斜面体上由质量分别为M,mM,m两物体和一定滑两物体和一定滑轮构成如图所示系统，若物体与斜面间的动摩擦
22、因数为轮构成如图所示系统，若物体与斜面间的动摩擦因数为，求释放后求释放后m m加速下落加速下落H H时的落地速度时的落地速度a aa a解:设m下落h时的速度为V 根据能量转化守恒定律 E减=E增得 mgh=Mghsin+（m+M）V2/2+Q而 Q=Mgcosh两式联立既可求V=总结：总结：1.1.能量转化守恒定律是宇宙间普遍适用的，能量转化守恒定律是宇宙间普遍适用的，是无条件成立的。是无条件成立的。2.2.能量转化守恒定律包含机械能守恒定律，能量转化守恒定律包含机械能守恒定律，机械能守恒定律只是能量转化守恒定律的机械能守恒定律只是能量转化守恒定律的一个特例。一个特例。3.3.因摩擦而产生的
23、热能一定属于因摩擦而产生的热能一定属于EE增增4.4.若物体间存在能量交换，则只能建立对若物体间存在能量交换，则只能建立对系统的守恒式或转化式。系统的守恒式或转化式。例例:如图，两个质量相同的小球如图，两个质量相同的小球A和和B，分别用长度不，分别用长度不等的细线和橡皮条挂在等的细线和橡皮条挂在O点，把两球都拉到水平位置点，把两球都拉到水平位置后，无初速释放，当小球通过最低点时，橡皮条的长后，无初速释放，当小球通过最低点时，橡皮条的长度刚好等于细线的长度，则小球通过最低点时（度刚好等于细线的长度，则小球通过最低点时（）A、A球的速度等于球的速度等于B球的速度球的速度B、A球的动能等于球的动能等
24、于B球的动能球的动能C、A球的重力势能等于球的重力势能等于B球的重力势能球的重力势能D、A球的机械能等于球的机械能等于B球的机械能球的机械能AB若不把橡皮条包括在系统内，则若不把橡皮条包括在系统内，则B球球的机械能，只是动能和重力势能之的机械能，只是动能和重力势能之和。和。2 2、如下图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻、如下图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是关于能量的叙述中正确的是A A、重力势能和动能之和总保持不变、重力势能和动能之和总保持不变B B、重力势能和弹性势能之和总保
25、持不变、重力势能和弹性势能之和总保持不变C C、动能和弹性势能之和总保持不变、动能和弹性势能之和总保持不变D D、重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变、重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变Dn请画出整个过程中请画出整个过程中v-t图象图象五五 对物体系应用范例：对物体系应用范例：1 1 如图所示，两小球如图所示，两小球m mA Am mB B通过绳绕过固定的半径为通过绳绕过固定的半径为R R的光的光滑圆柱，现将滑圆柱，现将A A球由静止释放，若球由静止释放，若A A球能到达圆柱体的最高球能到达圆柱体的最高点，求此时的速度大小。点，求此时的速度大小。解:B球下落得高度为R+2R/4，A球上升
26、得高度为2R由AB根据能量转化守恒定律 E减=E增得 mBg（R+2R/4）=mAg2R+（mA+mB）V2/2则V可解得。2 2 如图所示，半径为如图所示，半径为r r 质量不计的圆盘竖直放置，圆心质量不计的圆盘竖直放置，圆心O O处是处是一光滑的水平固定轴。在圆盘的最右端固定一个质量为一光滑的水平固定轴。在圆盘的最右端固定一个质量为m m的小的小球球A,A,在在O O点的正下方离点的正下方离O O点点r/2r/2处固定一个质量为处固定一个质量为m m的小球的小球B B。放。放开圆盘让其自由转动则开圆盘让其自由转动则（1 1）求）求A A球在最底点球在最底点C C速度大小速度大小（2 2）小
27、球）小球A A瞬时静止的位置在瞬时静止的位置在 A EA E点点 B DB D点点 C DCC DC之间之间 D ACD AC之间之间解（1）:由A运动到C过程根据能量转化守恒定律得 E减=E增 mAgR=mBgR/2+mAVA2/2+mBVB2/2又因A=B则 VA=2VB 连立可求解VA （2）应选C 3 3 在倾角为在倾角为的斜面体上由质量分别为的斜面体上由质量分别为M,mM,m两物体和一定滑两物体和一定滑轮构成如图所示系统，若物体与斜面间的动摩擦因数为轮构成如图所示系统，若物体与斜面间的动摩擦因数为，求释放后求释放后m m加速下落加速下落H H时的落地速度时的落地速度a aa a解:设
28、m下落h时的速度为V 根据能量转化守恒定律 E减=E增得 mgh=Mghsin+（m+M）V2/2+Q而 Q=Mgcosh两式联立既可求V=总结：总结：1.1.能量转化守恒定律是宇宙间普遍适用的，能量转化守恒定律是宇宙间普遍适用的，是无条件成立的。是无条件成立的。2.2.能量转化守恒定律包含机械能守恒定律，能量转化守恒定律包含机械能守恒定律，机械能守恒定律只是能量转化守恒定律的机械能守恒定律只是能量转化守恒定律的一个特例。一个特例。3.3.因摩擦而产生的热能一定属于因摩擦而产生的热能一定属于EE增增4.4.若物体间存在能量交换，则只能建立对若物体间存在能量交换，则只能建立对系统的守恒式或转化式
29、。系统的守恒式或转化式。w例题6:如图所示,半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A,在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B.放开盘让其自由转动,问：w（1）A球转到最低点时的线速度是多少？w（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？ABw解(1)该系统在自由转动过程中,只有重力做功,机械能守恒.设A球转到最低点时的线速度为VA,B球的速度为VB,则据机械能守恒定律可得:w mgr-mgr/2=mvA2/2+mVB2/2 w据圆周运动的知识可知:VA=2VB w由上述二式可求得VA=w(
30、2)设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是(如所示),则据机械能守恒定律可得:w mgr.cos-mgr(1+sin)/2=0 w易求得=sin-1 。ABAB5/4gr53w例题7:如图所示,将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定,然后在木块和墙面之间放入一个小球,球的下缘离地面高度为H,木块的倾角为,球和木块质量相等,一切接触面均光滑,放手让小球和木块同时由静止开始运动,求球着地时球和木块的速度.V1V2w解：由球下落位移与三角劈平移位移的关系可知:V1/V2=tngw由机械能守恒定律可得：wmgH=mv12/2+mv22/2 w由上述二式可求得：wV1=.sin,V2=.cos.gH2gH2w例题8:如图所示,光滑的半圆曲面AB,其半径为R,在B端有一光滑小滑轮,通过滑轮用细绳连着两个物体P、Q,其质量分别为M和m,开始时,P在B处附近,Q悬在空中,现无初速地释放P,P沿半圆曲面滑下,试求P滑至最低点时,P、Q的速度各多大?设绳足够长.ABPQMmRw解:因系统内各物体间均无滑动摩擦力,所以系统遵守机械能守恒定律.w由机械能守恒定律可得:ABPMQmVPV1V22221212QPmVMVRmgMgRw将速度VP分解,如图所示,得:0245cosPQVVVw解以上两式得:mMmMgRVP2)2(2mMmMgRVQ2)2(22
