1、 1 内蒙古包头市 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题 理 2017 年 7 月 8 日 一、 选择题 :(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分。每题只有一个正确答案 ) 1设复数 z 满足 (z 2i)(2 i) 5，则 z ( ) A 2 3iB 2 3iC 3 2i D 3 2i 2 函数 f(x) exx 2的递减区间为 ( ) 3在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换? x 5x，y 3y 后，曲线 C 变为曲线 x2 y 2 1，则曲线 C 的方程为 ( ) A 25x2 9y2 1 B 9x2 25y2 1C 25x 9y 1 D.x225y29
2、1 4已知双曲线的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c 为双曲线的半焦距长 )，则双曲线的离心率为 ( ) A. 52 B.32C.3 55 D.23 5已知圆 (x 2)2 y2 36 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点， N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 6 长方体的三个相邻面的面积分别为 2， 3， 6， 若这个长方体的顶点都在同一球面上 ， 则这个球的表面积为 ( ) A.72 B 56 C 14 D 64 7已知函数 f(x)? x 1 x
3、，cosx x 2 ， 则 f(x)dx ( ) A.12B 1C 2 D.32 8 f(x) ex x(e 为自然对数的底数 )在区间 1,1上的最大值是 ( ) A 1 1eB 1C e 1 D e 1 9在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 BB1中点， G 是 DD1中点， F 是 BC 上一点且 FB 14BC，则 GB 与 EF 所成的角为 ( ) A 30 B 120C 60 D 90 2 10已知直线 l1： 4x 3y 6 0 和直线 l2： x 1，抛物线 y2 4x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 ( ) A.3 55 B 2C.
4、115 D 3 11已知椭圆 C： x24y23 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，椭圆 C 上的点 A 满足 AF2 F1F2，若点 P 是椭圆 C 上的动点，则 F1P F2A的最大值为 ( ) A. 32 B.3 32 C.94 D.154 12函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x) f(2 x)，且当 x ( ， 1)时， (x 1)f( x)b0)， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若 F1AB 90 ，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且 AF2 2F2B，求椭圆的方程 19 (本小题满分 1
5、2 分 )如图所示， BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD 平面 BCD， AB 平面 BCD， AB 2 3. (1)求证： AB 平面 MCD； (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦 值 20.(本小题满分 12 分 )设函数 f(x) x ax2 blnx，曲线 y f(x)过 P(1,0)，且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a， b 的值； (2)令 g(x) f(x) 2x 2，求 g(x)在定义域上的最值 21 (本小题满分 12 分 ) 已知抛物线 C： y2 4x，点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上，过 M 的直线 l 与
6、C 相交于 A， B 两点，O 为坐标原点 4 (1)若 m 1，且直线 l 的斜率为 1，求以线段 AB 为直径的圆的方程； (2)问是否存在定点 M，不论直线 l 绕点 M 如何转动，使得 1|AM|2 1|BM|2恒为定值 22.(本小题满分 12 分 )已知函数 f(x) 12x2 alnx. (1)若 a 1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若 a 1，求函数 f(x)在 1， e上的最大值和最小值； (3)若 a 1，求证：在区间 1， ) 上函数 f(x)的图像在函数 g(x) 23x3的图像的下方 5 包 33 中 20162017 学年度第二学期期末
7、考试 高二年级数学（理）试卷答案 一 、选择题 :(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A B B C D D D B B B 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分 ,共 20 分 ) 13.1 ； 14. 22 ； 15? ?11，? ； 16 2322212 SSSS ? ； 三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.解析 将直线 l 的参数方程? x 1 22 t，y 2 22 t代入抛物线方程 y2 4x，得 (2 22 t)2 4(1 22 t)解得 t1 0， t
8、2 8 2. 18.答案 (1) 22 (2)x23y22 1 解析 (1)若 F1AB 90 ，则 AOF2为等腰直角三角形所以有 |OA| |OF2|，即 b c. 所以 a 2c， e ca 22 . (2)由题知 A(0， b)， F2(1,0)，设 B(x， y)， 由 AF2 2F2B，解得 x 32， y b2.代入 x2a2y2b2 1，得94a2b24b2 1. 即 94a2 14 1，解得 a2 3.所以椭圆方程为 x23y22 1. 19.解析 (1)证明：取 CD 中点 O，因为 MCD 为正三角形，所以 MO CD. 由于平面 MCD 平面 BCD，所以 MO 平面
9、BCD. 又因为 AB 平面 BCD， 所以 AB MO.又 AB?平面 MCD， MO? 平面 MCD， 所以 AB 平面 MCD. (2)连接 OB，则 OB CD，又 MO 平面 BCD. 6 取 O 为原点，直线 OC， BO， OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直 角坐标系如图所示 OB OM 3，则各点坐标分别为 C(1,0,0)， M(0,0， 3)， B(0， 3， 0)， A(0， 3，2 3) CM ( 1,0， 3)， CA ( 1， 3， 2 3) 设平面 ACM 的法向量为 n1 (x， y， z)， 由? n1 CM 0，n1 CA 0，得 ? x 3z
10、 0， x 3y 2 3z 0，解得 x 3z， y z，取 z 1，得 n1 ( 3， 1,1) 又平面 BCD 的法向量为 n2 (0,0,1)， 所以 cos n1， n2 n1 n2|n1| n2| 15. 设所求二面角为 ，则 sin 2 55 . 20.解析 (1)f( x) 1 2ax bx(x0)， 又 f(x)过点 P(1,0)，且在点 P 处的切线斜率为 2， ? f 0，f 2， 即 ? 1 a 0，1 2a b 2. 解得 a 1， b 3. (2)由 (1)知， f(x) x x2 3lnx，其定义 域为 (0， ) ， g(x) 2 x x2 3lnx， x0. 则 g( x) 1 2x 3x x xx . 当 00；当 x1 时， g( x)1 时， F(x)0，故 F(x)在区间 (1， )上是减函数又因为 F(1) 160，所以在区间 1， )上 F(x)0 恒成立，即 f(x)g(x)恒成立因此，当 a 1 时，在区间 1，)上函数 f(x)的图像在函数 g(x)图像的下方
