1、当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中，范围在 内的角叫作两直线的夹角l1ABCl202，1.共面直线夹角共面直线夹角当两条直线l1与l2是异面直线时,l1ABC在直线l1上任取一点A作AB/l2我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.l22.异面直线夹角异面直线夹角空间直线由一点和一个方向确定,所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.3.空间直线夹角的解法空间直线夹角的解法l1ABCl21s2sl1ABCl21s2s212121,2ssllss的夹角等于与直线时当121212,2s slls s 当0时 直线 与 的夹角等于2121,ssll的方向向量
2、分别为与已知直线3.空间直线夹角的解法空间直线夹角的解法),(),(222111zyxbzyxa设222222212121212121|,coszyxzyxzzyyxxbababa则两向量夹角的余弦公式3.空间直线夹角的解法空间直线夹角的解法练习练习1、求下列两个向量的夹角的余弦：、求下列两个向量的夹角的余弦：（1）(2,3,),(1,0,0);a3b（2）(1,1，1),(1,0,1)。ab2136(A)D1C1B1A1DCBOxzy 例1、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=2，BC=2，AA1=3，求对角线AC1和侧面对角线A1D的夹角 的余弦值。解：设对角
3、线AC1和侧面对角线A1D的方向向量分别是21,ss.,1211DAsACs则(A)D1C1B1A1DCBOxzy因为A(0,0,0),C1(2,2,3),A1(0,0,3),D(0,2,0).3,2,0(),3,2,2(11DAAC所以|,cos212121ssssss因此02215AC1和A1D的夹角=-21,ss2212215cos故例2：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1D1Fxyz所以：A1AB1B1C1D1F解：以点C为
4、坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则 11CC(1,0,0),(0,1,0),ABCxyzC)1,21,21(),1,0,21(11DF)1,21,21(,)1,0,21(11DBFA10304645141|1111DBFADBFA11cos,AF BD 所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1BD1AF1030OEFAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角定义：作二面角。以二面角棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成二面角的的角叫作平面角.0二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是我们规定二面角大小的范围二面角的度为数，。
5、1.二面角二面角ll2、二面、二面角求法：角求法：二面角的范围：0,1.法法向量法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos,n ncos12cos,n n两法向量的夹角与二面角的关系=-互补=相等l如如图，设二面角图，设二面角 的大小为的大小为 ，其中，其中l,ABl ABCDl CDcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA2.方向向量方向向量法：法：2、二面、二面角求法：角求法：0,0,2在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在内的角为这两个平面的夹角。平面间夹角的范围：平面间夹角的范围：0,23.两平面的夹角两
6、平面的夹角uv和和设平面的法向量分别为，若两个平面的夹角为，则 0,2u v 1 当时，coscos,=此时：u vu vu v =,u v，4.平面夹角的求法平面夹角的求法,2u v 2 当时，coscos-,=cos,=此时：u vu vu vu v =,u v uv和和设平面的法向量分别为，若两夹角平面的为个，则 0,=,2u vu v 1 当时，coscos,=此时：u vu vu v ,=,2u vu v 2 当时，coscos-,=cos,=此时：u vu vu vu v 小结：小结：结论：结论：cos|cos,|a b.1470|,coscos212121nnnnnn例1、如图，
7、在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1与平面ABCD的夹角.)1,0,0(,:22111nnnABCDABCD则和分别是的法向量平面与设平面解xzA1D1C1B1ABCDOy00),(1111BCnBAnzyxn则设00 xzy即)0,0,1(),1,1,0(1BCBA因为A1(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),所以xzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角4,21nn此时得取),1,1,0(1n.22|,cos212121nnnnnnxzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1
8、A1与平面ABCD的夹角则的法向量若取平面),1,1,0(111nABCD.22|,cos212121nnnnnn43,21nnxzA1D1C1B1ABCDOyxzA1D1C1B1ABCDOyE)2,3,4(,)0,0,3(,)0,3,0(,:11CEDzyxAAADABA则有空间直角坐标系轴的正向建立轴轴为分别为原点以解则有垂直与平面设向量,),(1DECzyxn 0),2,1,1(2),2,2(zzzzzn其中xzA1D1C1B1ABCDOyEzyxzyxyxECnDEn210230331)2,3,1()0,3,3(1ECDE于是ll2、二面、二面角求法：角求法：二面角的范围：0,1.法法
9、向量法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos,n ncos12cos,n n两法向量的夹角与二面角的关系=-互补=相等ABCDEMN例2.如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CB/DA，EA=DA=AB=2CB，EAAB，M是EC的中点.()求证：DMEB；()求二面角M-BD-A的余弦值.EDCBAMzyxa2 解:分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a，
10、)DMEB，即即DMEB ()解:设平面设平面MBD的法向量为的法向量为n=(x，y，z)DB=(0，2a，2a)由由nDB，nDM得得DM EB=a(2a)+a 2a+0=0()证证:DM=(a，a，1.5a)，EB=(2a，2a，0)，取取z=2得平面得平面MBD的的一法一法向量为向量为n=(1，2，2)，又平面又平面BDA的一法的一法向量为向量为 i=(1，0，0)，2222221+0+0=1+2+21+0+01.3cos 即二面角即二面角M-BD-A的余的余弦值弦值为为13EDCBAMzyxn DB=2ay2az=03n DM=ax+ayaz=02 y=z3x+yz=02 思考：思考：如图，如图，甲站在水库底面上的点甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的处，乙站在水坝斜面上的点点 B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为和和 ,CD,CD的长为的长为 ,AB,AB的长为的长为 .求库底与水坝斜坡所成二面角的余弦值。求库底与水坝斜坡所成二面角的余弦值。labcdABCD
