1、二、比较审敛法二、比较审敛法 三、比值审敛法和根值审敛法三、比值审敛法和根值审敛法 第二节一、正项级数收敛的充分必要条件一、正项级数收敛的充分必要条件正项级数及其审敛法 第十一章第十一章 1一、正项级数收敛的充分必要条件一、正项级数收敛的充分必要条件）（0 nu 1nnu 正项级数正项级数 1nnu收敛的收敛的充要条件充要条件是是:部分和数列部分和数列nS有上界有上界.设设 1nnu收敛收敛,收敛收敛则则nS,0 nu由由 nS知知 nS有上界有上界,故故 nS 1nnu又知又知故有界故有界.正项级数正项级数：单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证 1.1.定义定义2.2.定理定理11
2、.111.1()()问题：正项级数收正项级数收敛的条件敛的条件?2二、比较审敛法二、比较审敛法1.1.引例引例例例1 1 判定正项级数判定正项级数 的敛散性的敛散性.1e31nn分析分析：欲寻找能控制该级欲寻找能控制该级数部分和数部分和S Sn n的新收敛级数的新收敛级数解解由于由于,31e31nn 部分和部分和e31e31e312 nnSnn 3131312,23311收敛收敛由由 nn有上界，有上界，知知n 有上界，有上界，从而从而Snn 故级数故级数 1e31nn收敛收敛.3定理定理11.211.2 (比较审敛法比较审敛法),1 nnu 1nnv(1 1)若若 1nnv则则 1nnu(2
3、 2)若若 1nnv则则 1nnu证证收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也也发散发散.，nnvu 设设正项级数正项级数，nnvu 部分和满足：部分和满足：nnuuuS 210vvvnn 21收敛，收敛，设设 1)1(nnv，由由nnvu 有上界有上界n 有界，有界，故故nS 1nnu从而从而收敛收敛 .4用反证法：用反证法：)2(1nnu 收敛，收敛，若若，又又nnvu 1nnv收敛收敛 ,矛盾矛盾!由由(1 1)5(1)(1)有限项不影响有限项不影响级数的敛散性级数的敛散性同敛散同敛散.)0(c 11)2(nnnncuu 与与推论推论 (比较审敛法比较审敛法)()若若则则()若若 1n
4、nv则则 1nnu收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也也发散发散.设设正项级数正项级数 1nnvnnvu c),(Nn nnvu c,1 nnu 1nnv 1nnu),(Nn 6比较法的使用思路：比较法的使用思路：欲证收敛欲证收敛(发散发散)，则放大则放大(缩小缩小).)1(21的敛散性的敛散性判断正项级数判断正项级数 nnn ，1212 nnn例例2 2解解发散发散且且 111nn.所给级数发散所给级数发散7例例3 3 讨论讨论 p p-级数级数 pppn131211(常数常数 p p 0).0).解解 ,1)1时时 p 11npn故故，n1 发散发散 .而而 11nn发散发散,pn1
5、,1)2时时当当 p),1(nxn ，ppxn11 11npn敛敛散散 小小p?猜：猜：),2,1(11,nnnnnpp分析：分析：发散发散 11nn.11发散发散 npn?nnpnnpxxxn11d1d1),3,2(n大大的敛散性的敛散性 8级数的部分和级数的部分和 p pn1),3,2(n nnpnnpxxxn11d1d1oyx)1(1 pxyp11 nn2pppnnS131211 nnpppxxxxxx13221ddd1xxnpd111 )11(1111 pnp),3,2(111 np p p-级数级数部分和部分和S Sn n有上界，有上界，,1时时故当故当 p p p-级数收敛级数收敛
6、.9结论结论 p p-级数：级数：1 p1 p 11npn收敛，收敛，注注)1(1 pnupn某某？判判？某某判判)1(1 pnupn，收敛收敛欲证欲证 1nnu，发散发散欲证欲证 1nnu调和级数调和级数 与与 p-p-级数级数.常用的比较级数常用的比较级数:等比级数等比级数,发散发散.10例例4 4解解 .)1(112的敛散性的敛散性判断正项级数判断正项级数 nnn nnvnnnu 231112 11,123nnnnv收敛收敛而而.)1(112收敛收敛 nnn11定理定理11.311.3 (极限形式的比较审敛法极限形式的比较审敛法),1 nnu 1nnvlvunnn lim则有则有 两级数
7、同敛散两级数同敛散 ;(2)(2)当当 l l=0 0,1收敛时收敛时且且 nnv;1也收敛也收敛 nnu(3)(3)当当 l l=+=+,1发散时发散时且且 nnv.1也发散也发散 nnu设正项级设正项级数数满足满足(1)(1)当当 0 0 l l+时时,),0(l12证证,0 对对,ZN存在存在 lvunn)(l,时时当当Nn lvunnn lim由由nnnvluvl)()()(Nn ,2l 取取由由定理定理 11.211.2 知知与与 1nnu 1nnv同敛散同敛散;(1)(1)当当0 0 l l+时时,13(3)(3)当当l l=+=+时时,ZN有有,时时当当Nn ,1 nnvunnv
8、u 由由定理定理11.211.2知知,1nnv发散时发散时(2)(2)l l=0 0 情形情形,.1也发散也发散 nnu请自证请自证;极限形式的极限形式的比较审敛法比较审敛法使用思路：使用思路：lvunnn lim),0(l寻找寻找u un n的的同阶无穷小同阶无穷小,lim nnnvu由由143.11由定理由定理例例5 5:判定级数的敛散性判定级数的敛散性解解时时当当0 x于是于是,)1ln(xx,12)21ln(lim33 nnn级数级数而而 p 13.)21ln(,nn发散发散级数级数知知.)21ln(13 nn分析分析寻找寻找 的同阶无穷小的同阶无穷小.)21ln(3nun ,)131
9、(113发散发散 npn)1(3/1nOun 15nnnu231 由于由于,31nnu即即nnnn31231lim 1.231nnn收敛收敛.2311 nnn例例6 6:判定级数的敛散性判定级数的敛散性解解分析分析寻找寻找 的等价无穷小的等价无穷小.nnnu231 nn)32(1131 ,31 nn3 3n n 起主起主要要 作用作用则则故取故取,31nnv nnnvu lim.1)(11lim32 nn 131nn收敛，收敛，而而知，知，由定理由定理3.1116有有因取因取,12nvn nnnvu lim).(nvunn的高阶无穷小的高阶无穷小是是.ln13收敛收敛 nnn,0lnlim n
10、nn由由 13.lnnnn例例7 7:判定级数的敛散性判定级数的敛散性解解231lnlnnnnnnun 得得231lnlimnnnn 0lnlim nnn 1211nnnnv收敛，收敛，而而知，知，由定理由定理3.11)1(2no 17三、比值审敛法和根值审敛法三、比值审敛法和根值审敛法设正项级数设正项级数:1满足满足 nnuuunnn 1lim则则(1)(1)当当1(2)(2)当当1 时时,级数级数收敛收敛 ;或或时时,级数级数发散发散.1.1.比值审敛法比值审敛法),0(定理定理11.411.4 (达朗贝尔审敛法达朗贝尔审敛法)(3)(3)当当1 时时,比值审敛法比值审敛法失效失效.18u
11、unnn 1lim由由证证 (1)(1),1时时当当 11 uunn,10 ，使，使取取,ZN有有,时时当当Nn nnuu)(1 12)(nu 1)(NNnu收敛，收敛，1)(nn 由比较法，由比较法，.1收敛收敛 nnu19,1时时或或 ,ZN有有,11 nnuu,0lim Nnnuu因此因此所以级数发散所以级数发散.时，时，当当Nn (2)(2)当当nnuu 11 nuNu 从而从而，由由 nnnuu1lim20么么么么方面 Sds绝对是假的时，时，即即1lim1 nnnuu级数级数可能收敛可能收敛也也可能发散可能发散.例如例如,p p 级数级数:11 npnnnnuu1lim ppnnn
12、1)1(1lim 1 但但,1 p级数收敛级数收敛 ;,1 p级数发散级数发散 .,1)3(时时当当 22例例8 8.!22112的敛散性的敛散性！判断级数判断级数 nnn解解nnnuu1lim 因为因为nnnn 1limnnn 11lim.故级数发散故级数发散，1 e !111limnnnnnnn 小结：小结：通项含通项含n n!的级数，的级数，适合用适合用比值法比值法判敛散判敛散.23 1)!2(!2!1nnn.)!2(!2!1nnun )!2(!)!2(!nnnnnnn nv)!2(!)!1(2)!1)(1(limlim1nnnnnnvvnnnn 而而nnnn)12(2)1(lim 10
13、 解解.1故原级数收敛故原级数收敛收敛，收敛，nnv例例9 9:判定级数的敛散性判定级数的敛散性24的敛散性的敛散性判断判断 122nnnx例例1010解解nnnuu1lim 因为因为 22221limxxnnn ,由比值法知由比值法知 .1,0,xx为常数为常数 222121limnxnxnnn 1,10,122xxnxnn发散发散收敛收敛小结小结:通项含通项含 a an n 的级数，的级数，适合用适合用比值法比值法判敛散判敛散.252.2.根值审敛根值审敛法法 1nnu设设为正项级数为正项级数,且且,limunnn 则则;,1)1(级数收敛级数收敛时时当当 .,1)2(级数发散级数发散时时
14、或或当当 如如 p p 级数级数:11pnn pnnnnu1)(1 n,1 p但但级数收敛级数收敛 ;,1 p级数发散级数发散 .定理定理11.511.5 (柯西审敛法柯西审敛法)证明与比证明与比 值法类似值法类似(3)(3)当当1 时时,根值审敛法根值审敛法失效失效.26例例1111判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:1)1(2nnn.解解(方法方法1)1)根值法根值法 1)1(122limlim nnnnnnu1.原级数收敛原级数收敛(方法方法2)2)比较法比较法1)1()1(222 nnnnnu收敛，收敛，1121nn.原级数收敛原级数收敛)1(21221 nnn2781lim2l
15、im122 nnnnaa)(limlim1 且且不存在不存在nnnnnauu故比值法失效故比值法失效.比值法失效！比值法失效！对于对于,21)1(nnnnnnnnnnuua)1()1()1(1221 n)1(212 奇数奇数，偶数偶数nn81,2注注28内容小结内容小结1.1.判断判断正项级数正项级数敛散性的一般程序：敛散性的一般程序：否否0lim？nnu发散发散 1nnu是是 或不能肯定或不能肯定比值法比值法 lim n1 nunu 根值法根值法unnn lim（可判）（可判）1 收敛收敛 1nnu1 29比值法比值法 lim n1 nunu 根值法根值法unnn lim（可判）（可判）1
16、比值法、根值法比值法、根值法失效！失效！部分和极限法部分和极限法比较审敛法或比较审敛法或302.2.级数发散与一般项极限不为零的关系级数发散与一般项极限不为零的关系发散发散 1nnu0lim nnu 0lim nnu)(发散，发散，如：调和级数如：调和级数 11nn.0lim nnu但但根值法判定根值法判定特殊地，若用比值法或特殊地，若用比值法或发散发散 1nnu31：比值法和根值法的关系比值法和根值法的关系.3 nnnuu1lim)0(lim nnnu)(若若这表明：这表明：)1(nnnuu1lim，则用比值法和，则用比值法和根值法判断的结论一致；根值法判断的结论一致；.)2(用的范围更广用
17、的范围更广比值法适比值法适从理论上看，根值法较从理论上看，根值法较 收敛收敛)0(.41nnnuu1lim1 nnnuu32备用题备用题例例2-12-1的敛散性的敛散性判断正项级数判断正项级数 1)1(1nnn ,2)2(2 nnn由由解解.散散由比较法知，原级数发由比较法知，原级数发,发散发散 121nn而而 ,2121 nnn得得 214131n33 lim n例例8-1 8-1 讨论讨论)0(11 xxnnn的敛散性的敛散性 .解解 nnnuu1lim nxn)1(1 nxnx 由由定理定理11.411.4，,10时时当当 x级数收敛级数收敛 ;,1时时当当 x级数发散级数发散 ;.1发
18、散发散级数级数 nn,1时时当当 x34:判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性解解nnnuu1lim)1(，由比值法知由比值法知例例8-28-2 .01 anann111lim nnnanna,1limaannn 时，级数收敛；时，级数收敛；当当10 a时，级数发散；时，级数发散；当当1 a.1时，为调和级数，发散时，为调和级数，发散当当 a35)0(!1 annannn常数常数 nnnnnau!)1()!1(111nannnauunnnnnnnna)11(解解 nnnuu1lim eanann )11(lim例例10-110-1:判定级数的敛散性判定级数的敛散性36 nnnuu1lim
19、eanann )11(lim原级数收敛；原级数收敛；时，时，故当故当,10 ea原级数发散；原级数发散；时，时，当当,1 ea,1比值法失效比值法失效时，时，当当 ea此时，由此时，由 nnuu1nne)11(1,11euuunn 得得0lim nnu故原级数发散故原级数发散.37.2)1(21 nnn,232)1(2nnnnnvu (方法方法1)1)比较法比较法解解,2311收敛收敛而而 nnnnv.2)1(211收敛收敛 nnnnnu例例11-111-1:判定级数的敛散性判定级数的敛散性38,)21(222)1(211 nnnnnn(方法方法3)3)根值法根值法1122)1(2limlim nnnnnnu1.原级数收敛原级数收敛小结小结:通项含通项含 a an n 的级数，的级数，适合用适合用根值法根值法判敛散判敛散.(方法方法2)2)利用性质利用性质39,)1(2(2)1(211nnnnnauu ,61lim2 nna,23lim12 nna).(limlim1 且且不存在不存在nnnnnauu!2)1(21，比值法失效，比值法失效对于对于 nnn注注40
