1、楚雄州中小学20232024学年上学期期中教育学业质量监测高三年级数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则ABCD2.在复平面内，对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四
2、象限3.口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，大小形状均完全相同，现从中随机摸出2个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为ABCD4.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为ABCD5.在长方体中，已知，E为AB的中点，则异面直线与DE所成角的余弦值为ABCD6.现有一组数据，的平均数为8，若随机去掉一个数（，2，3，4，5）后，余下的四个数的平均数为9，则下列说法正确的是A余下四个数的极差比原来五个数的极差更小B余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大C余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大D去掉的数一定是47.曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为ABCD8
3、.双曲线C：的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设非零向量，满足，则ABCD10.信号处理是对各种类型的电信号，按各种预期的目的及要求进行加工过程的统称，信号处理以各种方式被广泛应用于医学，声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是余弦型函数，的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，下列结论正确的是A为偶函数B的图象关于直线对称C为周
4、期函数，且最小正周期为D设的导函数为，则11.如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，将直角梯形ABCD绕着AB旋转一周得到一个圆台，下列说法正确的是A该圆台的体积为B该圆台的侧面积为C该圆台可由底面半径为2，高为3的圆锥所截得D该圆台的外接球半径为12.已知定义在R上的奇函数满足，是的导函数，下列说法正确的是A不存在最大值B不存在最大值C是周期为4的周期函数D是周期为4的周期函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知圆C：及圆C外一点，过点M作圆C的一条切线，切点为N，则 .14.生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中
5、某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，则 .16.已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知递增的等比数列满足，且，成等差数列.
6、（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前20项和.18.（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角B；（2）设BD是AC边上的高，且，求ABC的周长.19.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB平面PAC，平面ABC平面PAC，D为BC的中点.（1）证明：AB平面PAC.（2）求二面角B-PA-D的余弦值.20.（12分）某单位有200名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，每个人是否携带病毒互不影响.现有两种筛查方案，方案1：对每个人的血样逐一化验，需要化验200次；方案2：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混
7、合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人的血样全部为阴性，如果混合血样呈阳性，说明这10个人中至少有一个人的血样呈阳性，就需要对这10个人每个人再分别化验一次.（1）某夫妻二人都在这个单位工作，若按照方案1，随机地进行逐一筛查，则他们二人恰好是先筛查的两个人的概率是多少；（2）若每次化验的费用为16元，采用方案进行化验时，此单位大约需要总费用多少元？（参考数据：）21.（12分）已知动圆P过点，且在圆B：的内部与其相内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）若M，N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点满足，且，求直线MN的斜率k的取值范围.22.（12分）已知函数，.（1）求的单调区间；（2
8、）证明：.楚雄州中小学20232024学年上学期期中教育学业质量监测高三年级数学试卷参考答案1.C因为，所以.2.D因为，所以对应的点位于第四象限.3.A所求概率.4.C因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数，应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D.又因为，不满足，排除A，满足，故选C.5.B以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则，.设异面直线与DE所成角的大小为，所以.6.D因为，的平均数为8，设去掉后余下的四个数的平均数为9，则，D正确.例如这5个数分别为3，4，4，4，25，则可得A，B，C错误，故选D
9、.7.B因为，所以所求切线方程为，令，则，令，则.所以当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，所以.因为，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为.8.A由双曲线定义可知，且.不妨设，则，.在中，由余弦定理得，解得.在中，由余弦定理得，进一步可得.由双曲线性质可知.9.BC因为，所以，即，所以，A错误，B正确.因为，所以，所以，C正确，D错误.10.ABD因为，所以为偶函数，A正确；因为，所以的图象关于直线对称，B正确；因为，所以的最小正周期不是，C错误；，当且仅当时，等号成立，显然取等号的条件不成立，所以，D正确.11.ABD易知该圆台的高，上底面圆的半径，下底面圆的半径.对于A，该圆台的体积，
10、A正确.对于B，该圆台的侧面积，B正确.对于C，该圆台可由底面半径为2，高为2的圆锥所截得，C错误.对于D，作该圆台与它的外接球的轴截面，如图所示，其中线段EF的中垂线GH交直线AB于O点，点O就是外接球的球心.作BH0G，垂足为H，易知，所以，外接球半径，D正确.12.AD对于A，不妨设的最大值为M，其图象的最高点的坐标为.因为为奇函数，所以，图象的最低点的坐标为.由知的图象关于点对称，所以关于的对称点坐标为，这与M为的最大值矛盾，所以不存在最大值，A正确.对于B，取，则，存在最大值，所以B错误.对于C，因为奇函数满足，所以.假设是周期为4的周期函数，则，推出，这是错误的，所以C错误.对于D
11、，因为，且是奇函数，所以，即，所以，D正确.13.6因为圆心，半径，所以.14.7.5当时，由，得.15.8根据题意得，即，所以，所以.16.32易知，设直线的方程为，联立方程组，消去y得，则.设，同理可得，所以.因为是，所以，当且仅当时，等号成立.17.解：（1）设公比为q，因为，成等差数列，所以，所以，解得或（舍去），所以.（2）根据题意得.18.解：（1）因为，所以.因为，所以，即.因为，所以，解得.（2）因为，所以.又由，可得，所以.由余弦定理，可得，即，所以，所以ABC的周长为.19.（1）证明：在线段PC上任取一点M，过点M作MNAC，垂足为N.因为平面PAB平面PAC，所以MP平
12、面PAB，从而MPAB.同理，由平面ABC平面PAC，可得MNAB，因为，所以AB平面PAC.（2）解：以P为原点，PA，PC所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面PAD的法向量为，由得，令，得.易知平面PAB的一个法向量为.设二面角B-P-D的大小为，观察可得为锐角，所以，即二面角B-PA-D的余弦值为.20.解：（1）根据古典概型的概率的计算方法，他们二人恰好是先筛查的两个人的概率.（2）按方案2，设每组需要化验的次数为X，则或11.10个人一组，该组混合血样呈阴性的概率为，则10个人一组，该组需要重新化验的概率为.X的分布列为X111P0.600.40所以.总
13、的化验次数为，需要花费总费用（元）.21.解：（1）设动圆P和圆B相切于点M，则B，P，M三点共线，所以.所以点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的方程为，则，从而.所以点P的轨迹方程为.（2）由题意知直线MN的方程为，设，.联立方程组，消去x得，由，可得.由根与系数的关系有.由可得，代入上式得.当时，是减函数，故.由，解得，又，所以，即k的取值范围是.22.（1）解：的定义域为，.令，得，此时函数单调递增；令，得，此时函数单调递减.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：令，则.当时，.当时，令，则，因为，所以，即单调递减.又，所以存在，使.所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以.因为，所以，即，所以.因为，且在上单调递减，所以，同时，所以.因为，所以，又因为，所以，即.
