1、14 离散模型离散模型一、贷款买房问题一、贷款买房问题 问题问题：有一对：有一对夫妇为买房要向银行借夫妇为买房要向银行借款款6万元，月利率是万元，月利率是0.01且为复利，贷且为复利，贷款期为款期为25年。他们要知道每个月要偿年。他们要知道每个月要偿还多少钱（设为常数），才能决定自还多少钱（设为常数），才能决定自己有无能力来买房。这对夫妇每月能己有无能力来买房。这对夫妇每月能有有900元的结余，请你帮助决策。元的结余，请你帮助决策。2解：已知解：已知A。6万元为向银行的贷款数，万元为向银行的贷款数，R0.01为月利率（即计息周期为月），为月利率（即计息周期为月），问题是要知道问题是要知道25年
2、（年（300月）还清本息月）还清本息每月要还多少（设为每月要还多少（设为x）钱。）钱。用用N表示第表示第N个月（时间变量），个月（时间变量），表示第表示第N个月尚欠银行的款，个月尚欠银行的款，R表示月表示月利率，利率，x表示每月要还的钱数。这里要表示每月要还的钱数。这里要求的是求的是x，因而把，因而把x看成因变量，可把看成因变量，可把A。，。，R看成参数，看成参数，N看成自变量（这看成自变量（这些都是相对的！）。本问题的数学模些都是相对的！）。本问题的数学模型可建立如下：型可建立如下：NA3因为因为A。60000元元A。(1+R)-x （一个月后欠银行的钱数）（一个月后欠银行的钱数）1AxRA
3、A)1(12所以第所以第N个月后尚欠银行的钱数为个月后尚欠银行的钱数为)14()1(1xRAANN (4-1)就是本问题的数学模型，数学上称就是本问题的数学模型，数学上称为（线性）差分方程。为（线性）差分方程。4的表达式依次代入的表达式依次代入(4-1),即得即得121,AAANN把把 1)1()1()1(21RRRxNNNNRAA)1(0利用等比级数求和公式得利用等比级数求和公式得)24(1)1()1(0NNNRRxRAA当当N300时，时，表示还清，表示还清，0300A由此即得由此即得 1)01.1(01.0)01.1(600000300300 x5从而有从而有x632元。元。所以，这对夫
4、妇还是有能力买房的，但所以，这对夫妇还是有能力买房的，但他们的结余就少了，应急能力降低了他们的结余就少了，应急能力降低了 某借贷公司针对上述情况出了一个广告：某借贷公司针对上述情况出了一个广告：本公司能帮助你提前三年还清借款，只要：本公司能帮助你提前三年还清借款，只要：(1)每半个月向公司还一次钱，钱数为每半个月向公司还一次钱，钱数为316元；元；(2)由于文书工作多了，要求你预付三个月的由于文书工作多了，要求你预付三个月的钱，即预付钱，即预付1896元。元。请你给分析一下借贷公司用意何在？请你给分析一下借贷公司用意何在？是否赚钱？是否赚钱？6 分析分析(1)这时主要是还款周期变了，从一这时主
5、要是还款周期变了，从一个月变为半个月，因而可设个月变为半个月，因而可设R0.005，x316，A。60000，这时要求的是使这时要求的是使 的的N（注意（注意这时这时N表示半个月）表示半个月）0NA由由(4-2)可知可知)34()1ln()ln(0RRAxxN 从而求得从而求得N598（半个月）（半个月）299月月24.92年，即最多只能提前一个月还清。年，即最多只能提前一个月还清。7 如果只有这一条该借贷公司真的成了如果只有这一条该借贷公司真的成了慈善机构了！问题可能出现在第二个慈善机构了！问题可能出现在第二个“只只要要”上。上。分析分析(2)预付预付1896元表示你只借了元表示你只借了A。
6、60000-189658104元，而元，而R0.005，x316，.0NAN的的要求使要求使 由由(4-3)求得求得N505（半个月）（半个月）252.5月月21.04年，年，即提前四年就还清了（相当于该公司至少即提前四年就还清了（相当于该公司至少赚了赚了632127584元）！元）！这对夫妇于是明白了：可以一开始就少这对夫妇于是明白了：可以一开始就少借一点钱，他们更明白了算计（数学）在家借一点钱，他们更明白了算计（数学）在家庭经济决策中的重要作用。庭经济决策中的重要作用。8思考题：思考题：(1)如果有一笔存款连同连续复利一道计如果有一笔存款连同连续复利一道计算，它在算，它在15年内翻了一翻，
7、问存款利率是多年内翻了一翻，问存款利率是多少？少？(2)一个人为了积累养老金一个人为了积累养老金,他每个月按时他每个月按时到银行存到银行存100元元,银行的年利率为银行的年利率为4%,且可以任且可以任意分段按复利计算意分段按复利计算,试问此人在试问此人在5年后共积累年后共积累了多少养老金了多少养老金?如果存款和复利按日计算如果存款和复利按日计算,则则他又有多少养老金他又有多少养老金?如果复利和存款连续计算如果复利和存款连续计算呢呢?9二、席位分配模型二、席位分配模型问题问题：某校有某校有200名学生，甲系名学生，甲系100名，乙系名，乙系60名，丙系名，丙系40名；若学生代表有名；若学生代表有
8、20个席位，个席位，则公平而又简单的分法应各有则公平而又简单的分法应各有10、6、4个席个席位。位。若丙系有若丙系有6名学生分别转入甲、乙两系各名学生分别转入甲、乙两系各3人，此时各系的人数为人，此时各系的人数为103、63、34，按比例，按比例应分配为应分配为10.3、6.3和和3.4，出现了小数。，出现了小数。19席席分配完后，最后一席留给小数点后最大的丙分配完后，最后一席留给小数点后最大的丙系，分别为系，分别为10、6、4。10 现增加现增加1席共席共21席（为了方便提案表决），席（为了方便提案表决），重新分配，按比例计算得甲、乙、丙三系分重新分配，按比例计算得甲、乙、丙三系分别占席位为
9、别占席位为10.815、6.615、3.570，按上面的，按上面的分法分别为分法分别为11、7、3，这样增加了个一席位，这样增加了个一席位，但丙系的席位反而减少了一个，你认为合理但丙系的席位反而减少了一个，你认为合理吗？吗？请给一个比较公平的席位分配方案。请给一个比较公平的席位分配方案。下面介绍一个席位分配模型：下面介绍一个席位分配模型：设设A、B两方人数分别为两方人数分别为 分分别别占占有有,21pp个席位，个席位，和和21nn 则两方每个席位所代表的人数则两方每个席位所代表的人数分别为分别为 ,2211npnp和和11，当时，席位分配才公平当时，席位分配才公平只有只有2211npnp.22
10、11npnp但通常但通常表表示示不不公公平平的的标标准准？能能否否用用2211npnp 2211npnpnpnp1210120A1010100B21012102101020C100101000D2100102“绝对不公平绝对不公平”不是一个好的衡量标准。不是一个好的衡量标准。12为了改进绝对标准，自然想到用相对标准。为了改进绝对标准，自然想到用相对标准。首先对首先对“相对不公平相对不公平”下个定义：下个定义：，则则称称如如果果2211npnp)44(11221222211npnpnpnpnp为对为对A的相对不公平值，的相对不公平值，；记记作作),(21nnrA13，则则称称如如果果2211np
11、np)54(12112111122npnpnpnpnp为对为对B的相对不公平值，的相对不公平值，),(21nnrB记记作作假设假设A、B两方已分别占有两方已分别占有 个个席席位位，和和21nn利用相对不公平的概念来讨论，当总席位再利用相对不公平的概念来讨论，当总席位再增加增加1席时，应该给席时，应该给A方还是给方还是给B方？方？14不失一般性，不失一般性，可可设设2211npnp即此时对即此时对A方不公平，方不公平，有有意意义义，),(21nnrA当再分配当再分配1个席位时，个席位时，有以下三种可能：有以下三种可能：,1)1(2211npnp若若这说明既使这说明既使A方增加方增加1席，席，仍然
12、对仍然对A不公平，所以这不公平，所以这1席当然给席当然给A方。方。,1)2(2211npnp若若说明当说明当A方增加方增加1席时，席时，将对将对B不公平，此时计算对不公平，此时计算对B的相对不公平值：的相对不公平值：)64(11),1(211221nnppnnrB15,1)3(2211npnp若若说明当说明当B方增加方增加1席时，席时，将对将对A不公平，此时计算对不公平，此时计算对A的相对不公平值：的相对不公平值：)74(11)1,(122121nnppnnrA 公平的席位分配方法应该使得相对不公平公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小，的数值尽量地小，所以如果所以如果)84()1
13、,(),1(2121nnrnnrAB则这一席应给则这一席应给A方；反之，应给方；反之，应给B方。方。根据根据(4-6).(4-7)两式，两式，(4-8)式等价于式等价于)94()1()1(11212222nnpnnp16不难证明，从上述第不难证明，从上述第(1)种情况也可推出种情况也可推出(4-9)。于是得结论：于是得结论：当当(4-9)式成立时，增加的式成立时，增加的1席应分配给席应分配给A方；反之，应分配给方；反之，应分配给B方。方。,2,1)1(2）（若若innpQiiii则增加的则增加的1席应分配给席应分配给Q值较大的一方值较大的一方。将上述方法推广到有将上述方法推广到有m方分配席位的
14、情况：方分配席位的情况：,个席位个席位，已占有，已占有方的人数为方的人数为设设iiinpA当总席位增加当总席位增加1席时，计算席时，计算)104(),2,1()1(2minnpQiiii17则这则这1席位应分配给席位应分配给Q值最大的那一方值最大的那一方,开始。开始。计算从计算从1in现在利用（现在利用（4-10）来解决开始的问题。）来解决开始的问题。可以说前可以说前19席没有争议，即甲、乙、丙各为席没有争议，即甲、乙、丙各为10、6、3，现在讨论第，现在讨论第20和和21席应归于何方：席应归于何方：第第20席席计算计算 101n)110(1010321Q=96.4 62n)16(66322Q
15、=94.533n)13(33423Q=96.318即第即第20席应分给甲系。席应分给甲系。第第21席席计算计算111n)111(1110321Q4.8062n)16(66322Q=94.533n)13(33423Q=96.3即第即第21席应分给丙系。席应分给丙系。最后甲、乙、丙系的席位分别为最后甲、乙、丙系的席位分别为11、6、4，这样丙系保住它险些丧失的这样丙系保住它险些丧失的1席，你觉得这个席，你觉得这个方法公平吗？方法公平吗？19思考题：思考题：比利时比利时(dHondt)分配方案：分配方案：将甲、乙、丙三系的人数都用将甲、乙、丙三系的人数都用1.2.3去去除，将商从大到小排列，取前除，
16、将商从大到小排列，取前21个最大的，个最大的，这这21个中各系占有几个，就分给几个席位，个中各系占有几个，就分给几个席位，你认为这种方法合理吗？你认为这种方法合理吗？三、三、蛛网模型（留给同学自学）蛛网模型（留给同学自学）20四、常染色体遗传模型四、常染色体遗传模型1、亲体基因遗传方式与问题、亲体基因遗传方式与问题1）遗传方式）遗传方式 在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因特征是由两个基因A和
17、和a控制的，那么就有三控制的，那么就有三种基因对，记为种基因对，记为AA，Aa，aa。例如，金鱼草。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因型是型是AA的金鱼草开红花，的金鱼草开红花，Aa型开粉红色花，型开粉红色花，而而aa型的开白花。型的开白花。21 又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的，基因是控制的，基因是AA或或Aa的人，眼睛为棕色；基的人，眼睛为棕色；基因是因是aa型的人，眼睛是蓝色。这里型的人，眼睛是蓝色。这里Aa和和AA都表都表示了同一外部特征，我们认为基因示了同一外部特征，我们认为基因A
18、支配基因支配基因a，也可以认为基因也可以认为基因a对于对于A是隐性的，当一个新体是隐性的，当一个新体的基因型为的基因型为Aa，而另一个亲体的基因为，而另一个亲体的基因为aa，那，那么后代可以从么后代可以从aa型中得到基因型中得到基因a，从，从Aa型中或得型中或得到到A，或得到，或得到a，且是等可能性的得到。这样，且是等可能性的得到。这样，后代基因型为后代基因型为Aa或或aa的可能性相等。的可能性相等。22 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其后代形成每种基因的概率，如表使其后代形成每种基因的概率，如表1-2所示。所示。基因型的概率分布基因型的概率分布
19、后代后代基因型基因型父体父体 母体（母体（n-1代）基因型代）基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA1000Aa010aa0001 2121414121212123 2）问题）问题 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型AA，Aa和和aa。农场计划采用。农场计划采用AA型植物与每种基因型型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？如何？2、模型构造、模型构造1）假设）假设（1）设）设an，bn和和cn分
20、别表示第分别表示第n代植物中基因代植物中基因型为型为AA，Aa和和aa的植物总数的百分率，的植物总数的百分率，n=0，1，2，x(n)为第为第n代植物的基因型分布：代植物的基因型分布：24nnnncbax)(当当n=0时时000)0(cbax 表示植物基因型的初始分布（即培育开始时表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）。的分布）。显然有显然有.1000cba25 （2）第）第n-1代与第代与第n代的基因型分布关代的基因型分布关系是通过表系是通过表2-3确定的。确定的。2）建模）建模 根据假设（根据假设（2），先考虑第），先考虑第n 代中的代中的AA型。型。由于第由于第n-1代的代的AA
21、型与型与AA型结合，后代全部型结合，后代全部是是AA型；第型；第n-1代的代的Aa与与AA型结合，后代是型结合，后代是AA型的可能性为型的可能性为 ；而第；而第n-1代的代的aa型与型与AA型的结合，后代不可能是型的结合，后代不可能是AA型。型。21因此当因此当n=1，2，时时 1110211nnnncbaa26）（即即2742111nnnbaa类似考虑第类似考虑第n 代中的代中的Aa型和型和aa型，分别可推出型，分别可推出）（284,2111nnncbb）（294.0nc将（将（4-27），（），（4-28）和（）和（4-29）式相加，得）式相加，得.111nnnnnncbacba根据假设（
22、根据假设（1），有），有.1000cbacbannn27将（将（4-27），（），（4-28）和（）和（4-29）式联立得）式联立得 1121nnnbaa,2111nnncbb.0nc用矩阵形式表示为用矩阵形式表示为)1()(nnMxx）（）（304,2,1n其中其中00012100211Mnnnncbax)(28 由由(4-30)式进行递推，便得到第式进行递推，便得到第n代基因代基因型分布的数学模型型分布的数学模型）（314)0()2(2)1()(xMxMMxxnnnn 它表明历代基因型分布可由初始分布和它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵矩阵M确定。确定。3、模型求解、模型求解 为为 了
23、计算了计算Mn，将，将M对角化，即求出可逆对角化，即求出可逆矩阵矩阵P和对角阵和对角阵D，使，使1 PDPM因而有因而有 1PPDMnn29其中其中01nD20013nnn2n30 对于（对于（4-30）式中的）式中的M，易求得其特征值和，易求得其特征值和特征向量分别为特征向量分别为11212030011e0112e1213e30因此因此 0000210001D100210111)(321eeeP通过计算，得通过计算，得P-1=P，因此有，因此有)0(1)0()(xPPDxMxnnn310001002101110000)21(0001100210111cban00011)(000)21()21
24、(0)21(1)21(11cbacbaxnnnnnnnn即即0)21()21()21()21(010010000cbcbcbannnn32所以有所以有）（3240,)21()21(,)21()21(1010010nnnnnnnccbbcba式中可得到从时)324(,0)21(,nn,0,0,1nnncba即在极限情况下，培育的植物都是即在极限情况下，培育的植物都是AA型。型。33 4、模型讨论、模型讨论 若在上述问题中，不选用基因型若在上述问题中，不选用基因型AA的植的植物与每一其它基因型植物相结合，而是将具物与每一其它基因型植物相结合，而是将具有相同基因型植物结合，那么后代具有三种有相同基因
25、型植物结合，那么后代具有三种基因型的概率由下表基因型的概率由下表2-4给出：给出：34表表2-4 相同基因型结合的后代基因型的概率分布相同基因型结合的后代基因型的概率分布后代基因后代基因型型父体父体-母体的基因型母体的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA10Aa00aa0141214135于是有于是有)0()(xMxnn其中其中141002100411MM的特征值为的特征值为21,1,132136 通过计算，可以解出与通过计算，可以解出与1，2相对的两个相对的两个线性无关的特征向量线性无关的特征向量e1和和e2，和与，和与3相对应相对应的特征向量的特征向量e3，即，即 1011e1002e
26、1213e从而得从而得.02101110211,1112001011PP3700002101110211)21(00010001111200101cban于是，于是，)0(1)(xPPDxnn000111)21(2100)21(00)21(211cbannn即得即得38,)21(21,)21(,)21(210100010bccbbbaannnnnn所以时,0)21(,nn000021,0,21bccbbaannn 因此，如果用基因型相同的植物培育后因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅有基因型代，在极限情况下，后代仅有基因型AA和和aa。39思考题：思考题：一种植物的基因型
27、为一种植物的基因型为AA,Aa和和aa。研究。研究人员采用将同种基因型的植物相结合的方人员采用将同种基因型的植物相结合的方法培育后代，开始时这三种基因型的植物法培育后代，开始时这三种基因型的植物所占的比例分别为所占的比例分别为20%，30%，50%。问。问经过若干代培育后这三种基因型的植物所经过若干代培育后这三种基因型的植物所占的比例是多少？占的比例是多少？40思考题：思考题：将某树群的树分成三类：幼树将某树群的树分成三类：幼树树龄为树龄为010年，成树年，成树树龄为树龄为1040年，老树年，老树树树龄在龄在40年以上。年以上。在没有采伐的条件下，假定在每一个单位在没有采伐的条件下，假定在每一
28、个单位时间时间2年内：年内：(1)幼树中的幼树中的 成长为成树，每一棵幼树平成长为成树，每一棵幼树平均繁殖均繁殖 棵新树。棵新树。(2)成树中的成树中的 长成老树，每一棵成树平均长成老树，每一棵成树平均繁殖一棵新树。繁殖一棵新树。211515141(3)老树的老树的 要老死，每一棵老树平均繁要老死，每一棵老树平均繁殖殖 棵新树。棵新树。若在第若在第k个单位时间内，幼树、成树、老个单位时间内，幼树、成树、老树砍伐的数量分别为树砍伐的数量分别为 ，试，试在没有砍伐及有砍伐两种情况下分别建立树在没有砍伐及有砍伐两种情况下分别建立树群增长的数学模型。群增长的数学模型。50151)(),(),(321k
29、ukuku425 利用微积分建模利用微积分建模 一、租客机还是买客机一、租客机还是买客机 问题问题：某航空公司为了发展新航线的航运业：某航空公司为了发展新航线的航运业务，需要增加务，需要增加5架波音架波音747客机。如果购进一架客机。如果购进一架客机需要一次支付客机需要一次支付5000万美元现金，客机的使万美元现金，客机的使用寿命为用寿命为15年。如果租用一架客机，每年需要年。如果租用一架客机，每年需要支付支付600万美元的租金，租金以均匀货币流的方万美元的租金，租金以均匀货币流的方式支付。若银行的年利率为式支付。若银行的年利率为12%，问购买还是，问购买还是租用客机合算？如果银行的年利率为租
30、用客机合算？如果银行的年利率为6%？43 因为买飞机共支付因为买飞机共支付5000万元，租飞机万元，租飞机15年的租金为年的租金为 万元，所以买飞万元，所以买飞机必然比租飞机合算。这种想法对吗？机必然比租飞机合算。这种想法对吗？不对，因为没有考虑到利率对货币价值的影响。不对，因为没有考虑到利率对货币价值的影响。几个概念：几个概念：1、将将A元现金存入银行，年利率按元现金存入银行，年利率按r计算，计算，若以连续计息的方式结算，则若以连续计息的方式结算，则t年后的存款额年后的存款额为为rtAeta)(（为什么？）（为什么？）因此，因此，A元现金元现金T年之后的价值是年之后的价值是 ，称，称 为为A
31、元现金元现金T年之后的期末价值。年之后的期末价值。rTAerTAe90001560044 2、现、现 在的在的A元现金相当于元现金相当于T年之前把年之前把 元现金存入银行所得，故现在的元现金存入银行所得，故现在的A元现金元现金T年前的价值是年前的价值是 ，称，称 是是T年前的年前的贴现价值。贴现价值。rTAerTAerTAe 3、“均匀货币流均匀货币流”的存款方式就是使货币的存款方式就是使货币像流水一样以定常流量像流水一样以定常流量a源源不断地流进银行，源源不断地流进银行，比如商店每天把固定数量的营业额存入银行，比如商店每天把固定数量的营业额存入银行，就类似于这种方式。就类似于这种方式。有了上
32、面的概念，就可解决我们的问题了。有了上面的概念，就可解决我们的问题了。45 购买一架飞机可以使用购买一架飞机可以使用15年，但需要马上年，但需要马上支付支付5000万美元。而同样租一架飞机使用万美元。而同样租一架飞机使用15年，年，则需要以均匀货币流方式支付则需要以均匀货币流方式支付15年租金，年流年租金，年流量为量为600万美元。两种方案所支付的价值无法万美元。两种方案所支付的价值无法直接比较，必须将它们都化为同一时刻的价值直接比较，必须将它们都化为同一时刻的价值才能比较。我们以当前价值为准。才能比较。我们以当前价值为准。购买一架飞机的当前价格为购买一架飞机的当前价格为5000万美元。万美元
33、。下面计算均匀货币流的当前价格：下面计算均匀货币流的当前价格：设设t=0时向银行存入时向银行存入 美元，按美元，按连续复利计算连续复利计算,T年之后在银行的存款年之后在银行的存款额恰好是额恰好是A美元美元.rTAe46 也就是说也就是说,T年后的年后的A美元在美元在t=0时的价值时的价值为为 美元美元.rTAe 那么那么,对流量为对流量为a的均匀货币流的均匀货币流,在在 时所存入的时所存入的 美元美元,tt,t ta在在t=0时的价值是时的价值是taeetartrt由微元法可知由微元法可知,当当t从从0变到变到T时时,0,T周期内均匀流在周期内均匀流在t=0时时的总价值可表示为的总价值可表示为
34、47)1(00rTTrtTrteraeradtaeP因此因此,15年的租金在当前的价值为年的租金在当前的价值为)1(60015rerP(万美元万美元)当当r=12%时时 5.4173)1(12.06001512.0eP(万美元万美元)比较可知比较可知,此时租用飞机比购买飞机合算此时租用飞机比购买飞机合算.48当当r=6%时时3.5934)1(06.06001506.0eP(万美元万美元)此时购买飞机比租用飞机合算此时购买飞机比租用飞机合算.思考题思考题1 若将两种支付方式都化为若将两种支付方式都化为15年之后的价值进年之后的价值进行比较行比较,应该如何进行计算应该如何进行计算?49思考题思考题
35、2 航通公司一次投资航通公司一次投资100万元建造一条生万元建造一条生产流水线，并一年后建成投产，开始取得产流水线，并一年后建成投产，开始取得经济效益。设流水线的收益是均匀货币流，经济效益。设流水线的收益是均匀货币流，年流量是年流量是30万元，已知银行年利率为万元，已知银行年利率为10%，问多少年后该公司可以收回投资？问多少年后该公司可以收回投资？50二、除雪机除雪模型二、除雪机除雪模型 问题问题：冬天的纷飞大雪，使公路上积起冬天的纷飞大雪，使公路上积起厚雪而影响交通。有条厚雪而影响交通。有条10公里长的公路，由公里长的公路，由一台除雪机负责清扫积雪。每当路面积雪平一台除雪机负责清扫积雪。每当
36、路面积雪平均厚度达到均厚度达到0.5米时，除雪机就开始工作。但米时，除雪机就开始工作。但问题是开始除雪后，大雪仍下个不停，使路问题是开始除雪后，大雪仍下个不停，使路上积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低上积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低直到无法工作。直到无法工作。降雪的大小直接影响除雪机的工作速度，降雪的大小直接影响除雪机的工作速度，且已了解下述情况和部分有关数据：且已了解下述情况和部分有关数据：51 (1)在除雪机开始工作后，降雪又持续在除雪机开始工作后，降雪又持续了一个小时。了一个小时。(2)当雪的厚度达到当雪的厚度达到1.5米时，除雪机米时，除雪机将无法工作。将无法工作。(3)除雪机
37、在没有雪的路上行驶速度为除雪机在没有雪的路上行驶速度为10米秒。米秒。问当大雪以下列速度下一小时，除问当大雪以下列速度下一小时，除雪机能否完成雪机能否完成10公里的除雪工作？公里的除雪工作？A)恒速恒速R0.1厘米秒厘米秒 B)恒速恒速R0.025厘米秒厘米秒 C)前前30分钟由零均匀增加到分钟由零均匀增加到0.1厘米秒，后厘米秒，后 30分钟又均匀减少到零。分钟又均匀减少到零。52问题的分析：问题的分析：不妨假设除雪机的工作速度不妨假设除雪机的工作速度V（米秒）（米秒）与积雪厚度与积雪厚度d（米）成正比，即（米）成正比，即)15(21cdcV由条件，当由条件，当d0时时V10，当当d1.5
38、V0，3201c所所以以102c）（即即25)321(10dV53 在除雪机刚开始工作时积雪厚度为在除雪机刚开始工作时积雪厚度为d0.5米，由米，由(5-2)式可推算出除雪机的初始工作速度式可推算出除雪机的初始工作速度为为6.7米秒。米秒。下面还要描述下雪的厚度。下面还要描述下雪的厚度。若下雪速度保持不变，记为若下雪速度保持不变，记为R（单位（单位.厘米厘米秒），则雪在秒），则雪在t秒内的厚度增加量为秒内的厚度增加量为Rt厘米厘米Rt100米。米。由此得到除雪机工作由此得到除雪机工作t秒时雪的总厚度：秒时雪的总厚度：d(t)0.5+Rt100 (5-3)将将(5-3)代入代入(5-2)得得t秒
39、时的除雪速度为秒时的除雪速度为）（45)502(310)(RttV54 除雪机不得已停止工作的时间由除雪机不得已停止工作的时间由V(t)0确定为确定为)55(1000Rt 也可求出除雪机工作也可求出除雪机工作t秒时的行驶距离：秒时的行驶距离：)65(30320)502(310)()(200RttdtRtdttVtStt现在根据上面的公式分析以下两种情况：现在根据上面的公式分析以下两种情况：55 情形情形A：当除雪机开始工作后，大雪：当除雪机开始工作后，大雪以速度以速度R0.1厘米秒持续下一个小时厘米秒持续下一个小时。除雪机开始工作的一小时内，积雪的新增除雪机开始工作的一小时内，积雪的新增加厚度
40、是加厚度是0.136001003.6米，再加上原来米，再加上原来雪深雪深0.5米，已远远超过米，已远远超过1.5米，那么除雪机内米，那么除雪机内在什么时间和什么地点被迫中止工作？在什么时间和什么地点被迫中止工作？由由(5-5)可算出除雪机停止工作的时间为可算出除雪机停止工作的时间为t。100R1000.11000秒秒16.67分钟分钟 由由(5-6)可算出除雪机停止工作时所可算出除雪机停止工作时所行驶的距离为行驶的距离为 S(t。)S(1000)3010001.031000202563333.33米米3.33公里公里 这时除雪机才行驶了三分之一的路程，雪这时除雪机才行驶了三分之一的路程，雪深已
41、达到深已达到1.5米，除雪机将无法工作。米，除雪机将无法工作。情形情形B：当除雪机开始工作后，大雪以：当除雪机开始工作后，大雪以R0.025厘米秒持续下了一个小时。厘米秒持续下了一个小时。除雪机停止工作的时间为：除雪机停止工作的时间为：t。100R1000.0254000秒秒66.67分钟分钟此期间除雪机的行驶距离为此期间除雪机的行驶距离为S(t。)S(4000)304000025.0340002025713333.33米米13.33公里公里 这比要求清扫的这比要求清扫的10公里更长，除雪机公里更长，除雪机早已完成任务。早已完成任务。那么除雪机什么时间完成任务？那么除雪机什么时间完成任务？因为
42、除雪机的实际行驶路程因为除雪机的实际行驶路程 S10100010000米，米，将此代入将此代入(5-6)有有1000030025.03202tt03000020025.02tt即即58解方程求出实际除雪时间解方程求出实际除雪时间t2000秒秒33.33分钟，分钟，这时除雪机的速度是这时除雪机的速度是310)502000025.02(310)2000(V米秒米秒 情形情形C：当除雪机开始工作后，大雪又持：当除雪机开始工作后，大雪又持续了一个小时，其中前续了一个小时，其中前30分钟雪速每秒由零均分钟雪速每秒由零均匀变为匀变为0.1厘米，后厘米，后30分钟雪速每秒又由分钟雪速每秒又由0.1厘厘米均匀
43、变为零。米均匀变为零。用用r(t)表示表示t时刻雪的速度，则下雪速度变时刻雪的速度，则下雪速度变化情况如图化情况如图2-1559由图知由图知3600180018001.02.01800018001.0)(tttttr式中，式中，r(t)的单位为厘米秒。的单位为厘米秒。60对下雪速度求积分就可得积雪厚度函数对下雪速度求积分就可得积雪厚度函数当当t1800秒秒d(t)duut018001.010015.03600001.05.02t（米）（米）(5-7)且且d(1800)（米米）4.19.05.03600)1800(001.05.02即当工作到即当工作到30分钟时，积雪厚度为分钟时，积雪厚度为1.
44、4米。米。61当当t 1800秒秒 d(t)1.4 duut)18001.02.0(01.01800）（853.1)36001.02.0(01.02tt d(3600)3.1)360036001.036002.0(01.02（米）（米）3.2这说明在雪停以前除雪机已经停止工作。这说明在雪停以前除雪机已经停止工作。那么除雪机是否中途被迫中断工作？能工那么除雪机是否中途被迫中断工作？能工作多长时间？已清扫了多长路程？作多长时间？已清扫了多长路程？62由由(5-7)式和式和(5-8)式，知雪的厚度函数为式，知雪的厚度函数为）（秒秒秒秒9518003.1)36001.02.0(01.018003600
45、001.05.0)(22ttttttd因为除雪速度与雪的厚度的关系为因为除雪速度与雪的厚度的关系为)105()(321(10)(tdtV将将(5-9)代入代入(5-10)得得秒秒1800)3600002.0004.06.5(3101800)3600001.01(320)(22ttttttV63易知当易知当t1800 时，时，0)3600001.013202t（令令V(t)0 0)3600002.0004.06.5(3102tt所所以以01008000072002tt由此得由此得 t。1903秒秒（秒秒）52971t（舍去）（舍去）因此除雪机工作因此除雪机工作1903秒（秒（31.7分分钟）将无
46、法工作。钟）将无法工作。64思考：不求思考：不求V(t)能否知道除雪机何时停止工作？能否知道除雪机何时停止工作？除雪机工作的距离除雪机工作的距离190301800019031800)()()(dttVdttVdttVSdtttdtt)3600002.0004.06.5(310)3600001.01(3202190318001800028434米米8.434公里公里 所以除雪机只能扫除所以除雪机只能扫除8.434公里就无法行走公里就无法行走了，即除雪机无法完成了，即除雪机无法完成10公里的除雪任务。公里的除雪任务。65思考题：思考题：(1)请考虑其它的除雪速度函数和降雪速度请考虑其它的除雪速度函
47、数和降雪速度函数。函数。(2)在降雪过程中，除雪机清扫过的路面又在降雪过程中，除雪机清扫过的路面又会开始积雪，雪的厚度将如何变化？特别考会开始积雪，雪的厚度将如何变化？特别考虑降雪速度为非常数时的情况，能否用一个虑降雪速度为非常数时的情况，能否用一个函数描述马路上雪的堆积情况？函数描述马路上雪的堆积情况？(3)当雪速为常数时，问下雪速度为多少时当雪速为常数时，问下雪速度为多少时除雪机刚好完成除雪机刚好完成10公里除雪工作？公里除雪工作？66 三、广告与利润问题三、广告与利润问题 问题问题：某公司有一大批装饰涂料，根据某公司有一大批装饰涂料，根据以往统计资料，零售价增高，则销售量减少，以往统计资
48、料，零售价增高，则销售量减少，具体数据如表具体数据如表2-5。若做广告，可使销售量。若做广告，可使销售量增加，具体增加量以售量提高因子增加，具体增加量以售量提高因子k表示，表示，k与广告费的关系如表与广告费的关系如表2-6，它也是以往的统，它也是以往的统计或经验结果。现在已知涂料的进价是每听计或经验结果。现在已知涂料的进价是每听2英镑，问如何确定涂料的价格和花多少广英镑，问如何确定涂料的价格和花多少广告费，可使公司获利最大。告费，可使公司获利最大。表表2-5：涂料预期销售量与价格的关系：涂料预期销售量与价格的关系单价（镑）单价（镑）2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5
49、.00 5.50 6.00 售量（千听）售量（千听）41 38 34 32 29 28 25 22 20 67表表2-6：售量提高因子与广告费的关系：售量提高因子与广告费的关系广告费（万镑）广告费（万镑）0 1 2 3 4 5 6 7提高因子提高因子k 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80为了解决此问题，引入以下记号：为了解决此问题，引入以下记号：x预期销售量；预期销售量；y销售单价；销售单价；z广告费；广告费；c成本单价；成本单价；由表由表2-5可看出，售量与单价近似成线性可看出，售量与单价近似成线性关系，因此可设：关系，因此可设：xayb (5-1
50、1)可用最小二乘法，根据表可用最小二乘法，根据表1中的数据定出中的数据定出(5-11)式中的系数式中的系数a和和b的具体数值，显然的具体数值，显然a0。68 由表由表2-6可看出，提高因子与广告费近似二可看出，提高因子与广告费近似二次关系，因此可设：次关系，因此可设：)125(2fezdzK 同样，可用曲线拟合法，由表同样，可用曲线拟合法，由表2的数据定出的数据定出(5-12)式中的系数式中的系数d、e和和f，这里，这里d0，抛物线开，抛物线开口向下。口向下。设实际销售量为设实际销售量为S，它等于预期销售量乘以销，它等于预期销售量乘以销售提高因子，即售提高因子，即Skx，于是利润，于是利润P可
