1、 - 1 - 巢湖市柘皋中学 2017-2018学年第一学期 高三第二次月考理科数学 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ， ，则 A. （ 3,4） B. C. D. 【答案】 D 【解析】由 ， 得 ： ，故 ， 故选 D. 2. 已知 i是虚数单位、复数 ，则 的虚部为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意可得 ，选 C. 3. 下列说法正确的是 A. 命题 “ ，则 ” 的否 命题是 “ 若 ” B. 是函数 在定义域上单调递增的充分不必要条件 C. D. 若命题 则 【答案】
2、D 【解析】 “ 若 p则 q” 的否命题是 “ 若 则 ” ，所以 A错。 在定义上并不是单调递增函数，所以 B错。不存在 ， C错。全称性命题的否定是特称性命题， D对，选 D. 4. 九章算术是中国古代的数学专著，其中的一段话 “ 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 ” 用程序框图表示如图，那么这个- 2 - 程序的作用是 A. 求两个正数 ， 的最小公倍数 B. 求两个正数 ， 的最大 公约数 C. 判断其中一个正数是否能被另一个正数整除 D. 判断两个正数 ， 是否相等 【答案】 B 【解析】这是更相减损术，是用来求两个正数的最大公约数
3、，选 B. 5. 在 中， 分别是角 的对应边，若 ，则下列式子正确的是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意可知 ,由余弦定理,所以 ,即 ,选 C. 6. 在 中 ， ， , 是 的中点， 在 上，且 ，则 A. 16 B. 12 C. 8 D. -4 【答案】 A 【解析】如下图，以 B为原点， BA,BC分别为 x,y轴建立平面坐标系 A(4,0),B（ 0， 0）， C（ 0，6）， D(2,3),设 E(0,t), ,即 ， 。选 A. 7. 学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、- 3 - 丙三位同学，每隔学生至少获得一幅
4、，则在所有送法中甲得到名画 “ 竹 ” 的概率是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意可知总方法数，先分 3组， ，再分配 =6，由分步计数原理可知总方法数 ，满足条件方法数 ，概率 。选 C. 8. 一个几何体的三视图如图所示，则其 表面积为 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】如下图，三视图还原，有两种可能，图 1为一个边长为 3正方体切去一个左上角，图 2为一个边长为 3正方体切去一个左上角，一下右下角。图 1的表面积为，图 2的表面积为 。选 B. 9. 已知 是双曲线 的右焦点， 是 轴正半轴上的一点，以 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点 （ O为
5、坐标原点）。若点 商店共线，且面积是的面积的 倍，则双曲线 的离心率为 - 4 - A. B. C. D. 2 【答案】 D 【解析】由题意可得， , 即，选 D. 10. 若正四凌锥 内接于球 ，且底面 过球心 ，设四凌锥 的高为 1，则球 的体积为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意可得，正方形 ABCD的外接圆是大圆，所以半径为 1， 。选 A. 11. 已知正 的边长为 ，在平面 中，动点 满足 ， 是 的中点，则线段 的最小值为 A. B. 2 C. D. 3 【答案】 A 【解析】如下图，以 A 点为原点，建立坐标系， ， M(x,y),由 是 的中点，可知 ，得
6、 ，即点 M轨迹满足圆的方程 ,圆心。所以 ，选 A. 【 点睛 】 圆上的动点与圆外一定点线段上的比例点的轨迹是圆。 12. 已知向量 ，函数 ，且 ，若 的任何一条对称轴与 轴交点的横坐标都不属于区间 ，则 的取值范围是 - 5 - A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ，又 ， ， ， 所以 ，由的任何一条对称轴与 轴的交点的横坐标都不属于区间 ，则 得 ， ，当 ， ，显然不符合题意；当 ，符合题意；当 ， ，符合题意；当 ， ，显然不符合题意，综上 的取值范围是 ， 故选 B. 填空题：本题 4小题，每小题 5 分，共 20分。 13. 若 的二项展开式中的 的系数为 9，
7、则 _. 【答案】 1 【解析】 ，所以 9-3r=6, r=1, =9, ,t填 1. 14. 若实数 满足 则 的取值范围为 _. 【答案】 【解析】画出可行域，如下图，目标函数为可行域上点与（ 0,0）点连线的斜率，从图上可以看出斜率 ，填 。 - 6 - 15. 已知椭圆 与圆 M： ，过椭圆 的上顶点 做圆的两条切线分别与椭圆 相交于 ；两点（不同于 点），则直线 与直线 的斜 率之积等于 _. 【答案】 1 【解析】圆 ： ，由椭圆方程 得其上顶点 ， 过 作圆 的两条切线的斜率存在不妨令 的直线方程为， 则圆心 到此直线 的距离等于半径，即 化简得， ， 故答案为 1. 16.
8、若关于 x的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 _. 【答案】 【解析】显然 ， ，即 ，令，则 ，所以 在 上单调递增，所以；令 ( ，则 ，令 ，得 ，当 ，即 时 ， 在 上单调递减， ，显然成立，所以 ；当 ，即 时 在 上单调递增，所以 ，所以 ； 当 ，即 时 ，在 上单调递减，在 上单调递增， ，所以 ，即，所以 ， ，所以 ，综上 ， 故答案为. 点睛：本题主要考查了绝对值不等式以及导数在不等式恒成立中的应用，属于难题；首先根据绝对值不等式的解法，将其转化为 在给定区间内恒成立问题，继而可转换为， 分别将不等号两边看成两个不同的函数，然后利用导数与 0的关系得其单调性，
9、得其最值 . 解答题：共 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 - 7 - 17. 已知正项数列 满足 。 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】 （ 1） ；（ 2） 【解析】试题分析： （ 1）由已知数列递推式求得数列首项，且得到 （且 ），与圆递推式联立可得 （ ） 得到数列 是等差数列，则数列 的通项公式可求； （ 2）把 an的通项公式代入 ，利用错位相减法求数列 的前 项和 . 试题解析： （ 1）设数列 的前 项和为 ， 当 时， ， 当 时， 两式相减得 ， 即，又 ， ， 数列 是首项为 1，公差为 2的等差数列，即 （ 2
10、） ， , , - 得 , 点睛 ： 本题主要考查了等差数列的概念，以及数列 的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于，其中 为等差数列， 为等比数列等 . 18. 如图 1，四边形 为等腰梯形， , ，将 沿 折起，使平面 平面 ， 为 的中点，连接 - 8 - 图 1 图 2 （ 1）求证： ； （ 2）求直线 与平面 所成的角的正弦值。 【答案】（ 1）见解析；（ 2） 【解析】试题分析：（ 1）由边的关系，可知 是两锐 角为 的等腰三角形， 是的直角三角形
11、。所以由平面 平面 ， 可证 ，即证。（ 2） 取 中点 ，连接 ，易得 两两垂直，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求的线面角。 试题解析：（ 1）证明：在图 中，作 于 ，则 ，又， 平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， . （ 2）取 中点 ，连接 ，易得 两两垂直，以 所在直线分别为 轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 设 为平面 的法向量，则 - 9 - ，即 ， 取 ，则 . 设直线 与平 面 所成的角为 ， 则 ， 直线 与平面 所成的角的正弦值为 . 19. 某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供
12、电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取 6部进行测试，其结果如下； 甲种手机供电时间（小时） 19 18 21 22 23 20 乙种手机供电时间（小时） 18 17.5 20 23 22 22.5 （ 1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断那种手机电池质量好； （ 2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述 6部乙种手机中随机抽取 4 部，计所抽取4 部手机供 电时间不小于 20 小时的个数为 ，求 的分布列和数学期望。 【答案】（ 1）甲 ；（ 2） 【解析】试题分析：（ 1）由平均值公式 和方差公式分别求平均值与方差，得 = = = 甲的稳定性更好，甲质量更好。（
13、 2） 部乙种手机供电时间不小于 小时的有部，小于 小时的有 部，所以由 求的分布列和期望。 试题解析：（ 1）甲的平均值 ， 乙的平均值 ， 甲的方差乙的方差- 10 - 因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好 . （ 2） 部乙种手机供电时间不小于 小时的有 部，小于 小时的有 部，所以 得可能取值为 ，则 ， 故 得分布列为 所以 . 20. 已知椭圆 过点 ，其离心率为 。 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）直线 与 相交于 两点，在 轴上是否存在点 使 为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由。 【答案】 （ 1） ；（ 2）
14、 【解析】试题分析：利用离心率可以得出 的关系，化为 的关系，再利用椭圆过点 满足椭圆方程，列出 的方程，借助 解出 ，写出椭圆 E的方程，联立方程组，化为关于 的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根 与系数关系，利用弦长公式求出 ，写出 AB 中点 P的坐标，利用 ，解出 m，写出直线的方程 . 试题解析： （ 1）由 ，和过点 ，可求得 a,b,c，和椭圆标准方程。（ 2）由（ 1）可知椭圆方程 ，直线 代入椭圆方程 ，消 y得 ，由韦达定理和弦长公式表示出 |AB|,再由韦达定理和 C点（由 AB的垂直平分线方程中令 x=0求得）到直线距离求得 d,然后令 ，解出 m，再检验判别式，可解。
