1、 - 1 - 定远育才学校 2018-2019学年第一学期入学考试 高三（普通班）数学理科 全卷满分 150分，考试用时 120分钟 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 （本题有 12 小题，每小题 5分，共 60 分。） 1.命题 “ 若 1ab?，则 ,ab中至少有 一个大于 1” 的否命题为（ ） A. 若 ,ab中至少有一个大于 1，则 1ab? B. 若 1ab?，则 ,ab中至多有一个大于 1 C. 若 1ab?，则 ,ab中至少有一个大于 1 D. 若 1ab?，则 ,ab都不大于 1 2.若复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值是 （ ） A. B. 或 C. 或 D
2、. 3.已知数列 ?na 的前 n 项和 3nnSa?，则 “ 1a? ” 是 “ ?na 为等比数列 ” 的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数 ，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. 11 D. 8 5.在 的展开式中， 项的系数为（ ） A.28 B.56 C.-28 D.-56 6.在平 面直角坐标系 xOy 中，动点 ? ?,Pxy 与两点 ? ?
3、 ? ?1, 0 , 1, 0AB? 的连线 ,PAPB 的斜率之积为 1y，则点 P 的轨迹方程为（ ） - 2 - A. ? ?2310x y y? ? ? B. ? ?2 3 211x y x? ? ? C. 231xy? D. 231xy? 7.设点 是曲线 上的点 , ， ， 则 （ ） A. B. C. D. 与 10的大小关系不确定 8.已知抛物线 C ： 28xy? 的焦点为 F ， ? ?00A x y， 是 C 上一点，且 02AF y? ，则 0x?（ ） A. 2 B. 2? C. 4 D. 4? 9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ? ? ? ?0 , 2 , 0
4、 , 2 ,A B P?为函数 2 1yx?图象上一点，若 2PB PA? ，则 cos APB? （ ） A. 13 B. 33 C. 34 D. 35 10.函数 ? ? 21 ln2f x x x?的单调递减区间为 ( ) A. ? ?,1? B. (1， ) C. (0， 1) D. （ 0， ） 11.如图， 60 的二面角的棱上有 ,AB两点，直线 ,ACBD 分别在这个二面角的两个 半平面内，且都垂直于 AB 已知 4 , 6 , 8AB AC BD? ? ?，则 CD 的长为（ ） - 3 - A. 17 B. 7 C. 217 D. 9 12.如图，在三棱柱 1 1 1ABC
5、 ABC? 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， 4AB? ， 1 6AA? ，若 E 、 F 分别是棱 1BB ， 1CC 上的点，且 1BE BE? ， 1113CF CC? ，则异面直线 1AE与 AF 所成角的余弦值为（ ） A. 36 B. 7210 C. 310 D. 210 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5分，共 20分。） 13.在正方体 中 , 分别是 的中点 , 则异面直线 与 所成角的大小是 _. 14.若某一射手射击所得环数 X 的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 - 4
6、- 则此射手 “ 射击一次命中环数 7X ” 的概率是 _. 15.一圆形纸片的半径为 10cm ，圆心为 O ， F 为圆内一定点， 6OF cm? ， M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕 CD ，设 CD与 OM 交于 P 点（如图），以 FO 所在直线为 x 轴，线段 FO 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则点 P 的轨迹方程为 _ 16.已知 ? ? 3 2 23f x x ax bx a? ? ? ?在 1x? 时有极值 0 ，则 ab?_. 三、解答题 （本题有 6 小题，共 70分。） 17. （ 10 分） 命题 p
7、：已知实数 x ， y 满足约束条件 20 2 2xyyxyx?，二元一次不等式2 2 0x y a? ? ? 恒成立，命题 q ：设数列 ?na 的通项公式为 2 9n na n? ，若 *xN? ，使得naa? （ 1）分别求出使命题 p ， q 为真时，实数 a 的取值范围； （ 2）若命题 p 与 q 真假相同，求实数 a 的取值范围 . 18. （ 10分） 第一届 “ 一带一路 ” 国际合作高峰论坛于 2017年 5月 14日至 15 日在北京举行 ,这是 2017年我国重要的主场外交活动 ,对推动国际和地区合作具有重要意义 .某高中政数处为了调查学生对 “ 一带一络 “的关注情况
8、 ,在全校组织了 “ 一带一路知多少 ” 的知识问卷测试 ,并从中随机抽取了 12 份问卷 ,得到其测试成绩 (百分制 ),如茎叶图所示 . （ 1）写出该样本的众数、中位数 ,若该校共有 3000名学生 ,试估计该校 测试成绩在 70 分以上- 5 - 的人数； （ 2）从所轴取的 70分以上的学生中再随机选取 4人 . 记 表示选取 4人的成绩的平均数 ,求 ； 记 表示测试成绩在 80分以上的人数 ,求 的分布列和数学期望 . 19.（ 14分） 如图 ,四棱锥 P ABCD? ,侧面 PAD 是边长为 2的正三角形 ,且与底面垂直 ,底面ABCD 是 60ABC?的菱形 , M 为棱
9、PC 上的动点 ,且 ? ? ?01PMPC ?，. (I)求证： PBC? 为直角三角形； (II)试确定 ? 的值，使得二面角 P AD M?的平面角余弦值为 255 . 20. （ 14分） 设椭圆 M ： 22 1( 0 )yx abab? ? ? ?的离心率与双曲线 221xy?的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为 4 （ 1）求椭圆 M 的标准方程； （ 2）若直线 2y x m?交椭圆 M 于 A ， B 两点， ? ?1,Pt（ 0t? ）为椭圆 M 上一点，求 PAB? 面积的最大值 21. （ 12分） 数列 ?na 满足1 16a?，前 n项和 ? ?12nnnnSa? （
10、 1）写出 234,a a a ； （ 2）猜出 na 的表达式，并用数学归纳法证明 22. （ 10 分） 以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的参- 6 - 数方程为 2 2x costy sint?(t为参数 ) 2 2 2 ,42x costy sin t ? ? (1)若曲线 C在点 (1,1)处的切线为 l，求 l的极坐标方程； (2)若点 A的极坐标为 2 2,4?，且当参数 t 0， 时，过点 A的直线 m与曲线 C有两个不同的交点，试求直线 m的斜率的取值范围 - 7 - 参 考 答案 一、选择题 （本题有 12 小题，每小题 5分，共 6
11、0 分。） 1.D 2.D 3.A 4.A 5.A 6.A 7.A 8.D 9.C 10.C 11.C 12.D 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5分，共 20分。） 13. 14.0.12 15. 22125 16xy? 16.11 三、解答题 （本题有 6 小题，第 17、 18、 22 题各 10 分；第 19、 20 题各 14 分；第 21 题 12分 ，共 70分。） 17.解： （ 1）约束条件 2022xyyxyx?，画出可行域，结合图象可得 当目标函数 2z x y?过点 A 时，目标函数取得最大值 . 20 2xyyx? 得 ? ?42A ， ，则 2z x y?的
12、最大值为 10.所以命题 p 为真： 5a? 由 2 99n nannn? ? ?926nn? ? ?（当且仅当 9n n? ，即 3n? 时取等号 .） 所以命题 q 为真： 6a? - 8 - （ 2）因为命题 p 与 q 真假相同 若 p 与 q 同为真：则 5 6aa?， 6a? ， 若 p 与 q 同为假，则 5 6aa?， 5a? . 综上： 5a? 或 6a? . 18. 解： （ 1）众数为 76，中位数为 76.抽取的 12 人中， 70 分以下的有 4人，不低于 70 分的有 8人，故从该校学生中人选 1 人，这个人测试成绩在 70分以上的概率为 ，故该校这次测试成绩在 7
13、0分以上的约有 （人） （ 2） 由题意知 70分以上的有 72， 76， 76， 76， 82， 88， 93， 94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于 87 分时，有两类 . 一类 是 82， 88， 93， 94，共 1种； 另一类是 76， 88， 93， 94，共 3种 .所以 . 由题意可得， 的可能取值 为 0， 1， 2， 3， 4 , , , , . 的分别列为 0 1 2 3 4 - 9 - . 19. 解： (I)取 AD 中点 O ,连结 ,OP OC AC ，依题意可知 ,PAD ACD?均为正三角形，所以 ,OC AD OP AD?, 又 OC OP O OC?
14、 ? ?， 平面 ,POC OP? 平面 POC ， 所以 AD? 平面 POC ， 又 PC? 平面 POC ，所以 AD PC? , 因为 /BC AD ,所以 BC PC? ，即 90PCB?, 从而 PBC? 为直角三角形 . 说明 :利用 PC? 平面 AMD 证明正确 ,同样满分 ! (II)由 (I)可知 PO AD? ,又平面 PAD? 平面 ABCD ,平面 PAD? 平面 ABCD AD? , PO? 平面 PAD ，所以 PO? 平面 ABCD . 以 O 为原点，建立空间直角坐 标系 O xyz? 如图所示 ,则 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 3 , 0 1 0
15、 , 0 1 0 , 3 , 0 0P A D C?， ， ， ， ， ， ，, ? ?3, 0 3PC ? 由 ? ?3 , 0 , 3P M P C? ? ?可得点 M 的坐标 ? ?3 , 0, 3 3? 所以 ? ? ? ?3 , 1 3 3 , 3 , 1 3 3A M D M? ? ? ? ? ? ? ?， ，, 设平面 MAD 的法向量为 ? ?,n x y z? ，则 0 0n AMn DM?, - 10 - 即 ? ? ?3 3 3 0 3 3 3 0x y zx y z? ? ? ? ? ? ?解得 1 0xzy?， 令 z ? ，得 ? ?1,0,n ? ， 显然平面 PAD 的一个法向量为 ? ?3,0 0OC ? ， , 依题意 ? ? ? 2231 25c o s ( , )5| 13n O Cn O Cn O C? ? ? ? ?， 解得 13? 或 1? （舍去）， 所以，当 13? 时，二面角 P AD M?的余弦值为 255 . 20.解：（ ）双曲线的离心率为 （ 1分）， 则椭圆的离心率为 （ 2分）， 2a=4， （ 3分） 由 ? ，故椭圆 M的方程为 22142yx? （ 5分） （ ）由 ，得 ， （ 6分） 由 ，得 2 m 2 ， （ 7分） =（ 9分） 又 P到 AB的距离为 （ 10 分）
