1、 - 1 - 广西南宁市 2018 届高三数学上学期毕业班摸底考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 ? 3A x x?或 ?1x? ， ? ?24B x x? ? ? ，则 ? ?AB?R I （ ） A ? ?1,3 B ? ?1,4 C ? ?2,3 D ? ?2,4 2设 i 是虚数单位，如果复数 i2ia? 的实部与虚部是互为相反数，那么实数 a 的值为（ ） A 13 B 13? C 3 D 3? 3若 ? ?2,1a?r ， ? ?1,1b?r ，
2、? ? ? ?2a b a mb?r r r r，则 m? （ ） A 12 B 2 C 2? D 12? 4若 1cos23? ? ? ?，则 ? ?cos 2?（ ） A 429? B 79? C 79 D 429 5在 62 12xx?的展开式中，含 7x 的项的系数是（ ） A 60 B 160 C 180 D 240 6下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 2 4x? ，则 2x? ”的否命题为“若 2 4x? ，则 2x? ” B命 题“ x?R ， 2 2 1 0xx? ? ? ”的否定是“ x?R ， 2 2 1 0xx? ? ? ” C命题“若 xy? ，则 sin
3、sinxy? ”的逆否命题为假命题 D若“ p 或 q ”为真命题，则 ,pq至少有一个真命题 7直线 3y kx?被圆 ? ? ? ?222 3 4xy? ? ? ?截得的弦长为 23，则直线的倾斜角为（ ） A 6? 或 56? B 3? 或 3? C 6? 或 6? D 6? 8若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如下图所示，则此几何体的表面积是（ ） - 2 - A ? ?42? B 6 2 2? C 62? D ? ?82? 9执行如图的程序框图，若输出的结果是 1516 ，则输入的 a 为（ ） A 3 B 4 C 5
4、D 6 10正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的体积为（ ） A 24316? B 8116? C 814? D 274? 11给出定义：设 ?fx? 是函数 ? ?y f x? 的导函数， ?fx? 是函数 ?fx? 的导函数，若方程? ? 0fx? ? 有实数解 0x ，则称点 ? ? ?00,x f x 为函数 ? ?y f x? 的“拐点” .已知函数? ? 3 4 sin co sf x x x x? ? ?的拐点是 ? ? ?00,M x f x ，则点 M （ ） A在直线 3yx? 上 B在直线 3yx? 上 C在直线 4yx? 上 D在直
5、线 4yx? 上 12已知椭圆 221xyab?（ 0ab? ）的左、右焦点分别为 12,FF，过 1F 且与 x 轴垂直的直线交椭 圆于 ,AB两点，直线 2AF 与椭圆的另一个交点为 C .若23ABC BCFSS?，则椭圆的离心率为（ ） - 3 - A 55 B 33 C 105 D 3310 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若 ,xy满足 010xyxyy?，则 2z x y? 的最小值为 14在 ? ?4,3? 上随机取一个实数 m ，能使函数 ? ? 2 22f x x mx? ? ?在 R 上有零点的概率为 15函数
6、? ? ? ?2 sinf x x?（ 0, 22? ? ? ?）的部分图象如下图所示，则 ?fx的图象可由函数 ? ? 2sing x x? 的图象至少向右平移 个单位得到 16已知 ABC? 中，角 3,2B CA 成等差数列，且 ABC? 的面积为 12? ，则 AB 边的最小值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 122nnS ?. （）求数列 ?na 的通项公式； （）设 2 1 2 2 2lo g lo g lo gnnb a a a? ? ? L，求使 ? ?8 nn b n
7、k?对任意 *n?N 恒成立的实数k 的取值范围 . 18质检部门从企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图的频率分布直方图，质量指标值落在区间 ? ?55,65 ， ? ?65,75 ， ? ?75,85 内的频率之比为 4:2:1 . - 4 - （）求这些产品质量指标值落在区间 ? ?75,85 内的频率； （）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 ? ?45,75 内的产品件数为 X ，求 X 的分布列与数学期望 . 19如图，已知四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为菱形，且 6
8、0DAB? ? ? ， PAB? 是边长为 a 的正三角形，且平面 PAB? 平面 ABCD ，已知点 M 是 PD 的中点 . （）证明： PB 平面 AMC ； （）求直线 BD 与平面 AMC 所成角的正弦值 . 20已知点 C 的坐标为 ? ?1,0 ， ,AB是抛物线 2yx? 上不同于原点 O 的相异的两个动点，且0OA OB?uur uuur . （）求证：点 ,ACB 共线； （）若 ? ?AQ QB?Ruuur uuur ，当 0OQ AB?uuur uuur 时，求动点 Q 的轨迹方程 . 21已知函数 ? ? 2lnf x x x x? ? ?. （）求函数 ?fx的单调
9、区间； （）证明当 2a? 时，关于 x 的不等式 ? ? 2112af x x ax? ? ? ?恒成立； - 5 - （ ）若正实数 12,xx满足 ? ? ? ? ? ?221 2 1 2 1 220f x f x x x x x? ? ? ? ?，证 明12 512xx ?. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 cos ,2 sin ,xtyt ? ?（ t 是参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 4
10、 2 sin 44? ? ? ? ?. （）求曲线 2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （）若曲线 1C 与曲线 2C 交于 ,AB两点，求 AB 的最大值和最小值 . 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 2f x x x a? ? ? ?. （）若 1a? ，解不等式 ? ? 22f x x?； （）若 ? ? 2fx? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 2017 届高三毕业班摸底联考 - 6 - 理科数学参考答案 一、选择题 1-5:CCDBD 6-10:DACBA 11、 12： BA 二、填空题 13 12? 14 37 15 6? 16 2 三、解答题 17解
11、：（ ）因为 122nnS ?， 所以 1 22nnS ? ?，（ 2n ? ） 所以当 2n? 时， 1n n na S S ? ? ? ? ?12 2 2 2 2n n n? ? ? ? ?. 又 211 2 2 2aS? ? ? ?，满足上式， 所以数列 ?na 的通项公式 ? ?*2nnan?N . （ ） 2 1 2 2 2lo g lo g lo gnnb a a a? ? ? ?L ? ?11 2 3 2nnn ? ? ? ? ?. 由 ? ?8 nn b nk?对任意 *n?N 恒成立 . 即使 ? ? ?812nn k?对 *n?N 恒成立 . 设 ? ? ?1 812nc
12、n n? ? ?， 则当 3n? 或 4 时， nc 取得最小值为 10? ， 所以 10k? . 18解：（ ）设区间 ? ?75,85 内的频率为 x ， 则区间 ? ?55,65 ， ? ?65,75 内的频率分别为 4x 和 2x . 依题意得 ? ?0 .0 0 4 0 .0 1 2 0 .0 1 9 0 .0 3?10 4 2 1x x x? ? ? ? ?. 解得 0.05x? . 所以区间 ? ?75,85 内的频率为 0.05. - 7 - （ ）从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验 . 所以 X 服从二项分布 ? ?,Bnp ，其中 3
13、n? . 由（ ）得，区间 ? ?45,75 内的频率为 0.3 0.2 0.1 0.6? ? ?. 将频率视为概率得 0.6P? . 因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 且 ? ? 0 0 330 0 .6 0 .4 0 .0 6 4P X C? ? ? ? ?； ? ? 1 1 231 0 .6 0 .4 0 .2 8 8P X C? ? ? ? ?； ? ? 2 2 132 0 .6 0 .4 0 .4 3 2P X C? ? ? ? ?； ? ? 3 3 033 0 .6 0 .4 0 .2 1 6P X C? ? ? ? ?. 所以 X 的分布列为： 所以 X 的数学期望为
14、 0 0 .0 6 4 1 0 .2 8 8EX ? ? ? ? ?2 0 .4 3 2 3 0 .2 1 6 1 .8? ? ? ?. （或直接根据二项分布的均值公式得到 3 0.6 1.8EX np? ? ? ?） 19证明：（ ）连结 BD 交 AC 于 O ，连结 OM ， 因为 ABCD 为菱形， OB OD? ，所以 OM PB ， 由直线 PB 不在平面 AMC 内， OM? 平面 AMC ， 所以 PB 平面 ACM . 解：（ ）取 AB 的中点 N ，连结 PN ， ND ，则 90AND? ? ? . 分别以 NB ， ND ， NP 为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系
15、. - 8 - 则 ,0,02aB?， 3, ,02C a a?， ,0,02aA?， 30, ,02Da?， 30,0,2Pa?，330, ,44M a a?， 则 33, ,022AC a a? ?uuur ， 33,2 4 4aAM a a? ?uuur . 设平面 AMC 的法向量为 ? ?,n x y z?r ， 则33 0,2233 0,2 4 4ax aya x ay az? ? ? ? ?. 令 3y? ，则 1x? ， 33z? ， 即 31, 3,3n ? ? ?r . 又 3, ,022aBD a?uuur ， 设直线 BD 与 nr 所成的角为 ? ，则 2 3 9co
16、 s13n PBn PB? ?r uurr uur . 故直线 BD 与平面 AMC 所成角的正弦值为 23913 . 20解：（ ）设 ? ?211,At t ， ? ?222,Bt t ，（ 12tt? ， 1 0t? ， 2 0t? ）， 则 ? ?211,OA t t?uur ， ? ?222,OB t t?uuur ， - 9 - 因为 0OA OB?uur uuur ，所以 221 2 1 2 0t t tt?. 又 1 0t? ， 2 0t? ，所以 12 1tt? . 因为 ? ?2111,AC t t? ? ?uuur ， ? ?2221,BC t t? ? ?uuur .
17、且 ? ? ? ?222 1 1 211t t t t? ? ? ? ? 222 1 2 1 1 2t t t t t t? ? ? ? ? ?2 1 1 210t t t t? ? ?， 所以 AC BCuuur uuur . 又 AC ， CB 都过点 C ，所以三点 ,ABC 共线 . （ ）由题意知，点 Q 是直角三角形 AOB 斜边上的垂足， 又定点 C 在直线 AB 上， 90OQB? ? ? . 所以设动点 ? ?,Qxy ，则 ? ?,OQ x y?uuur ， ? ?1,CQ x y?uuur . 又 0OQ CQ?uuur uuur ， 所以 ? ? 210x x y? ? ?，即 ? ?2 211 024x y x? ? ? ?. 动点 Q 的轨迹方程为 ? ?2 211 024x y x? ? ? ?. 21解：（ ） ? ? 1 21f x xx? ? ? ? ? ? ?221 0xx xx? ? ? ?， 由 ? ? 0fx? ? ，得 22 1 0xx? ? ? ， 又 0x? ，所以 1x? . 所以 ?fx的单调减区间为 ? ?1,? ，函数 ?fx的增区间是 ? ?0,1 . （ ）令 ? ? ? ? 2112ag x f x x a x? ? ? ? ? ?21ln
